Грубое введение в тензоры

[Oleg Zubelevich]

Уже познакомил. Линейная алгебра совсем не сводится к теории конечномерных линейных пространств над полем действительных или комплексных чисел. И совершенно спокойно может рассматриваться как раздел общей алгебры см. цитированную книжку.
В линейной алгебре есть большое количество всяких конструкций, которые не связаны ни с конечномерностью ни с топологией. Они применяются в самых различных разделах математики. Та же теорема о факторизации из которой вытекают все теоремы о множителях Лагранжа. Понятие "тензорное произведение" тоже не связано с конечномерностью и является именно алгебраическим объектом и применяется не только в дифференциальной геометрии.
И вот, например, непонимание частое понятия "тензорное произведение", оно на мой взгляд вызвано именно тем, что его объясняют в контексте большого количества дифференциально-геометрических подробностей, что только затемняет его алгебраическую природу, которая не имеет отношения ни к многообразиям ни к топологии ни к конечномерности.
Тензорное произведение это алгебраический объект и мотивировано оно алгеброй. А уже потом на него начинают накручиваться дополнительные структуры, в дифференциальной геометрии одни , в функциональном анализе -- другие.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #768593 писал(а):

Уже познакомил.

Я думал, у вас есть что-то больше, чем одна книга. Я её, конечно, посмотрю.

Oleg Zubelevich в сообщении #768593 писал(а):

И совершенно спокойно может рассматриваться как раздел общей алгебры

Может. Я не отрицаю. Вы, может быть, неправильно поняли мною сказанное?

Oleg Zubelevich в сообщении #768593 писал(а):

В линейной алгебре есть большое количество всяких конструкций, которые не связаны ни с конечномерностью ни с топологией.

Я не свожу понятие геометрии к конечномерности и топологии. С геометрией бесконечномерных пространств я знаком, наверное, меньше, чем вы, но всё-таки не по нулям. А некоммутативные геометрии и суперпространства вообще не обладают топологией в привычном смысле.

[Munin]

Спасибо за указание на Бурбаки. Я прочитал "Исторический очерк", как к главам 2 и 3, так и к 9.
Некоторые вещи я упустил из виду, или мне они были вовсе неизвестны (целочисленные линейные пространства, например). Некоторые укладываются в мою интерпретацию: геометрическое понимание развивалось со временем, и даже хотя исторически могло не присутствовать в таких местах, как линейные дифференциальные уравнения, но со временем оно распространилось на них. Даже само понятие "геометричности" развивалось со временем, постепенно включая в себя такие вещи, как аффинные преобразования, квадрики и квадратичные формы, билинейные формы и сопряжённость.

[Neos]

Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований. И на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения. Существует, конечно ответ: "Не парься, считай. Привыкнешь - забудешь все эти глупости".
Понятно, что "царских" дорог в науке нет, и в большинстве случаев приходится "упираться".
Но, те кто освоил какую-то область, у него безусловно свой арсенал приемов, как мнемонических, так и методических. Эта тема пересекается с другой "О психологических причинах отставания студентов ".
Утундрий поднял хороший вопрос: "Как безболезненно "въехать" в сложную предметную область".

[Munin]

На этом форуме несколько раз уже были такие описания:
«Матрица прямого и обратного перехода в тензорном иссчислении»
«Ковариантный / контравариантный вектор»
«Что такое ковектор?»
чисто навскидку, в которых я участвовал...

«Тензоры - как себе представить?»
«Геометрический смысл билинейной формы и др.»

[Oleg Zubelevich]

Neos в сообщении #768679 писал(а):

Существует, конечно ответ: "Не парься, считай. Привыкнешь - забудешь все эти глупости".
Понятно, что "царских" дорог в науке нет, и в большинстве случаев приходится "упираться".

Царская дорога существует, только она не самая тривиальная: надо освоить определение тензорного произведения в общей инвариантной формулировке. А законы преобразования это уже следствие.

[Neos]

Я почти угадал.
lena7 http://dxdy.ru/topic73341.html пишет :

Цитата:

В координатах обычно не понимают, а вычисляют.

Посмотрели, как преобразуются базисные векторы. Потом посмотрели, как при этом преобразуются координаты вектора. Оказалось, наоборот. Называем векторы контравариантными, чтобы не забыть и тупо пользуемся этим.

Правда, есть что-то для "на полстранички". Повидимому фраза: " Не тупи -считай! ", одна из
мантр при воспитании теоретиков. И наверное это правильно. Просто ни в одном "букваре" этого не написано. Это часть "внутренней кухни", которая недоступна "людям с улицы". В "неудачников" превращаются те, кто игнорирует это правило. О многом стоит поговорить.
Munin , за ссылки спасибо.

[Munin]

Neos в сообщении #768728 писал(а):

Повидимому фраза: " Не тупи -считай! ", одна из мантр при воспитании теоретиков.

Вот была ещё такая тема, где я про это высказался: «"Глубинный смысл" математических понятий» конкретно вот здесь: post622351.html#p622351 (да и в других местах высказывал то же самое).
В целом, "не тупи - считай!" - это один из реально правильных путей к пониманию. Хотя, это вещь совершенно неочевидная для тех, кто не испытал этого на личном опыте.

П. С. Научитесь получше цитировать, с использованием кнопок и .

[Oleg Zubelevich]

topic61294.html?hilit=

[Утундрий]

Neos в сообщении #768679 писал(а):

Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований. И на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения. Существует

Так или иначе, это просто определения. Но и определения можно сделать менее формальными если поразмышлять, откуда они могут вылезти...

