Зачем нужен эфир, если есть пространство?

[arseniiv]

EvgenyGR в сообщении #780172 писал(а):

Ну т.е. где формализм "касательного вектора".

Книжку откройте же.

[EvgenyGR]

Someone в сообщении #780164 писал(а):

То есть, метрика уже должна быть до всякого отображения. Спасибо. Отображение для определения метрики не нужно.

Так она есть- естественная метрика в Евклидовом пространстве.

Someone в сообщении #780164 писал(а):

Неправда. Для определения гладкого многообразия, касательного вектора, касательного пространства, касательного расслоения, дифференциала и т.д. совершенно не требуется никакая метрика.

Тогда требуется формализм хотя бы для касательного вектора.

-- Пт окт 25, 2013 21:10:28 --

arseniiv в сообщении #780175 писал(а):

Книжку откройте же.

Зачем. Вы лучше. .

[Xaositect]

EvgenyGR в сообщении #780172 писал(а):

Сходил посмотрел, определяют через касательные вектора

Я имел в виду это:

Wikipedia писал(а):

Definition as velocities of curves

Suppose $M$ is a $C^k$ manifold ($k\geqslant 1$) and $x$ is a point in $M$. Pick a chart $\varphi\colon U \to R^n$ where $U$ is an open subset of $M$ containing $x$. Suppose two curves $\gamma_1\colon (-1,1)\to M$ and $\gamma_2\colon (-1,1) \to M$ with $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = x$ are given such that $\varphi\circ\gamma_1$ and $\varphi\circ\gamma_2$ are both differentiable at $0$. Then $\gamma_1$ and $\gamma_2$ are called equivalent at $0$ if the ordinary derivatives of $\varphi\circ\gamma_1$ and $\varphi\circ\gamma_2$ at $0$ coincide. This defines an equivalence relation on such curves, and the equivalence classes are known as the tangent vectors of $M$ at $x$. The equivalence class of the curve $\gamma$ is written as $\gamma'(0)$. The tangent space of $M$ at $x$, denoted by $T_x M$, is defined as the set of all tangent vectors; it does not depend on the choice of chart $\varphi$.

To define the vector space operations on $T_x M$, we use a chart $\varphi\colon U \to R^n$ and define the map $(\mathrm{d}\varphi)x\colon T_x \to R^n$ by $(\mathrm{d}\varphi)x (\gamma'(0)) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\varphi\circ\gamma)(0)$. It turns out that this map is bijective and can thus be used to transfer the vector space operations from $R^n$ over to $T_x M$, turning the latter into an $n$-dimensional real vector space. Again, one needs to check that this construction does not depend on the particular chart $\varphi$ chosen, and in fact it does not.

Или любое из двух других определений.

[EvgenyGR]

Xaositect в сообщении #780178 писал(а):

Где?

В вике.

В английском не селен, увы.

[Someone]

EvgenyGR в сообщении #780172 писал(а):

Ну т.е. я не понимаю как можно обойтись без естественной метрики.

Хватает естественной топологии, а её можно определить без метрики. Достаточно отношения порядка на множестве действительных чисел и стандартных топологических конструкций. Можно и производную определить, и дифференциал, и многое другое.

EvgenyGR в сообщении #780172 писал(а):

А что это принципиально меняет. Не хотите же Вы сказать что формализм касательного вектора привязан к определению кривых на многообразие, если да то как?

Никак. Вы же в Википедии определение касательного пространства смотрели? А там есть ссылка на определение касательного вектора.

EvgenyGR в сообщении #780176 писал(а):

Так она есть- естественная метрика в Евклидовом пространстве.

Не все же пространства евклидовы. И, как я уже сказал, без метрики можно обойтись. Можно даже кривизну определить без метрики. Для этого нужна аффинная связность, которая тоже без метрики определяется.

[EvgenyGR]

Someone в сообщении #780186 писал(а):

Достаточно отношения порядка на множестве действительных чисел и стандартных топологических конструкций.

Можно, но действительно ли нужны такие сложности для описания теории относительности?

Someone в сообщении #780186 писал(а):

Никак. Вы же в Википедии определение касательного пространства смотрели? А там есть ссылка на определение касательного вектора.

