Анализ поведения материи на планковском масштабе

[aklimets]

m_еugene в сообщении #691450 писал(а):

Особенно интересует применение второго знака равенства.

$R_g$ - с моей точки зрения, с точностью до коэффициента есть нулевая компонента гравитационного 4-импульса. Поясню, почему так считаю. Напишем уравнение Эйнштейна для слабого гравитационного поля и проинтегрируем его по трехмерной гиперповерхности $S^i$. Слева мы получим некое выражение размерности длины $R_i$, справа 4-импульс материи, умноженный на коэффициент $2G/c^3$. Записывая 4-импульс материи как $P_i=mcU_i$ получим справа выражение $R_gU_i$. Для слабого поля такая запись возможна. В ЛЛ показано, что в этом случае $m$ есть полная масса. Таким образом уравнение Эйнштейна примет вид $R_i=R_gU_i$. Для центрально-симметричного поля все компоненты скорости $U_i$, кроме $U_0$, равны нулю, а нулевая компонента равна 1. Таким образом, $R_0=R_gU_0=R_g$ Следовательно, как компонента импульса, она не будет коммутировать с соответствующей сопряженной координатой . Вот примерно такой поток мыслей для обоснования приведенного соотношения неопределенностей. Или же можно просто, исходя из соображений размерности.

myhand в сообщении #691456 писал(а):

Что вам непредметного в тыкании на формулу и подробном объяснении почему она не имеет никакого разумного смысла?

Ну, с вами можно разговор заканчивать. Продолжайте совершенствовать вашу теорию "теплорода". Под "теплородом" я имею в виду "струны" как такие же, как и теплород, несуществующие сущности.

-- Вт мар 05, 2013 21:42:22 --

m_еugene в сообщении #691450 писал(а):

И я так и не "въехал в Ваше

aklimets в сообщении #686728 писал(а):
где - гравитационный радиус частицы, - ее координата

Давайте это понимать следующим образом. Когда говорят, например, что нельзя электрону упасть на ядро, так как чем меньше размер занимаемой области, тем, согласно соотношению неопределенностей, выше его скорость.
Так и в данном случае понимайте $r$ как размер занимаемой области. Рассуждения то качественные.

[aklimets]

Попробую обосновать установленное в первом посте соотношение неопределенностей $\Delta r_g\Delta r\ge\ell^2_{pl}$, исходя из уравнения Эйнштейна.
"Двухмерное искривленное пространство легко себе представить как поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Аналогичным образом можно иметь дело с искривленным четырехмерным пространством в плоском пространстве большего числа измерений. В этом случае искривленное пространство называют римановым. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.
Эйнштейн предположил, что физическое пространство является пространством именно такой природы, и поэтому положил риманову геометрию в основу теории гравитации."[1,c.14]
Уравнения гравитационного поля имеют вид

$$G_{ik}=\frac{8\pi k}{c^4}T_{ik}\,\,\,\,\,(1)$$

где $G_{ik}=R_{ik}-1/2g_{ik}R$ - тензор Эйнштейна, $T_{ik}$ - тензор энергии-импульса материи, $k$ - гравитационная постоянная, $c$ - скорость света.
Умножим правую и левую части (1) на $\sqrt{-g}$, где $g$ - определитель метрического тензора $g_{ik}$, и проинтегрируем обе части равенства по трехмерной гиперповерхности $S^k$. Имеем

$$ \int{\sqrt{-g}}\,G_{ik}dS^k=\frac{8\pi k}{c^4}\int{\sqrt{-g}}\,T_{ik}dS^k\,\,\,\,\,(2)$$

"Для любого тензорного поля $T_{ik...}$ величину $\sqrt{-g}\,T_{ik...}$ можно назвать тензорной плотностью. Когда область интегрирования мала, $\int{\sqrt{-g}}\,T_{ik}d^4x$ является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как он представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат" [1,c.39].
То же относится и к интегралу по трехмерной гиперповерхности $S^k$.
Таким образом, для малой области интегрирования уравнение (2) можно записать в виде следующего тензорного равенства

$$ R_i=\frac{2k}{c^3}P_i \,\,\,\,\,(3)$$

где $P_i$ - 4-импульс материи; $R_i$ - некая величина с размерностью длины, которую мы отождествляем с радиусом кривизны данной малой области при интегрировании по трехмерной гиперповерхности $S^k$ тензорной плотности кривизны пространства-времени $(1/4\pi)\sqrt{-g}\,G_{ik}$. Постоянную интегрирования положим равной нулю (вернее, сумму постоянной интегрирования и интеграла от космологического члена). Я думаю, что это всегда можно сделать, если в (1) учесть еще космологический член $\lambda g_{ik}$ [1,c.64], путем подбора константы $\lambda$. Возможно даже, что из равенства нулю этой суммы константа $\lambda$ и устанавливается.
Замечу, что уравнение (3) можно переписать следующим образом

