Уравнение и область поиска решений

[AD]

Yarkin писал(а):

Если операторы четырехмерные, значит, скалярная часть имеет меру или направление?
На стр. 79 для системы $S$ объектов устанавливается скалярное расположение. Подход изначально невенрный. Между объектами никаких соотношений установить нельзя, даже усли эти обзекты одинаковые. Возьмите двух человек, или два любых предмета. Никаких соотношений или расположений между ними установить невозможно. Равенство немыслимо вообще. Тем не менее, это предполагается возможным.

Что вы несёте, Yarkin? Какая еще скалярная часть? Какая еще мера? К сожалению, у меня нет книжки под рукой, чтобы поругаться по поводу дальнейшего.

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

1. Еще раз заявляю: у Пифагора не было определения числа. В то время вообще смутно представляли, что такое определение.

Этот взгляд опровергается теоремой Пифагора и решением задачи несоизмеримости отрезков.

Ну не опровергается. Пифагор не знал, что такое число, и Евклид тоже не знал, что такое точка и прямая. Гильберту потом пришлось доделывать аксиоматику Евклида, но тут хоть что-то было.

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

2. Никто, кроме вас, скаляры и векторы не путает. Еще раз объясняю: один и тот же объект может быть и скаляром, и вектором.

Уважаемый AD, Вы можете привести пример. Желательно без абстракции.

Пример - любое действительное число. Впрочем, элементы любого поля являются одномерными векторами.

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Это как яблоко может лежать и в ящике, и в вагоне одновременно.

Я согласен, что яблоку безразлично его месторасположение.

А вот свойство быть скаляром или вектором - это как раз расположение. Вы не напомните, сколько раз я уже вам говорил прочитать определение векторного пространства в любой книжке по линейной алгебре для первого курса?

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

3. Такой взгляд допустим.

Спасибо.

Не за что.

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Но ясно, что вы так ничего и не поняли.

Это противоречит предыдущему.

Напротив, предыдущее это лишний раз подтверждает, даже лучше, чем я мог себе представить Я-то думал, что вы хоть что-то усвоили ... А вы все еще пишите про "скалярную часть" кватерниона.

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Еще раз повторяю: не важно, как строить систему чисел. Никаких особых свойств от этого они не приобретут и не потеряют, и ни в каком доказательстве особенность вашего взгляда не может быть существенно использована.

На мой вгляд, лучше всех это получилось у Кантора. Свойств не приобретут, а порядок и связь с природой установиться.

Ну и зачем вам этот порядок и эта связь?

[Yarkin]

AD писал(а):

Ну не опровергается. Пифагор не знал, что такое число

Вы очень категоричны. Я считаю этот вопрос проблематичным. Мы не знаем или Пифагор не знал?

AD писал(а):

AD писал(а):

А вот свойство быть скаляром или вектором - это как раз расположение. Вы не напомните, сколько раз я уже вам говорил прочитать определение векторного пространства в любой книжке по линейной алгебре для первого курса?

Пример - любое действительное число. Впрочем, элементы любого поля являются одномерными векторами.

Читаем у Д. К. Фадеева в книге "Лекции по алгебре" на стр. 361 $\textit{векторным пространством } \mathbb{S}$ над полем $\mathbb{K}$ называется аддитивно записанная абелева группа, для элементов которой определено действие умножения на элементы поля $\mathbb{K}$, удовлетворяющие требованиям, которые Вы отлично знаете. Из этого определения вытекает, что вектор не может быть одновременно и скаляром.

AD писал(а):

А вы все еще пишите про "скалярную часть" кватерниона

Да, потому-что в одной сумме ужились и скаляр и векторы

AD писал(а):

Ну и зачем вам этот порядок и эта связь?

Это нужно не только мне. Чтобы не было таких казусов, как с ВТФ и путаницы, когда, даже математики не могут отличить скаляр от вектора. А ведь я с своим мнением оказался не один (см. новую тему).

