Аппроксимация окружности кубической кривой Безье

[ewert]

_Ivana в сообщении #762094 писал(а):

У меня смутные подозрения, что по трем осесимметричным точкам можно нарисовать кривую Безье не третьего а второго порядка,

Найти можно всё, что только приспичит. Только вот квадратичные Безьи -- ни разу не окружности (на хоть сколько-то не бесконечно малом промежутке), кубические же -- очень похожи даже ну хоть и на полуокружность (во всяком случае, визуально). Ну медицинский факт.

[_hum_]

Алексей К. в сообщении #762102 писал(а):

_hum_ в сообщении #762101 писал(а):

а как же $\alpha$ и $a$?

Это заданная конфигурация: хорда и опирающаяся на неё дуга окружности.

_hum_ в сообщении #762101 писал(а):

какой критерий аппроксимации?

Это входило бы в постановку задачи. Я выбрал простейший: совпадение касательных на концах (обязательно) и прохождение через верхушку дуги, что не есть оптимально (указано ewert'ом). Надо конечно и погрешность оценить, в виде максимального отклонения от окружности, и от этого допустимые альфы выбрать.

Вооот...Теперь понятно, откуда формулы нарисовались.
Но да, такой вариант аппроксимации наверное слишком ограничительный для хорошего результата. Надо бы что-нибудь с минимумом максимума расстояний :)

[Алексей К.]

На четвертинке окружности отлично работает. Можно, я пока не буду картинку рисовать? У меня улитка ещё не готова, с ней надо бы разобраться...

[_hum_]

Алексей К. в сообщении #762114 писал(а):

На четвертинке окружности отлично работает.

И для больших размеров тоже? Просто на маленькой окружности отличия могут быть менее заметны, чем на большой.

[ewert]

_hum_ в сообщении #762118 писал(а):

Просто на маленькой окружности отличия могут быть менее заметны, чем на большой.

Не могут, а должны.

Я ж говорю: даже на полуокружности кубические кривые Безье дают очень правдоподобное приближение к собственно окружности (если, конечно, сокол упёрся в монитор и не слишком зоркий). На четверти -- естественно, в пределах пары пикселей и вообще замечательно выйдет.

[_Ivana]

Хорошо, в постановке Алексей К. (а не изначальной ТС, где речь не шла об аппроксимации окружности): найти геометрическими построениями 2 опорные точки кривой Безье 3 порядка, чтобы ее касательные в краях совпадали с заданными окружностью направлениями, а в середине кривая проходила через точку на окружности - сохранив исходную экологическую чистоту задачи не привлекая в нее формулы и уравнения. Для пущей экологичности выполнить построение только циркулем и линейкой (да простит меня Дьедонне и ему сочувствующие )

[Алексей К.]

_hum_ в сообщении #762118 писал(а):

И для больших размеров тоже?

Ну, естественно, погрешность (как и плечо) выражается в долях единственного размерного параметра --- хорды, и тогда как функция только угла. А дальше смотрим --- лист ли это А4, экран ли дисплея, объект ли землемерия, или ЧПУшка кулачок вытачивает с заданным допуском. Может, погрешность в пиксел на экране превратится в метр на автобане. Ну и ладно... Это или одинаково заметно, или одинаково незаметно.

[_hum_]

ewert в сообщении #762120 писал(а):

Не могут, а должны.

Я ж говорю: даже на полуокружности кубические кривые Безье дают очень правдоподобное приближение к собственно окружности (если, конечно, сокол упёрся в монитор и не слишком зоркий). На четверти -- естественно, в пределах пары пикселей и вообще замечательно выйдет.

Вы не совсем поняли. Я имел в виду аппроксимацию Алексей К., о которой шла речь выше (в ней центр кривой обязан был совпадать с таковым для дуги).

Алексей К., ну так при размере окружности в несколько пикселей у вас любая аппроксимация будет выглядеть очень хорошей. Потому я и спрашивал, насколько она хороша ("на глаз") при размере окружности, например, сопоставимом с размером листа A4...

[_Ivana]

Алексей К., выдайте _hum_ максимальный процент радиального отклонения, думаю это должно снять этот имхо странный вопрос. Или нарисуйте картинку, на А4
ЗЫ Кто еще построил циркулем и линейкой? Строится легко, без единого уравнения и формулы, прямо для ТС

[Алексей К.]

_Ivana в сообщении #762121 писал(а):

Для пущей экологичности выполнить построение только циркулем и линейкой

Мне кажется, выполняется. Где-то от чего-то надо было 1/3 отсечь. Я почти не надеялся, что ТС решится решить, и оно будет записано.

[Dyx]

>>>можно нарисовать кривую Безье не третьего а второго порядка,
Нет, второго порядка мне не нужно, так как их в моей задачи потребуется две.
>>>А то многие, учась на программистов, плюют на математику
Я ещё в школе учусь.
И вообще как я понял, для начала нужно на дуге найти четыре равноудалённых точки?
Сейчас прочту, что там с уравнениями)
Коды в ЛР включены! Но не из панели форума не из панели BB[кода] браузера не получается.
Просто нет не какой реакции, они даже не пишутся.

[ewert]

_hum_ в сообщении #762127 писал(а):

Вы не совсем поняли.

Я всё понял. Просто Вы сформулировали заведомо странное утверждение -- что, дескать, при уменьшении чего-то там может, в то время как оно откровенно должно (в случае общего положения). То, что Алексей К. привязывался именно к вершине -- никакого значения не имеет, это сугубо технический момент; в рабочем порядке можно привязаться к чему угодно.

[_Ivana]

Да, я только что построил циркулем и линейкой. Опорные точки симметричны относительно оси симметрии дуги, находятся на касательных к окружности, проведенных в крайних точках, где их (касательные) пересекает прямая, параллельная хорде на расстоянии от центра хорды равном 4/3 расстояния от центра хорды до середины дуги. Это готовый рецепт для ТС, не содержит формул

[Алексей К.]

_hum_ в сообщении #762127 писал(а):

(в ней центр кривой обязан был совпадать с таковым для дуги).

Это что-то лженаучное . Возможно, Вы имели в виду центр кривизны в данной точке, а не непонятны центр кривой. Но и тогда --- никаких таких обязательств у него, очевидно, нет. Нет, не очевидно, тем, кто не ел эту собаку.

Ох, я всё это поизучал, потестил когда-то, и может записал, и может найду в выходные, и даже картинки готовые. И конечно графики кривизнв смотрел.

(Оффтоп)

Но непонятно --- я предъявил такую роскошную улитку, и никто ни слова, а про какую-то тривиальщину развели базар на всю Ivanaвскую!

[ewert]

Dyx в сообщении #762133 писал(а):

Я ещё в школе учусь.
И вообще как я понял, для начала нужно на дуге найти четыре равноудалённых точки?

Ну так усвойте для начала, что если речь о Безьях, то никаких точек на самой кривой находить вообще не нужно (кроме, конечно, двух крайних). Всё остальные точки находятся заведомо вне кривой, и непосредственно к кривой отношения не имеют, они лишь неким таинственным образом задают направления той кривой.