$$ R_i=\frac{2k}{c^3}mcU_i \,\,\,\,\,(4)$$

где $m$ - полная масса, так как данная малая область пространства-времени близка к плоской; $U_i$ - 4-скорость.
Окончательно имеем

$$ R_i=\frac{2km}{c^2}U_i=r_g\,U_i \,\,\,\,\,(5)$$

где $r_g$ - гравитационный радиус гравитирующего тела.
Для статического поля и статического распределения материи $U_o=1$, $U_{\mu}=0,\, (\mu=1,2,3)$ [1,c.47] . Тогда из (5) получим

$$ R_0=r_g U_0=r_g\,\,\,\,\,(6)$$

Продолжим. Уравнение (3) в асимптотически плоском пространстве-времени (малой области интегрирования) является линейным. Поставим динамической переменной импульса $P_i$ соответствующий оператор. Оператор импульса $\hat P_i$ в координатном представлении имеет вид

$$ \hat P_i=-i\hbar\frac{d}{dx^i}\,\,\,\,\,(7)$$

Подставляя это выражения для оператора импульса в (3), получаем для оператора радиуса кривизны

$$ \hat R_i=\frac{2k}{c^3}\hat P_i=-i\frac{2k\hbar}{c^3}\frac{d}{dx^i}=-2i\ell^2_{pl}\frac{d}{dx^i}\,\,\,\,\,(8)$$

Или, окончательно, выражение для оператора радиуса кривизны для малой области интегрирования имеет вид

$$ \hat R_i=-2i\ell^2_{pl}\frac{d}{dx^i}\,\,\,\,\,(9)$$

где $\ell_{pl}=\sqrt{k\hbar/c^3}$ - фундаментальная планковская длина.
Очевидно, что оператор радиуса кривизны пространства-времени $\hat R_i$ в данной малой области и оператор координаты гравитирующей частицы $\hat x^i$ не коммутируют между собой, т.е.

$$ [\hat R_i\hat x^i-\hat x^i\hat R_i]=-2i\ell^2_{pl}\,\,\,\,\,(10)$$

Из (10) следует соотношение неопределенностей

$$ \Delta R_i\Delta x^i\ge\ell^2_{pl}\,\,\,\,\,(11)$$

Для центрально-симметричного поля компоненты 4-скорости $U_i$ в выражении для 4-импульса $P_i$ равны: $U_o=1$, $U_{\mu}=0,\, (\mu=1,2,3)$. Поэтому соотношение неопределенностей (11) вырождается в следующее соотношение

$$ \Delta R_0\Delta x^0\ge\ell^2_{pl}\,\,\,\,\,(12) $$

Из (5) видно, что в этом случае $R_0=r_g$, а $x^0$ совпадает с $r$, если пользоваться сферическими координатами.
Таким образом, для центрально-симметричного поля получаем следующее соотношение неопределенностей

$$ \Delta r_g\Delta r\ge\ell^2_{pl}\,\,\,\,\,(13) $$

Поэтому при качественном анализе уравнений общей теории относительности применительно к микромиру для малой области интегрирования всегда можно заменить безразмерное отношение $r_g/r$ на выражение $\ell^2_{pl}/r^2$ (исходя из того что, согласно (13), $r_g\approx\ell^2_{pl}/r$), что и требовалось доказать.
В микромире пространство-время в малой области является практически плоским даже для сильного гравитационного поля. Сильное гравитационное поле - это макроскопический эффект. Поэтому в микромире и допустима сшивка ОТО и квантовой механики.

Литература:

1. Дирак П.А.M Общая теория относительности,
Москва, Атомиздат, 1978

[espe]

Правильно ли я понял, что в Вашей теории предполагается, что вектор состояния $|\psi\rangle$ (грав. поля? или чего?) может быть записан как функция координат и времени $\psi({\bf x},t)$?

Если так, то каков смысл (если он есть) $|\psi({\bf x},t)|^2$?

[schekn]

aklimets в сообщении #764991 писал(а):

Умножим правую и левую части (1) на $\sqrt{-g}$, где $g$ - определитель метрического тензора $g_{ik}$, и проинтегрируем обе части равенства по трехмерной гиперповерхности $S^k$.

Нельзя интегрировать тензор. Формула (2) некорректна. Вы в результате не получите 4-вектор. В лучшем случае объект с одним значком сверху, который не является вектором.