[AD]

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Ну не опровергается. Пифагор не знал, что такое число

Вы очень категоричны. Я считаю этот вопрос проблематичным. Мы не знаем или Пифагор не знал?

Ну тут и начинааается ... А откуда вы знаете, что Пифагор знал именно то, что вы нам говорите, прикрываясь его именем? А откуда вы знаете, что Пифагор вообще существовал?

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

А вот свойство быть скаляром или вектором - это как раз расположение. Вы не напомните, сколько раз я уже вам говорил прочитать определение векторного пространства в любой книжке по линейной алгебре для первого курса?

AD писал(а):

Пример - любое действительное число. Впрочем, элементы любого поля являются одномерными векторами.

Читаем у Д. К. Фадеева в книге "Лекции по алгебре" на стр. 361: "$\textit{векторным пространством} \mathbb{S}$ над полем $\mathbb{K}$ называется аддитивно записанная абелева группа, для элементов которой щпределено действие умножения на элементы поля $\mathbb{K}$, удовлетворяющие требованиям, которые Вы отлично знаете. Из этого определения вытекает, что вектор не может быть одновременно и скаляром.

Все хорошо, только последнее предложение не верно. Проверьте, что (любое) поле $\mathbb{K}$ - абелева группа, даже специально для вас аддитивно записанная, для элементов которой определено действие умножения на элементы поля $\mathbb{K}$, удовлетворяющие всем требованиям, которые мы с Вами теперь отлично знаем. Таким образом, в этом тривиальном векторном пространстве скаляры и векторы берутся из одного и того же множества. В определении не было сказано, что $\mathbb{S}\cap\mathbb{K}=\varnothing$, и кто только вам сказал такую глупость?

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

А вы все еще пишите про "скалярную часть" кватерниона

Да, потому-что в одной сумме ужились и скаляр и векторы.

1. Ну опять, кто вам такую глупость-то сказал? Каждый кватернион - это ОДИН ВЕКТОР, понимаете? Одна штука. Никаких "частей" у него нет. Еще очень не скоро, когда его разложат по естественному базису, когда обнаружится изоморфизм подалгебры, порожденной первым базисным вектором с $\mathbb{R}$, только тогда можно будет говорить о "действительной части" и "мнимой части" кватерниона, подразумевая под этим проекции на соответствующие подпространства.

2. А если было бы так, то что в этом плохого? Умножать вектор на скаляр можно, а почему бы сложение не определить? Глупо, конечно, но и ничего плохого в этом нет.

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Ну и зачем вам этот порядок и эта связь?

Это нужно не только мне. Чтобы не было таких казусов, как с ВТФ и путаницы, когда, даже математики не могут отличить скаляр от вектора. А ведь я с своим мнением оказался не один (см. новую тему).

Путаница с ВТФ выдумана лично Вами, сами и разбирайтесь в своих ошибках. Меньше надо философствовать, больше дело делать. Математики, в отличие от вас, скаляры и векторы не путают. Да, новая тема забавная. Докажем теорему Ферма, не используя математику, а только на каждом шагу заявляя, что все очевидно, а другие невнимательно читали.

[Yarkin]

AD писал(а):

Ну тут и начинааается ... А откуда вы знаете, что Пифагор знал именно то, что вы нам говорите, прикрываясь его именем?

Боже упаси, я просто согласен с его природным определением числа.

AD писал(а):

А откуда вы знаете, что Пифагор вообще существовал?

Из истории.

[AD]

Ну ладно, это исторические споры, я просто не считаю историю столь далеких времен надежной, но это мое дело. Тем не менее, я заявляю, что "природное определение числа" формулироемое фразой "вещи суть числа",
1. не является определением,
2. является бессмысленной для математики фразой, поскольку не может быть использовано в доказательствах, и
3. а зачем вообще тогда два слова для одного и того же понятия "вещь", тем более если слово "число" уже имеет устоявшийся смысл, из-за чего возникает путаница.

