2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение09.09.2013, 22:38 


29/09/06
4552
_Ivana в сообщении #762136 писал(а):
Это готовый рецепт для ТС, не содержит формул

Dyx,
подтвердите, что Вы поняли этот рецепт (я пока не понял, но с утра наверняка смогу понять). Если не поняли, изложим попроще, с картинкой.

-- 09 сен 2013, 23:43:23 --

_Ivana,

если Вы следовали нотации, которую я предложил, и не поленились решить, напишите плииз тупо формулу для $p$, не жадничайте. :-)

-- 09 сен 2013, 23:45:30 --

Пока балаболил с ребятами, сам десять раз решил бы. Тем более, что раз пять уже было...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение09.09.2013, 22:45 


05/09/12
2587
Алексей К. простите, я не вникал в ваши формулы и не решал аналитически, я как завещал ТС сделал без формул, сейчас выложу картинку из геогебры.

http://s018.radikal.ru/i516/1309/63/c0f23e13a759.png

$I, J$ - опорные точки, находятся как пересечение касательных $BI$, $DJ$ перпендикуляром к $EG$ в точке $H$, $GH = EG/3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение09.09.2013, 22:51 


29/09/06
4552
Dyx в сообщении #762133 писал(а):
Я ещё в школе учусь.

Тогда будем считать, что я не на Вас ту бочку накатил :oops: , а на тех которые...
Успехов!

-- 10 сен 2013, 00:03:43 --

А хотя бы тригонометрия, которую я использовал, пися выше формулы для $P_{0,1,2,3}$, Вам, Dyx, известна? Понятна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение09.09.2013, 23:07 


09/09/13
7
_Ivana Спасибо Вам большое! Это я понимаю.) Сейчас сделаю, и посмотрю как оно на самом деле.
Ну а завтра начну читать статьи и прочее для того, чтобы вернуться и продолжить тему с уравнениями.
Так как вычислить опорные точки - это одно, а высчитывать саму кривую - это не менее важно для меня.
И спасибо за геогебру! не когда о ней не слышал! Очень рад, что повстречал этот форум. Спасибо!

-- 10.09.2013, 00:09 --

Цитата:
выше формулы для , Вам, Dyx, известна? Понятна?

Копирую теги из другой вкладки. Да, понятна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение09.09.2013, 23:41 


29/09/06
4552
Алексей К. в сообщении #762137 писал(а):
Нет, не очевидно, тем, кто не ел эту собаку.

_hum_,

то Ваше предположение означало бы касание второго порядка окружности и так построенной кривой Безье в средней точке. А почему, кстати, не в крайних точках, заодно?

Средняя (интегрально) кривизна кривой Безье, видимо, близка к (постоянной) кривизне аппроксимируемой окружности. Но она несомненно имеет экстремум в средней точке, просто в силу симметрии. Два соседних экстремума кривизны находятся где-то поблизости от двух точек, экстремально удалённых от окружности (поблизости, но наверняка не точно там). И, конечно, на концах есть локальные "концевые" минимумы-максимумы кривизны, которые, кажется, не принято называть "экстремумами"). Имеем такие вот колебания кривизны около некого среднего значения.

Совпадения кривизн (т.е. касания второго порядка) в тех трёх точках, где мы имеем касание первого порядка, в таких "синусоидальных" условиях ожидать не приходится. Т.е. именно там кривизны НЕ совпадают. Что никак не мешает вполне приличной интерполяции.

Не знаю, понятно ли слова подобрал... Картинку надо, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение10.09.2013, 00:39 


05/09/12
2587
http://s020.radikal.ru/i710/1309/8e/8d9b0d57bc96.png
Точнее даже вот так, с опорными точками
http://i069.radikal.ru/1309/3a/962bb96cd22a.png

4 кривых - четвертинки окружности по моей геометрической реализации алгоритма Алексей К., без формул, просто параметрическим проездом по отрезкам. Черная - окружность, красная - кривая Безье. Аналитическое выражение координаты опорных точек при единичном радиусе окружности $4(sqrt(2) - 1)/3$

UPD - по двум полуокружностям, координаты опорных точек $4/3$
http://i020.radikal.ru/1309/c7/5c1f7865c2c4.png

(Оффтоп)

Кому своих улиток изучать, а мне надо ПИД регулятор стоящего на вершине куба рассчитывать, а получается отвлечение на забавную тривиальщину :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение10.09.2013, 01:16 


23/12/07
1757
Алексей К., ewert, мое
_hum_ в сообщении #762118 писал(а):
И для больших размеров тоже? Просто на маленькой окружности отличия могут быть менее заметны, чем на большой.