[aklimets]

schekn в сообщении #765090 писал(а):

Нельзя интегрировать тензор. Формула (2) некорректна. Вы в результате не получите 4-вектор. В лучшем случае объект с одним значком сверху, который не является вектором.

Объясните, почему нельзя. Для большой области согласен, нельзя, для чего я и привел цитату из Дирака.. Но мной подчеркивается, что область интегрирования мала, т.е. является асимптотически плоской. Поэтому в малой области интегрирования получим вектор 4-импульса.

-- Ср сен 18, 2013 17:22:22 --

espe в сообщении #765060 писал(а):

Если так, то каков смысл (если он есть) $|\psi({\bf x},t)|^2$?

Подумаю. Вообще-то с этим смыслом при создании квантовой механики разбирались долго.

[aklimets]

Хотелось бы дополнить вышеизложенное. Надеюсь, из-за этого тему не отправят в пургаторий.
Попытаюсь обосновать свое утверждение о том, что в полученном соотношении

$$ R_i=\frac{2k}{c^3}P_i \,\,\,\,\,(1) $$

величина $R_i$, имеющая размерность длины, отображает радиус кривизны пространства-времени данной малой области в случае сильного гравитационного поля или любой большой области пространства-времени в случае слабого гравитационного поля.
Перепишем $(1)$ следующим образом

$$ R_i=\frac{2k}{c^3}mcU_i=\frac{2k}{c^2}m U_i\,\,\,\,\,(2)$$

где $m$ - полная масса (так как рассматриваемая малая область пространства-времени практически плоская); $U_i$ - 4-скорость.
Для случая статического поля и статического распределения материи $U_0=1$;$U_{\mu}=0, (\mu=1,2,3)$ [1,c.47].
Тогда $(2)$ вырождается в

$$ R_0=\frac{2k}{c^2}m=r_g\,\,\,\,\,(3) $$

где $r_g$ - гравитационный радиус массы $m$.
Теперь обратимся к механике Ньютона. Известно, что выражение для второй космической скорости $v_2$ находится из выражения для полной энергии частицы, движущейся со скоростью $v_2$, состоящего из кинетической и потенциальной энергий и имеет вид [2,c.172]

$$ E=\frac{mv^2_2}{2}-k\frac{m M_z}{R_z}\,\,\,\,\,(4) $$

где $k$ - гравитационная постоянная, $M_z$ - масса Земли, $R_z$ - расстояние от центра Земли до частицы. На бесконечно большом расстоянии полная энергия $E=0$. Поэтому

$$ \frac{mv^2_2}{2}=k\frac{mM_z}{R_z}\,\,\,\,\,(5) $$

Из $(5)$ находим скорость $v_2$ частицы, необходимой для преодоления земного притяжения (вторая космическая скорость)

$$ v_2=\sqrt{2k\frac{M_z}{R_z}}\,\,\,\,\,(6) $$

$(6)$ можно переписать также следующим образом

$$ R_z=\frac{2k}{v^2_2}M_z\,\,\,\,\,(7) $$

Положим формально скорость $v_2$ равной скорости света (для света). Получим

$$ R_z=\frac{2k}{c^2}M_z\,\,\,\,\,(8) $$

что совпадает с гравитационным радиусом Земли.
Невооруженным глазом видно сходство уравнения для величины $R_0$ из $(3)$, полученного в результате интегрирования уравнения Эйнштейна и соотношений $(7)$ и $(8)$, полученных из уравнения для второй космической скорости $(6)$.
Разберем другой пример [2,c.277]. Рассмотрим характеристическую длину, которая получится, если приравнять $Mc^2$ собственной гравитационной энергии тела

$$ k\frac{M^2}{R}=Mc^2\,\,\,\,\,(9) $$

или

$$ R=\frac{k}{c^2}M\,\,\,\,\,(10) $$

Здесь $R$ называется гравитационной длиной. С чем она связана? Масса известной нам Вселенной - величина порядка $10^{56}$ г. Тогда из $(10)$ получим

$$ R\approx10^{-7}10^{56}/(3*10^{10})^2\approx10^{28}cm\,\,\,\,\,(11) $$

что согласуется с наблюдаемым значением так называемого радиуса Вселенной (его можно оценить независимым путем).
Таким образом, и уравнение $(3)$ и соотношения $(7)$ и $(8)$ и соотношение размерностей $(9)$ сходны по форме, взаимосвязаны между собой и выражают одну и ту же суть - связь радиуса кривизны пространства-времени (или размера рассматриваемой области) и энергии-импульса материи, что и подтверждает наше предположение о трактовке $R_i$, высказанное в начале.
Хочу обратить внимание еще на один интересный момент. Пусть в выражения $(9)$ и $(10)$ вместо массы $M$ мы подставим импульс фотона $P$, деленный на скорость света, т.е. $P/c$. Приравнивая собственную гравитационную энергию фотона и его кинетическую энергию, получим характеристическую длину волны фотона (сравните с $(1)$.