Пример путаницы: вы говорите, что пять яблок - это пять чисел, а я прошу выписать их до третьего знака. Очевидно, мы пользуемся разными определениями, и не можем понять друг друга. Однако путаница возникла из-за вас, потому что определение, которым вы пользуетесь, не является общепринятым.

[Yarkin]

AD писал(а):

Все хорошо, только последнее предложение не верно. Проверьте, что (любое) поле $\mathbb{K}$ - абелева группа, даже специально для вас аддитивно записанная, для элементов которой определено действие умножения на элементы поля $\mathbb{K}$, удовлетворяющие всем требованиям, которые мы с Вами теперь отлично знаем. Таким образом, в этом тривиальном векторном пространстве скаляры и векторы берутся из одного и того же множества. В определении не было сказано, что $\mathbb{S}\cap\mathbb{K}=\varnothing$, и кто только вам сказал такую глупость?

Но там четко подразделяются элементы поля $\mathbb{K}$ и элементы векторного пространства $\mathbb{S}$ над полем $\mathbb{K}$. Элементы векторного пространства называются векторами элементы поля $\mathbb{K}$ - числами (хотя они могут иметь другую природу)" стр. 361. Ваш пример использует то, что написано в скобках?

AD писал(а):

А вы все еще пишите про "скалярную часть" кватерниона

Да, потому-что в одной сумме ужились и скаляр и векторы.

AD писал(а):

1. Ну опять, кто вам такую глупость-то сказал? Каждый кватернион - это ОДИН ВЕКТОР, понимаете? Одна штука. Никаких "частей" у него нет. Еще очень не скоро, когда его разложат по естественному базису, когда обнаружится изоморфизм подалгебры, порожденной первым базисным вектором с $\mathbb{R}$, только тогда можно будет говорить о "действительной части" и "мнимой части" кватерниона, подразумевая под этим проекции на соответствующие подпространства.

Цитирую Арнольда/, стр.371: "при сложении двух любых кватернионов можно складывать почленно скалярные и векторные их части".

AD писал(а):

2. А если было бы так, то что в этом плохого? Умножать вектор на скаляр можно, а почему бы сложение не определить? Глупо, конечно, но и ничего плохого в этом нет.

Нарушаются законы физики.

AD писал(а):

Ну и зачем вам этот порядок и эта связь?

Это нужно не только мне. Чтобы не было таких казусов, как с ВТФ и путаницы, когда, даже математики не могут отличить скаляр от вектора. А ведь я с своим мнением оказался не один (см. новую тему).

AD писал(а):

Путаница с ВТФ выдумана лично Вами, сами и разбирайтесь в своих ошибках. Меньше надо философствовать, больше дело делать. Математики, в отличие от вас, скаляры и векторы не путают. Да, новая тема забавная. Докажем теорему Ферма, не используя математику, а только на каждом шагу заявляя, что все очевидно, а другие невнимательно читали.

Быстро Вы составили характеристику. С уважением, Yarkin.

[AD]

Yarkin писал(а):

Нарушаются законы физики.

Безобразие. Куда смотрит милиция?? AD нарушил закон физики. Да, вот не было бы Yarkin$а, и все бы уже закон всемирного тяготения понарушали. Нет, серьезно. Даже математики не умеют нарушать законы физики. Математика не реальна.

Про скалярные и векторные части кватерниона я, кажется, все объяснил. То, что Арнольд назвал "скалярной" и "векторной" частью, в наше время называют "действительной" и "мнимой". Это проекции на подпространства. Впрочем, может быть, термин Арнольда даже лучше, поскольку подалгебра, порожденное единицей, изоморфна полю скаляров, рассматриваемому как алгебра над собой.

Yarkin писал(а):

Но там четко подразделяются элементы поля $\mathbb{K}$ и элементы векторного пространства $\mathbb{S}$ над полем $\mathbb{K}$. Элементы векторного пространства называются векторами.

