2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 12:14 


10/02/11
6786
Уже познакомил. Линейная алгебра совсем не сводится к теории конечномерных линейных пространств над полем действительных или комплексных чисел. И совершенно спокойно может рассматриваться как раздел общей алгебры см. цитированную книжку.
В линейной алгебре есть большое количество всяких конструкций, которые не связаны ни с конечномерностью ни с топологией. Они применяются в самых различных разделах математики. Та же теорема о факторизации из которой вытекают все теоремы о множителях Лагранжа. Понятие "тензорное произведение" тоже не связано с конечномерностью и является именно алгебраическим объектом и применяется не только в дифференциальной геометрии.
И вот, например, непонимание частое понятия "тензорное произведение", оно на мой взгляд вызвано именно тем, что его объясняют в контексте большого количества дифференциально-геометрических подробностей, что только затемняет его алгебраическую природу, которая не имеет отношения ни к многообразиям ни к топологии ни к конечномерности.
Тензорное произведение это алгебраический объект и мотивировано оно алгеброй. А уже потом на него начинают накручиваться дополнительные структуры, в дифференциальной геометрии одни , в функциональном анализе -- другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #768593 писал(а):
Уже познакомил.

Я думал, у вас есть что-то больше, чем одна книга. Я её, конечно, посмотрю.

Oleg Zubelevich в сообщении #768593 писал(а):
И совершенно спокойно может рассматриваться как раздел общей алгебры

Может. Я не отрицаю. Вы, может быть, неправильно поняли мною сказанное?

Oleg Zubelevich в сообщении #768593 писал(а):
В линейной алгебре есть большое количество всяких конструкций, которые не связаны ни с конечномерностью ни с топологией.

Я не свожу понятие геометрии к конечномерности и топологии. С геометрией бесконечномерных пространств я знаком, наверное, меньше, чем вы, но всё-таки не по нулям. А некоммутативные геометрии и суперпространства вообще не обладают топологией в привычном смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Спасибо за указание на Бурбаки. Я прочитал "Исторический очерк", как к главам 2 и 3, так и к 9.
Некоторые вещи я упустил из виду, или мне они были вовсе неизвестны (целочисленные линейные пространства, например). Некоторые укладываются в мою интерпретацию: геометрическое понимание развивалось со временем, и даже хотя исторически могло не присутствовать в таких местах, как линейные дифференциальные уравнения, но со временем оно распространилось на них. Даже само понятие "геометричности" развивалось со временем, постепенно включая в себя такие вещи, как аффинные преобразования, квадрики и квадратичные формы, билинейные формы и сопряжённость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 16:55 
Аватара пользователя


08/01/13
247
Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований. И на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения. Существует, конечно ответ: "Не парься, считай. Привыкнешь - забудешь все эти глупости".
Понятно, что "царских" дорог в науке нет, и в большинстве случаев приходится "упираться".
Но, те кто освоил какую-то область, у него безусловно свой арсенал приемов, как мнемонических, так и методических. Эта тема пересекается с другой "О психологических причинах отставания студентов ".
Утундрий поднял хороший вопрос: "Как безболезненно "въехать" в сложную предметную область".

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
На этом форуме несколько раз уже были такие описания:
«Матрица прямого и обратного перехода в тензорном иссчислении»
«Ковариантный / контравариантный вектор»
«Что такое ковектор?»
чисто навскидку, в которых я участвовал...

«Тензоры - как себе представить?»
«Геометрический смысл билинейной формы и др.»

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 18:53 


10/02/11
6786
Neos в сообщении #768679 писал(а):
Существует, конечно ответ: "Не парься, считай. Привыкнешь - забудешь все эти глупости".
Понятно, что "царских" дорог в науке нет, и в большинстве случаев приходится "упираться".

Царская дорога существует, только она не самая тривиальная: надо освоить определение тензорного произведения в общей инвариантной формулировке. А законы преобразования это уже следствие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 19:03 
Аватара пользователя


08/01/13
247
Я почти угадал.
lena7 http://dxdy.ru/topic73341.html пишет :
Цитата:
В координатах обычно не понимают, а вычисляют.