Так там производная стоит или и там то же будите определять производную через задание окрестностей топологией и "близости" точек через отношение порядка на множестве действительных чисел? Кстати с производной не получиться.

Someone в сообщении #780186 писал(а):

Не все же пространства евклидовы. И, как я уже сказал, без метрики можно обойтись. Можно даже кривизну определить без метрики. Для этого нужна аффинная связность, которая тоже без метрики определяется.

Можно, можно, но зачем?

[Munin]

provincialka в сообщении #780174 писал(а):

EvgenyGR, может, вам стоит почитать про векторные и аффинные пространства? В которых метрику еще не ввели?

+ гладкие многообразия и векторные расслоения.

[Xaositect]

В русской тоже есть: тыц.

Предупреждая Ваше возможное возражение о том, что используется дифференцирование на карте, а значит метрика: Данная конкретная конструкция не позволяет перенести метрику на многообразие. Она не зависит от конкретного выбора карты и позволяет перенести только локальные свойства - бесконечную близость точек, гладкость и сонаправленность кривых, дифференцируемость функций и т.п, а эти свойства не зависят от метрики, только от топологии. Метрику можно определять разным образом для разных точек. Если она в каждой точке определяется некоторым (для каждой точки своим, т.е. заданным на касательносм пространстве) скалярным произведением, то получается риманово пространство.

[Munin]

EvgenyGR в сообщении #780176 писал(а):

Тогда требуется формализм хотя бы для касательного вектора.

Он есть.

[Xaositect]

EvgenyGR в сообщении #780194 писал(а):

Можно, можно, но зачем?

Надо.
Ну вот получается так, что не получается задать просто метрику на картах и жить просто. Приходится на касательных пространствах ее задавать.

[Munin]

EvgenyGR в сообщении #780181 писал(а):

В английском не селен, увы.

Если вы только в русском селен, тантал и бром, то почитайте Постникова "Лекции по геометрии".

[Someone]

EvgenyGR в сообщении #780194 писал(а):

Так там производная стоит или и там то же будите определять производную через задание окрестностей топологией и "близости" точек через отношение порядка на множестве действительных чисел? Кстати с производной не получиться.

Производная в математическом анализе определяется через предел, а предел только по традиции определяется через $\varepsilon-\delta$. Определение предела выглядит проще и нагляднее, если забыть про естественную метрику на прямой и пользоваться окрестностями (а окрестность точки числовой прямой — это просто интервал, содержащий данную точку; для определения интервала метрика вовсе не нужна: $(a,b)=\{x\in\mathbb R:a<x<b\}$). К тому же, определение через окрестности является весьма универсальным и работает в любых топологических пространствах, даже в таких, в которых метрику принципиально невозможно ввести.

[Munin]

EvgenyGR в сообщении #780194 писал(а):

Можно, но действительно ли нужны такие сложности для описания теории относительности?

Нужны, как раз для избежания ещё больших сложностей, которые предлагаете вы.

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #780204 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #780194
писал(а):
Так там производная стоит или и там то же будите определять производную через задание окрестностей топологией и "близости" точек через отношение порядка на множестве действительных чисел? Кстати с производной не получиться. Производная в математическом анализе определяется через предел, а предел только по традиции определяется через $\varepsilon-\delta$. Определение предела выглядит проще и нагляднее, если забыть про естественную метрику на прямой и пользоваться окрестностями (а окрестность точки числовой прямой — это просто интервал, содержащий данную точку; для определения интервала метрика вовсе не нужна: $(a,b)=\{x\in\mathbb R:a<x<b\}$). К тому же, определение через окрестности является весьма универсальным и работает в любых топологических пространствах, даже в таких, в которых метрику принципиально невозможно ввести.

Someone в сообщении #780164 писал(а):

Для определения гладкого многообразия, касательного вектора, касательного пространства, касательного расслоения, дифференциала и т.д. совершенно не требуется никакая метрика.

приведите пожалуйста определение дифференциала (или хотя бы производной по направлению) отображения $f:X\to Y$, где $X,Y$ -- линейные топологические пространства.

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #780536 писал(а):

приведите пожалуйста определение дифференциала (или хотя бы производной по направлению) отображения $f:X\to Y$, где $X,Y$ -- линейные топологические пространства.

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=5813&option_lang=rus