Ну и? В общем случае они, конечно, берутся из разных множеств, но обратного никто не запрещал. Вы явно не понимаете, что такое определение. В определении сказано, что должно быть два множества, что должны выполняться свойства 1-8 (или сколько там у вас). Множества есть, свойства выполняются, всё. Точка. Это - векторное пространство.

Кстати, а почему одно и то же множество не может быть в одном векторном пространстве полем, а в другом - множеством векторов? Это будет еще один пример против вашего заявления, что скаляр и вектор - понятия несовместимые.

Кстати, а для векторных пространств, являющихся одновременно и кольцами (может быть, полями), даже термин специальный есть - "алгебры" (в старых книжках - "линейные алгебры"). Так что не надо тут.

Добавлено спустя 3 минуты 36 секунд:

Yarkin писал(а):

Быстро Вы составили характеристику.

Конечно, не совсем точно. Но когда статья по математике начинается с египетских пирамид, быстро становится все понятно.
Автор не прислушивается к элементарным контрпримерам, и там тоже доказательство проходит даже для действительных $x,y,z$, если это вообще можно назвать доказательством.

[Yarkin]

AD писал(а):

Yarkin писал(а):
Нарушаются законы физики.
Безобразие. Куда смотрит милиция?? AD нарушил закон физики. Да, вот не было бы Yarkin$а, и все бы уже закон всемирного тяготения понарушали. Нет, серьезно. Даже математики не умеют нарушать законы физики. Математика не реальна.

AD писал(а):

Ну и? В общем случае они, конечно, берутся из разных множеств, но обратного никто не запрещал. Вы явно не понимаете, что такое определение. В определении сказано, что должно быть два множества, что должны выполняться свойства 1-8 (или сколько там у вас). Множества есть, свойства выполняются, всё. Точка. Это - векторное пространство.

Кстати, а почему одно и то же множество не может быть в одном векторном пространстве полем, а в другом - множеством векторов? Это будет еще один пример против вашего заявления, что скаляр и вектор - понятия несовместимые.

Векторное пространство должно удовлетворять требованиям:

$$ \left\{ \begin{aligned} c(u_1 + u_2) = cu_1 + cu_2\\ (c_1 + c_2) = c_1u + c_2u \\ c_1(c_2u) = (c_1c_2)u\\ 1u = u.\\ \end{aligned} \right. $$

При формальном подходе можно пренебречь законами физики. Но эти законы не зависят от нашего формализма. Они действуют независимо от нас. Пренебрежение рано или поздно даст о себе знать. Это относится и к геометрии.
Элементами векторного пространства $u, u_1, u_2$ векторы и они не могут одновременно быть элементами поля $\mathbb{K}$, то есть играть роль его элементов $c, c_1, c_2, 1$, иначе требования превратяться в действия с векторами.

AD писал(а):

Кстати, а для векторных пространств, являющихся одновременно и кольцами (может быть, полями), даже термин специальный есть - "алгебры" (в старых книжках - "линейные алгебры"). Так что не надо тут.

И Фадеев согласен, что "Исследование векторных пространств составляет содержание линейной алгебры" отсюда может быть и название.

AD писал(а):

Yarkin писал(а):

Быстро Вы составили характеристику.

Конечно, не совсем точно. Но когда статья по математике начинается с египетских пирамид, быстро становится все понятно.
Автор не прислушивается к элементарным контрпримерам, и там тоже доказательство проходит даже для действительных , если это вообще можно назвать доказательством.

Но он это и утверждает - для любых действительных чисел.

AD писал(а):

Про скалярные и векторные части кватерниона я, кажется, все объяснил. То, что Арнольд назвал "скалярной" и "векторной" частью, в наше время называют "действительной" и "мнимой". Это проекции на подпространства. Впрочем, может быть, термин Арнольда даже лучше, поскольку подалгебра, порожденное единицей, изоморфна полю скаляров, рассматриваемому как алгебра над собой.