относилось к "отлично" в

Алексей К. в сообщении #762114 писал(а):
На четвертинке окружности отлично работает.

Насколько я понял, Алексей К. построил и на глаз увидел, что кривая "отлично совпадает" с четвертью окружности. Вот я и интересовался, останется ли это "отлично" таким же для глаза, если размер увеличить до размера экрана (наверняка же ТС аппроксимация Безье нужна была именно для компьютерной графики). Меня смущало условие
Алексей К. в сообщении #762073 писал(а):
требуем, чтобы верхушка кривой совпала с верхушкой дуги окружности

которое, как мне кажется, слишком ограничивает поведение кривой, заставляя ее излишне "деформироваться". И могло оказаться, что построенные по этому методу кривые для больших (сравнимых с экраном) окружностей выглядят не очень похожими на дуги, тогда как построенные по какому-нибудь другому - вполне прилично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение10.09.2013, 08:53 


29/09/06
4552
Алексей К. в сообщении #762073 писал(а):
Берём кривую Безье, $$P_0=(-a,0),\quad P_1=(-a+p\cos\alpha,p\sin\alpha),\quad P_2=(a-p\cos\alpha,p\sin\alpha),\quad P_3=(a,0).$$

В этой нотации ($a$ --- полухорда, $r=\dfrac{a}{\sin\alpha}$ --- радиус окружности) обсуждаемый метод (касание дуги и Безьюхи в средней точке) даёт $p=\dfrac{4a}{3(1+\cos\alpha)}$. Максимальное отклонение $$d\approx \frac{x_0^2+(y_0+a\ctg\alpha)^2-r^2}{2r}=\frac{a}{27}\cdot\frac{\tg^5{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tg^2{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{2r}{27}\cdot\left(\frac{\tg^3{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tg^2{\frac{\alpha}{2}}}\right)^2,\quad x_0,y_0=x(t_0),y(t_0),\quad t_0=\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt3}{6}. $$Так, для полуокружности $(\alpha=90^\circ,\; r=a)$ имеем $d\approx \frac1{54}r\approx 0.0185r$, для четвертинки $(\alpha=45^\circ)$ --- $d\approx 0.00027\,r$, а для одной шестой --- в 11 раз меньше.

-- 10 сен 2013, 10:10:11 --

_hum_ в сообщении #762203 писал(а):
которое, как мне кажется, слишком ограничивает поведение кривой, заставляя ее излишне "деформироваться".
Вот я себе и проверил тогда это "кажется" вышенаписанным, "на глаз". Что касается других методов --- то, например, рациональная кривая второго порядка даёт точную окружность. Если же другие методы остаются в рамках кубических полиномов, то, очевидно, от симметричности мы никуда не денемся. И тогда всё, что остаётся --- чуть-чуть опустить верхнюю точку кривой, тем самым слегка распределив то максимальное отклонение, теперь не на два, а на три экстремальных отклонения. Также понятно, что это опускание может быть на величину порядка $d/2,d/3$. Существенного выигрыша (на порядки) от этого не происходит, и другие методы, типа минимизации площади между ними, тоже будут стрельбой из пушек по воробушкам.

 Профиль  
                  
 
 Аппроксимация окружности кубической кривой Безье
Сообщение10.09.2013, 10:48 


29/09/06
4552
Если модераторы сочтут полезным уточнить название темы, я бы предложил "Аппроксимация окружности кубической кривой Безье".

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение опорных точек кривой Безье третьего порядка
Сообщение10.09.2013, 17:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i 
Алексей К. в сообщении #762273 писал(а):
Если модераторы сочтут полезным уточнить название темы, я бы предложил "Аппроксимация окружности кубической кривой Безье".
Название изменил

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация окружности кубической кривой Безье
Сообщение11.09.2013, 00:30 


23/12/07
1757
Алексей К.
Что-то, если честно, перестал понимать, почему точки $P_1$ и $P_2$ выбираются таким специфичным образом - лежащими на прямых $x = -a \pm  y \,\mathrm{ctg} \alpha$ (где $a$ и $\alpha$ заранее фиксированы, поскольку задают дугу). Ведь это ограничение степеней свободы (было по две на каждую точку, стало по одной).
Далее, если опять же я правильно понимаю, у вас дуга и кривая Безье совпадают в трех точках: начале, окончании и вершине. Спрашивается, а если это условие снять, не получится лучше аппроксимация (максимальная относительная ошибка аппроксимации будет меньше)? Опять же, а если пойти дальше и снять еще условие на симметричность, не может ли точность аппроксимации улучшиться и почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация окружности кубической кривой Безье
Сообщение11.09.2013, 01:16 


05/09/12
2587
Слово "кубической" в названии темы существенно ограничивает простор для полета фантазии, уже не предложишь аппроксимацию кривыми более высоких порядков, а с кубической все тривиально и понятно.