$$ R=\frac{k}{c^2}\left (\frac{P}{c}\right )=\frac{k}{c^3}P\,\,\,\,\,(12) $$

По идее, она должна характеризовать гравитационный радиус для данного количества энергии, заключенной в фотоне.
Подставляя в $(12)$ вместо импульса $P$, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, величину $\hbar/R$, получим

$$ R=\sqrt{k\hbar/c^3}\approx10^{-33}cm\,\,\,\,\,(13) $$

то есть на планковском масштабе энергий фотон должен коллапсировать и стать планковской черной дырой.
В общем, как ни крути, но в микромире при включении в рассмотрение гравитационного поля мы все время упираемся в планковскую длину $10^{-33}cm$.

Литература:
1. Дирак П. А. M Общая теория относительности,
Москва, Атомиздат, 1978
2. Киттель Ч.,Найт В.,Рудерман М., Берклеевский курс физики. Механика, Москва, Наука, 1983

[myhand]

У меня единственный и простой вопрос. Почему эта тема давным давно не попала в Пургаторий?!

[Munin]

+1

[aklimets]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #767332 писал(а):

+1

Munin, все же меня не оставляет надежда, что среди российских физиков найдется свой "Шредингер", который использует изложенные в этой теме качественные рассуждения для построения полноценной квантовой теории гравитации.

[Munin]

Для построения полноценной квантовой теории гравитации давно уже (с 70-х годов как минимум) используют гораздо более глубокие качественные рассуждения. Ваши - просто не нужны, это информационный мусор.

[aklimets]

Munin в сообщении #767918 писал(а):

Для построения полноценной квантовой теории гравитации давно уже (с 70-х годов как минимум) используют гораздо более глубокие качественные рассуждения.

Хорошо, тогда просветите, использовался ли подход, который я использовал выше. Изложу его суть.
Искривленное 2-мерное пространство (поверхность шара) можно аппроксимировать, например, прилегающими друг к другу плоскими шестиугольниками. Чем меньше сторона шестиугольника, тем точнее аппроксимация искривленной поверхности шара.
Точно таким же образом можно аппроксимировать макроискривленное пространство-время в ОТО малыми плоскими областями пространства-времени, в пределах которых справедлива специальная теория относительности и линейная квантовая механика. Чем меньше масштаб аппроксимации, тем она точнее. Сшивка этих плоских малых областей пространства-времени в макромасштабе переходит в общую теорию относительности. Возможно, существует какой-то квант аппроксимации.
Выше я и излагал переход от ОТО к таким малым областям пространства-времени, в которых справедлив квантовый подход. То есть в макромасштабе ОТО и квантовая механика несовместимы, но в микромасштабе они вполне себе уживаются. Кто-нибудь шел по такому пути?

[Munin]

Нет, такое не использовалось. Проблема в том, что вы совершенно не оговариваете законов сшивки.

Ну и кроме того, это даёт не квантовую гравитацию, а всего лишь квантовую механику в искривлённом пространстве-времени. Эта проблема тоже стоит, но решается намного проще, чем квантовая гравитация сама по себе.

Скорей всего, вы, как и многие "горе-изобретатели", не понимаете смысла квантования вообще. Квантование и дискретность - вещи совершенно разные.

[aklimets]

Munin в сообщении #767967 писал(а):

Скорей всего, вы, как и многие "горе-изобретатели", не понимаете смысла квантования вообще. Квантование и дискретность - вещи совершенно разные.

Помню. Вы тут кого-то уже критикнули по этому поводу.

[Munin]

Ну так это распространённый недуг.

[Утундрий]

aklimets в сообщении #767927 писал(а):

Искривленное 2-мерное пространство (поверхность шара) можно аппроксимировать, например, прилегающими друг к другу плоскими шестиугольниками. Чем меньше сторона шестиугольника, тем точнее аппроксимация искривленной поверхности шара.
Точно таким же образом можно аппроксимировать макроискривленное пространство-время в ОТО малыми плоскими областями пространства-времени, в пределах которых справедлива специальная теория относительности и линейная квантовая механика. Чем меньше масштаб аппроксимации, тем она точнее. Сшивка этих плоских малых областей пространства-времени в макромасштабе переходит в общую теорию относительности.

Исчисление Редже...