Я про эти изменения не знал. В таком представлении кватерниона меня, конечно, весьма заинтересуют "проекции на подпространства". Если не трудно, укажите где это можно прочесть.

[AD]

Ну слушайте, не буду я вам тут читать курс линейной алгебры. Берите любую книжку и вдумчиво читайте, если интересно.

А про формализм и законы физики я уже не раз отвечал. Законы физики существуют от нас независимо, это верно (хотя тоже можно поспорить - ведь влияет же познание на материю), но математика уж точно существует независимо от законов физики, поэтому физика не может быть аргументом в математике.

[bot]

Ну, давайте ещё я попробую втолковать простую вещь, понятную всем математикам.
Смысл, который они вкладывают во фразу "любое поле является векторным пространством над самим собой" состоит в следующем.
Берём произвольное поле $\mathbb{F}$ и образуем ещё одно множество $\overline{\mathbb{F}}$. Элементы второго множества - это просто надчёркнутые элементы первого - если $a\in \mathbb{F}$, то $\overline{a}\in \overline{\mathbb{F}}$. Элементы $\mathbb{F}$ называем скалярами, а элементы второго - векторами.
Определяем операции сложения векторов и умножение вектора на скаляр:
$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$
$\lambda \cdot \overline{a}=\overline{\lambda \cdot a}$
Примеры (в случае $\mathbb{F}=\mathbb{R}$):
$\overline{2}+\overline{2}=\overline{2+2}=\overline{4}$
$2 \cdot \overline{2}=\overline{2 \cdot 2}=\overline{4}$
Берите книжку и проверяйте аксиомы векторного (линейного) пространства.
Аналогичный смысл вкладывается во фразу "любое поле является векторным пространством над любым своим подполем".
Примеры:
Поле $\mathbb{C}$ является векторным пространством над полем $\mathbb{R}$
Поле $\mathbb{R}$ является векторным пространством над полем $\mathbb{Q}$
Первое из них двумерно - можно выбрать базис из двух элементов 1 и i, а второе конечного базиса не имеет.

P.S. Уже написав, подумал, что может быть лучше было просто привести пример линейного пространства строк $\mathbb{F}^n$ при n=1. Как в этом случае будет писаться n-ка?
Вот так: (a), то есть вместо надчерка для обозначения вектора будет использоваться окружение скаляра скобками.
Такое "разведение" одного и того же поля или поля и его подполя на объекты разной природы имеет чисто технический характер и не вызывает никаких затруднений у математиков.

[Yarkin]

AD писал(а):

Ну слушайте, не буду я вам тут читать курс линейной алгебры. Берите любую книжку и вдумчиво читайте, если интересно.

Просто у Арнольда такое представление кватерниона нету. Согласно определения проекции - проекции скаляра и вектора - различаются. Проекции точки, отрезка и вектора ясны. А как быть с понятием проекции скаляра, это мне непонятно.

AD писал(а):

А про формализм и законы физики я уже не раз отвечал. Законы физики существуют от нас независимо, это верно (хотя тоже можно поспорить - ведь влияет же познание на материю), но математика уж точно существует независимо от законов физики, поэтому физика не может быть аргументом в математике.

Математика может быть толко частью физики, согласно истории. Любой формализм или определение должны это учитывать. А если в математических рассуждениях и выводах обнаруживается противоречие с физикой, то это говорит о том, что где-то есть ошибка.
Я механик. Именно с точки зрения механики, ВТФ сформулирована некорректно. Это можно обосновать математически.

[TOTAL]

Yarkin писал(а):

Математика может быть толко частью физики, согласно истории. Любой формализм или определение должны это учитывать.

Не беспокойтесь, все учтено. Даже правила игры в шахматы являются неотъемлемой частью физики.

[незваный гость]

Yarkin писал(а):

Математика может быть толко частью физики, согласно истории.

Согласно теории, майский жук летать не может. Но летает — в силу неосведомленности.