Поглядим на компоненты контра- и ко- векторов как на обобщения дифференциала $dx^\mu$ и градиента $f_{,\mu }$ соответственно. Мы можем вычислить как они преобразуются при замене координат $x^{\mu '} = x^{\mu '} \left( {x^\mu } \right)$: $dx^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} dx^\mu$ и $f_{,\mu } = x_{,\mu }^{\mu '} f_{,\mu '}$. Вторая формула следует из первой и из инвариантности формы первого дифференциала: $df = f_{,\mu } dx^\mu = f_{,\mu '} dx^{\mu '}$. Если замена координат обратима, то вторую формулу можно перевернуть: $f_{,\mu '} = x_{,\mu '}^\mu f_{,\mu }$. Теперь рассмотрим произвольные наборы чисел, не являющиеся ни дифференциалами ни компонентами градиента, но зато преобразующиеся при заменах точно по таким же законам: $v^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} v^\mu$ и $w_{\mu '} = x_{,\mu '}^\mu w_\mu$. Инвариантность формы первого дифференциала намекает нам, что свёртка $v^\mu w_\mu$ будет инвариантом. Проверяем и убеждаемся в этом.

Рассмотрим двухиндексный набор чисел $x_{,\nu }^\mu$. Все числа этого набора могут быть получены по одному правилу: $x_{,\nu }^\mu = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 1 & {\mu = \nu } \\ 0 & {\mu \ne \nu } \\ \end{array} } \right.$. Замечаем, что "по построению" правило одно и то же в любых координатах. Следовательно, в "каком-то смысле" наш объект должен быть инвариантен. Исследуем смысл этого "какого-то смысла": $x_{,\nu '}^{\mu '} = x_{,\nu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu = x_{,\alpha }^{\mu '} x_{,\nu '}^\beta x_{,\beta }^\alpha$. Обращает на себя внимание тот факт, что $x_{,\nu }^\mu$ преобразуется в точности как произведение $v^\mu w_\nu$. Кроме того, всегда можно написать $v^\mu w_\mu = v^\nu w_\mu x_{,\nu }^\mu$ и посмотреть на это выражение в штрихованных координатах. Поскольку наше выражение инвариант, двухиндексной величине просто не остаётся выбора как преобразовываться. Убеждаемся в этом прямым вычислением и, вдохновясь намёками, рассматриваем наконец произвольноиндексные наборы чисел, преобразующиеся точно так же, как произведения одноиндексных. Осталось обозвать их всех каким-то словом... ну, например, тензоры.

Примечание
Я умышленно не объяснил принятую нотацию. Любопытно было бы узнать, что в ней (с точки знения новичка) требует объяснения?

[Munin]

Мне это напоминает танец где-то с середины.

[Утундрий]

Munin в сообщении #768832 писал(а):

Мне это напоминает танец где-то с середины

Дотанцуете начало?

[Neos]

Судя по числу просмотров, тема интересует многих.
А кто сказал, что написать что-то хорошее легко ?

[Утундрий]

Вначале я бы добавил ну разве точечки. В виде последовательностей. Пусть, значится, имеются последовательности вещественных чисел длины $n$. Запишем их так: $\left( {x^1 ,x^2 ,...x^n } \right)$ или так: $\left( {x^\mu } \right)$ или, если совсем лениво, то так: $(x)$, хотя последнее плохо. Остановимся на средне-ленивом варианте $\left( {x^\mu } \right)$, где $\mu$ - сами понимаете - "пробегает" $1, 2, ... n$. Последовательности можно складывать $\left( {x^\mu } \right) + \left( {y^\mu } \right) = \left( {x^\mu + y^\mu } \right)$ и умножать на числа $\lambda \left( {x^\mu } \right) = \left( {\lambda x^\mu } \right)$. Запись $\left( {x^\mu } \right)$ можно понимать как последовательность целиком или как отдельный $\mu$-й член этой последовательности. Чтобы превратить "или" в "и" мы пишем $\left( {x^\mu } \right) + \left( {y^\mu } \right) = \left( {x^\mu + y^\mu } \right)$ а не, предположим, $\left( {x^\mu } \right) + \left( {y^\nu } \right) = \left( {x^\alpha + y^\alpha } \right)$. Последняя запись может быть прочтена только в первом смысле. Последовательность мала, или близка к нулевой последовательности (или просто к нулю), если все её компоненты малы. Разностью двух последовательностей обзовём сумму первой и второй, умноженной на минус единичку. Две последовательности близки, если их разность близка к нулю... У всего этого словотворчества есть название, но я его произносить не буду, чтоб не накликать. В общем, $\left( {x^\mu } \right)$ и $\left( {x^\mu + dx^\mu } \right)$ близки ежели $\left( {dx^\mu } \right)$ мала. Дальше последовательности называем точками и делаем ещё один шаг в сторону потакания лени - не пишем скобок.

Пусть фиксирована точка ${x^\mu }$, а малая точка ${dx^\mu }$ бегает по какой-то области вокруг нуля. Тогда ${x^\mu + dx^\mu }$ бегает по не менее какой-то области вокруг фиксированной точки. Наплодим $n$ функций: $x^{\mu '} \left( {x^\mu } \right)$ и потребуем, чтобы в некоторой области (подобласти какой-то) они выворачивались наизнанку: $x^\mu \left( {x^{\mu '} } \right)$. Для этого надобно, чтобы $\det \left\| {x_{,\mu }^{\mu '} } \right\|$ был в некоторой области отличен от нуля. Из принципа экономии букв, считаем $\mu$ и ${\mu '}$ разными буквами. То есть, например, в формуле $dx^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} dx^\mu $ суммирование идёт только по $\mu$.

(далее см. прддщ. стрнц.)

[Munin]

Всё-таки опять использовали обозначение _{,\mu} до его введения :-) Хотя уже в пределах одного абзаца...