Что такое ковектор?

[Iby]

Как себе геометрически представить ковектор и чем он отличается от вектора?

[alcoholist]

Ковектор -- это тоже вектор)))

Ковектор -- линейная функция на векторном пространстве. /Такие функции тоже образуют векторное пространство. Его называют двойственным к исходному.

Iby в сообщении #621690 писал(а):

Как себе геометрически представить

как угодно... вот как Вы себе представляете $n$-мерное пространство?

[epros]

Iby в сообщении #621690 писал(а):

Как себе геометрически представить ковектор и чем он отличается от вектора?

Могу предложить такой вариант: Если вектор - это малый направленный отрезок, то ковектор - это градиент скалярной функции.

[12d3]

практическая разница между векторами и ковекторами - при преобразовании координат их компоненты преобразуются по разным правилам.

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #621786 писал(а):

Если вектор - это малый направленный отрезок

обязательно маленький? А не позвать ли нам доктора Фрейда, он тоже большой специалист по длине направленных отрезков.

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #621849 писал(а):

обязательно маленький?

Обязззззательно. Ибо только малые отрезки достаточно хорошо описываются линейными объектами. Мы ведь про «смыслы» и «представления» говорим, а не о формальных определениях? Так что слова «хорошо описываются» допустимы.

[Munin]

Iby в сообщении #621690 писал(а):

Как себе геометрически представить ковектор и чем он отличается от вектора?

Бёрке (кажется, его порыв не сильно поддержан) предлагал такие геометрические образы:

Ковектор (1-форма):


Происхождение обозначения из контурной карты скалярной функции (градиент такой функции есть ковектор, но не всякой ковектор - градиент):


пример ковектора, который не градиент:


Операции: умножение на коэффициент


сложение


$a+b+c=0$


умножение вектора на ковектор (здесь $(v,a)=2,$ $(w,b)=-3$)


Базисные векторы и ковекторы в декартовой системе координат:


в произвольной системе координат:


Картинка для $a+b+c=0$ после линейного преобразования пространства:

[alcoholist]

координаты - это для компьютеров

законы природы инвариантны


это был тост

[arseniiv]

Munin в сообщении #621908 писал(а):

Бёрке (кажется, его порыв не сильно поддержан) предлагал такие геометрические образы:

Странно. По-моему, удобно!

(Оффтоп)

Осталось разобраться теперь, как можно вот так изобразить билинейную форму (контравариантные бивекторы понятны, не хватает только двойственного). По аналогии как-то не очень получается.

[Munin]

arseniiv в сообщении #622029 писал(а):

Странно. По-моему, удобно!

По-моему, тоже. Впервые я это увидел у Мизнера-Торна-Уилера в "Гравитации".

arseniiv в сообщении #622029 писал(а):

Осталось разобраться теперь, как можно вот так изобразить билинейную форму (контравариантные бивекторы понятны, не хватает только двойственного). По аналогии как-то не очень получается.

В смысле, 2-форму? Она рисуется как решётка ячеек. Burke. Div, grad, curl are dead. Характеризуют её только ориентация (в т. ч. в 3-мерном и выше пространстве), и плотность ячеек.

Ещё такие картинки были в
Selfridge, Arnold, Warnick. Teaching Electromagnetic Field Theory Using Differential Forms
Edwards. Advanced calculus - a differential forms approach

[arseniiv]

Munin в сообщении #622047 писал(а):

В смысле, 2-форму? Она рисуется как решётка ячеек. Burke. Div, grad, curl are dead. Характеризуют её только ориентация (в т. ч. в 3-мерном и выше пространстве), и плотность ячеек.

Спасибо. Теперь всё-таки вижу аналогии немного.

Кстати, глупый вопрос задам: есть осмысленный изоморфизм между $\Lambda^{(\dim V - a)} V$ и $\Lambda^a (V^*)$?

[Munin]

А это разве не "звёздочка Ходжа"? http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual

[g______d]

arseniiv в сообщении #622082 писал(а):

Кстати, глупый вопрос задам: есть осмысленный изоморфизм между $\Lambda^{(\dim V - a)} V$ и $\Lambda^a (V^*)$?

Задать такой изоморфизм --- это все равно, что задать изоморфизм между одномерным пространством $\Lambda^{(\dim V)}V$ и основным полем. Без дополнительной структуры выделенного изоморфизма нет.

-- 21.09.2012, 23:49 --

Munin в сообщении #622085 писал(а):

А это разве не "звёздочка Ходжа"? http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual

Для нее нужна структура евклидова пространства (и тогда можно не различать $V$ и $V^*$).

[Munin]

g______d в сообщении #622106 писал(а):

Для нее нужна структура евклидова пространства

Я думал, для неё может быть структура слабее чем евклидова. Впрочем, вам виднее.

[g______d]

Munin в сообщении #622108 писал(а):

Я думал, для неё может быть структура слабее чем евклидова. Впрочем, вам виднее.

Я не совсем прав, не обязательна евклидова структура, но нужно внутреннее произведение (т. е. не обязательно положительно определенное; например, как в пространстве Минковского).