Посмотрели, как преобразуются базисные векторы. Потом посмотрели, как при этом преобразуются координаты вектора. Оказалось, наоборот. Называем векторы контравариантными, чтобы не забыть и тупо пользуемся этим.

Правда, есть что-то для "на полстранички". Повидимому фраза: " Не тупи -считай! ", одна из
мантр при воспитании теоретиков. И наверное это правильно. Просто ни в одном "букваре" этого не написано. Это часть "внутренней кухни", которая недоступна "людям с улицы". В "неудачников" превращаются те, кто игнорирует это правило. О многом стоит поговорить.
Munin , за ссылки спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Neos в сообщении #768728 писал(а):
Повидимому фраза: " Не тупи -считай! ", одна из мантр при воспитании теоретиков.

Вот была ещё такая тема, где я про это высказался: «"Глубинный смысл" математических понятий» конкретно вот здесь: post622351.html#p622351 (да и в других местах высказывал то же самое).
В целом, "не тупи - считай!" - это один из реально правильных путей к пониманию. Хотя, это вещь совершенно неочевидная для тех, кто не испытал этого на личном опыте.

П. С. Научитесь получше цитировать, с использованием кнопок Изображение и Изображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 20:30 


10/02/11
6786
topic61294.html?hilit=

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Neos в сообщении #768679 писал(а):
Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований. И на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения. Существует

Так или иначе, это просто определения. Но и определения можно сделать менее формальными если поразмышлять, откуда они могут вылезти...

Поглядим на компоненты контра- и ко- векторов как на обобщения дифференциала $dx^\mu$ и градиента $f_{,\mu }$ соответственно. Мы можем вычислить как они преобразуются при замене координат $x^{\mu '}  = x^{\mu '} \left( {x^\mu  } \right)$: $dx^{\mu '}  = x_{,\mu }^{\mu '} dx^\mu$ и $f_{,\mu }  = x_{,\mu }^{\mu '} f_{,\mu '}$. Вторая формула следует из первой и из инвариантности формы первого дифференциала: $df = f_{,\mu } dx^\mu   = f_{,\mu '} dx^{\mu '}$. Если замена координат обратима, то вторую формулу можно перевернуть: $f_{,\mu '}  = x_{,\mu '}^\mu  f_{,\mu }$. Теперь рассмотрим произвольные наборы чисел, не являющиеся ни дифференциалами ни компонентами градиента, но зато преобразующиеся при заменах точно по таким же законам: $v^{\mu '}  = x_{,\mu }^{\mu '} v^\mu$ и $w_{\mu '}  = x_{,\mu '}^\mu  w_\mu$. Инвариантность формы первого дифференциала намекает нам, что свёртка $v^\mu  w_\mu$ будет инвариантом. Проверяем и убеждаемся в этом.

Рассмотрим двухиндексный набор чисел $x_{,\nu }^\mu$. Все числа этого набора могут быть получены по одному правилу: $x_{,\nu }^\mu   = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   1 & {\mu  = \nu }  \\   0 & {\mu  \ne \nu }  \\ \end{array} } \right.$. Замечаем, что "по построению" правило одно и то же в любых координатах. Следовательно, в "каком-то смысле" наш объект должен быть инвариантен. Исследуем смысл этого "какого-то смысла": $x_{,\nu '}^{\mu '}  = x_{,\nu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu   = x_{,\alpha }^{\mu '} x_{,\nu '}^\beta  x_{,\beta }^\alpha$. Обращает на себя внимание тот факт, что $x_{,\nu }^\mu$ преобразуется в точности как произведение $v^\mu  w_\nu$. Кроме того, всегда можно написать $v^\mu  w_\mu   = v^\nu  w_\mu  x_{,\nu }^\mu$ и посмотреть на это выражение в штрихованных координатах. Поскольку наше выражение инвариант, двухиндексной величине просто не остаётся выбора как преобразовываться. Убеждаемся в этом прямым вычислением и, вдохновясь намёками, рассматриваем наконец произвольноиндексные наборы чисел, преобразующиеся точно так же, как произведения одноиндексных. Осталось обозвать их всех каким-то словом... ну, например, тензоры.