(Оффтоп)

Да, я в курсе, что можно просто взять больше секторов меньшего углового размере :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация окружности кубической кривой Безье
Сообщение11.09.2013, 01:28 


23/12/07
1757
_Ivana в сообщении #762686 писал(а):
Слово "кубической" в названии темы существенно ограничивает простор для полета фантазии, уже не предложишь аппроксимацию кривыми более высоких порядков, а с кубической все тривиально и понятно.

(Оффтоп)

Да, я в курсе, что можно просто взять больше секторов меньшего углового размере :-)

Я не спец.. но мне казалось, что выбор опорных точек в кубических кривых произволен (они никак не связаны друг с другом). Потому и непонятны ваши рассуждения, что "других вариантов и нет".

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация окружности кубической кривой Безье
Сообщение11.09.2013, 01:43 


05/09/12
2587
_hum_, я тоже не спец, но тут то все просто и понятно. Вы обращались с вопросами к конкретным участникам форума, но если интересуют мои рассуждения, то:
1) внутренние опорные точки должны лежать на касательных к окружности в крайних точках - чтобы касательные кривой и окружности в крайних точках совпадали и кривые хорошо склеивались друг с другом. Если это условие убрать, возможно можно повысить точность, но цена больно дорогА, а эффект обещает быть мизерным (если вообще будет). Итого - минус 2 степени свободы из 4-х.
2) если избавимся от симметрии, тоже ничего хорошего не добьемся. Строго показать это я затрудняюсь. Можно промоделировать и рассмотреть минимум функции ошибки от 2 переменных (оставшихся 2 степеней свободы).
3) итого остается одна степень свободы, которая может определяться прохождением кривой через вершину дуги - это дешево, надежно и практично. А про возможную ловлю блох и уменьшение погрешности при варьировании этой степенью свободы Алексей К. уже писал в посте про пушку и воробьев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация окружности кубической кривой Безье
Сообщение11.09.2013, 10:47 


29/09/06
4552
_hum_ в сообщении #762671 писал(а):
Что-то, если честно, перестал понимать, почему точки $P_1$ и $P_2$ выбираются таким специфичным образом


_hum_,

а я, кажется, начал понимать причины Вашего недоумения: Вы, похоже, мыслите об аппроксимации дуги в плане будущей аппроксимации всей окружности. И тогда точки, наверное, имеет смысл выбирать не так, как я предлагаю. Действительно, некая другая аппроксимация пересечёт полную окружность как минимум в четырёх точках. Пересечёт по-честному, без касания, под углом. Рассмотрев кусочек этого интерполянта между двумя такими соседними точками, будем иметь случай, когда углы на концах не совпадают с теми, которые были бы унаследованы от окружности (в частности, малость опустив вершинку кривой, как я выше предлагал, мы уже получаем две точки пересечения).

А зацепившись за какие-то другие точки, будем иметь вообще всё не так. Может даже симметрии где-то как-то пропадут, во что мне даже утром трудно поверить. Тут надо думать и мудрить.

Я же изначально думал о дуге окружности, которую неизвестно с чем будут сопрягать.

А может, и не будут сопрягать? Может она будет сама по себе? Если это заранее известно, то да, наверняка и очевидно существует лучший вариант, со всеми степенями свободы. И симметрию можно не навязывать, решение само по себе будет симметричным (типа "уверен, окажется симметричным").

Но не намного лучше результат будет (если модель не менять). Максимум чего, может добьёмся --- три "свободных" интерполянта на полной окружности дадут тот же эффект, что раньше давали четыре "зажатых".

(Оффтоп)

В общем, лично я в такого рода задачках ценю простоту.
Некие усложнения хороши как экзерсисы для студентов. На них я, собственно, и осваивал премудрости этого ремесла, к сожалению, в далеко не студенческом возрасте. А когда ЧПУ-шники стали приставать с вопросами.

Лет 7-14 назад я регулярно просматривал содержание журналов типа Computer-Aided (Geometric) Design. Могу заверить, что эта тема звучала в публикациях. Но я не сохранил ссылок, а мог и не заинтересоваться. Они нередко позволяют себе статейки уровня хорошей курсовой (на ихнее pHD, наверное тоже надо чего-то публиковать. Сам даже пару раз отметился.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group