Так и математики успешно работают только потому, что не знают истории. И того, что история может что-либо доказывать в математике.

[Yarkin]

bot писал(а):

Ну, давайте ещё я попробую втолковать простую вещь, понятную всем математикам.
Смысл, который они вкладывают во фразу "любое поле является векторным пространством над самим собой" состоит в следующем.
Берём произвольное поле $\mathbb{F}$ и образуем ещё одно множество $\overline{\mathbb{F}}$. Элементы второго множества - это просто надчёркнутые элементы первого - если $a\in \mathbb{F}$, то $\overline{a}\in \overline{\mathbb{F}}$. Элементы $\mathbb{F}$ называем скалярами, а элементы второго - векторами.
Определяем операции сложения векторов и умножение вектора на скаляр:
$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$
$\lambda \cdot \overline{a}=\overline{\lambda \cdot a}$
Примеры (в случае $\mathbb{F}=\mathbb{R}$):
$\overline{2}+\overline{2}=\overline{2+2}=\overline{4}$
$2 \cdot \overline{2}=\overline{2 \cdot 2}=\overline{4}$
Берите книжку и проверяйте аксиомы векторного (линейного) пространства.

Да, я AD так и понял. С точки зрения математического формализма это допустимо. С природной точки зрения, такой формализм не допустим. Простой пример. Берем множество, элементами которого являются камни. Любой камень можно изобразить вектором – силой, направленной к центру земли (сила притяжения). В этом множестве камней, мы выбираем подмножество камней и говорим, что каждый из них, теперь, будет температурой. От этого ничего не измениться. Камни, играющие роль температуры, не потеряют своего векторного свойства. Также можно поступить и со скалярами, мысленно наделив их векторным свойством, но от этого скаляр не превратиться в вектор. И, по моему, Фадеев такого примера не приводит, четко подразделяя векторное пространство $\mathbb{S}$
над полем $\mathbb{K}$

bot писал(а):

Аналогичный смысл вкладывается во фразу "любое поле является векторным пространством над любым своим подполем".
Примеры:
Поле $\mathbb{C}$ является векторным пространством над полем $\mathbb{R}$
Поле $\mathbb{R}$ является векторным пространством над полем $\mathbb{Q}$
Первое из них двумерно - можно выбрать базис из двух элементов 1 и i, а второе конечного базиса не имеет.

P.S. Уже написав, подумал, что может быть лучше было просто привести пример линейного пространства строк $\mathbb{F}^n$ при n=1. Как в этом случае будет писаться n-ка?
Вот так: (a), то есть вместо надчерка для обозначения вектора будет использоваться окружение скаляра скобками.
Такое "разведение" одного и того же поля или поля и его подполя на объекты разной природы имеет чисто технический характер и не вызывает никаких затруднений у математиков.

Абсолютно, согласен. Если математик решает задачу ради математики, то тут не может быть никакого спора. Но, если эта задача сформулирована физиком, которого интересуют влияние законов природы, то тут такой формализм не пройдет, ибо потеряется физический смысл.

Добавлено спустя 11 минут 53 секунды:

TOTAL писал(а):

Не беспокойтесь, все учтено. Даже правила игры в шахматы являются неотъемлемой частью физики.

Честно говоря, над игрой в шахматы не задумывался.

незваный гость писал(а):

Согласно теории, майский жук летать не может. Но летает — в силу неосведомленности.

Очень рад новой встрече. А жука поэтому и назвали майским.

незваный гость писал(а):

Так и математики успешно работают только потому, что не знают истории. И того, что история может что-либо доказывать в математике.

Я бы опустил здесь слово "успешно". В остальном я согласен.

[PAV]

PAV:

Тема перемещается в карантин до исправления автором всех ошибок в своих постах, связанных с оформлением формул и цитат. Вы систематически не закрываете теги. Когда будет сделано, напишите модератору и тема будет возвращена обратно.