Примечание
Я умышленно не объяснил принятую нотацию. Любопытно было бы узнать, что в ней (с точки знения новичка) требует объяснения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Мне это напоминает танец где-то с середины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение28.09.2013, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Munin в сообщении #768832 писал(а):
Мне это напоминает танец где-то с середины

Дотанцуете начало?

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение29.09.2013, 01:26 
Аватара пользователя


08/01/13
247
Судя по числу просмотров, тема интересует многих.
А кто сказал, что написать что-то хорошее легко ? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение29.09.2013, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Вначале я бы добавил ну разве точечки. В виде последовательностей. Пусть, значится, имеются последовательности вещественных чисел длины $n$. Запишем их так: $\left( {x^1 ,x^2 ,...x^n } \right)$ или так: $\left( {x^\mu  } \right)$ или, если совсем лениво, то так: $(x)$, хотя последнее плохо. Остановимся на средне-ленивом варианте $\left( {x^\mu  } \right)$, где $\mu$ - сами понимаете - "пробегает" $1, 2, ... n$. Последовательности можно складывать $\left( {x^\mu  } \right) + \left( {y^\mu  } \right) = \left( {x^\mu   + y^\mu  } \right)$ и умножать на числа $\lambda \left( {x^\mu  } \right) = \left( {\lambda x^\mu  } \right)$. Запись $\left( {x^\mu  } \right)$ можно понимать как последовательность целиком или как отдельный $\mu$-й член этой последовательности. Чтобы превратить "или" в "и" мы пишем $\left( {x^\mu  } \right) + \left( {y^\mu  } \right) = \left( {x^\mu   + y^\mu  } \right)$ а не, предположим, $\left( {x^\mu  } \right) + \left( {y^\nu  } \right) = \left( {x^\alpha   + y^\alpha  } \right)$. Последняя запись может быть прочтена только в первом смысле. Последовательность мала, или близка к нулевой последовательности (или просто к нулю), если все её компоненты малы. Разностью двух последовательностей обзовём сумму первой и второй, умноженной на минус единичку. Две последовательности близки, если их разность близка к нулю... У всего этого словотворчества есть название, но я его произносить не буду, чтоб не накликать. В общем, $\left( {x^\mu  } \right)$ и $\left( {x^\mu   + dx^\mu  } \right)$ близки ежели $\left( {dx^\mu  } \right)$ мала. Дальше последовательности называем точками и делаем ещё один шаг в сторону потакания лени - не пишем скобок.

Пусть фиксирована точка ${x^\mu  }$, а малая точка ${dx^\mu  }$ бегает по какой-то области вокруг нуля. Тогда ${x^\mu   + dx^\mu  }$ бегает по не менее какой-то области вокруг фиксированной точки. Наплодим $n$ функций: $x^{\mu '} \left( {x^\mu  } \right)$ и потребуем, чтобы в некоторой области (подобласти какой-то) они выворачивались наизнанку: $x^\mu  \left( {x^{\mu '} } \right)$. Для этого надобно, чтобы $\det \left\| {x_{,\mu }^{\mu '} } \right\|$ был в некоторой области отличен от нуля. Из принципа экономии букв, считаем $\mu$ и ${\mu '}$ разными буквами. То есть, например, в формуле $dx^{\mu '}  = x_{,\mu }^{\mu '} dx^\mu  $ суммирование идёт только по $\mu$.

(далее см. прддщ. стрнц.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение29.09.2013, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Всё-таки опять использовали обозначение _{,\mu} до его введения :-) Хотя уже в пределах одного абзаца...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 102 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group