Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака

[Munin]

Обрезание не обязано быть прямоугольным.

[npduel]

VladimirKalitvianski в сообщении #760150 писал(а):

как обрезание увеличивает наблюдаемые энергии фотонов. Я думаю, что за счет энергии/работы такого "быстрого" источника.

Преобразование Фурье - процедура линейная и подчиняющаяся принципу суперпозиции. Поэтому не нужно ставить физическое устройство - затвор. Достаточно "в уме" нарезать поток фотонов на временные промежутки и проанализировать с учётом КЭД любой из этих отрезков. Сразу станет ясно, что энергия затвора здесь не причём. Потом, если захочется, можно в том же уме сложить эти отрезки и получить исходный поток фотонов.
Бор (1931) напоминал:"... они (фотоны)..., не могут никогда представлять что-либо большее, чем удобное средство выражения следствий квантовой теории".

[VladimirKalitvianski]

npduel в сообщении #760220 писал(а):

Преобразование Фурье - процедура линейная и подчиняющаяся принципу суперпозиции. Поэтому не нужно ставить физическое устройство - затвор. Достаточно "в уме" нарезать поток фотонов на временные промежутки и проанализировать с учётом КЭД любой из этих отрезков. Сразу станет ясно, что энергия затвора здесь не причём.

Я уже писал, что надо становиться на точку зрения пробного заряда или детектора, а не мыслить во всем объеме и во всем времени.

Преобразование Фурье, о котором идет речь, осуществляется в пространстве, а не по времени. Каждой пространственной моде $k_n$ соответствует своя частота $\omega_k$. В конкретный момент времени в конкретной точке решение может выглядеть, как $\cos(\omega_k t - k\cdot x)$. Что и как Вы собираетесь мысленно резать? По времени нет никакой суперпозиции!

[Munin]

npduel в сообщении #760220 писал(а):

Достаточно "в уме" нарезать поток фотонов на временные промежутки

Упс, что я слышу?

npduel в сообщении #760220 писал(а):

и проанализировать с учётом КЭД любой из этих отрезков.

И получить соотношение неопределённостей энергия-время. Вы бы поосторожнее с ножницами, а то и атом водорода нарежете...

npduel в сообщении #760220 писал(а):

Бор (1931) напоминал:"... они (фотоны)..., не могут никогда представлять что-либо большее, чем удобное средство выражения следствий квантовой теории".

Бор, простите, был неправ. И в 1931 году уже сильно отстал от жизни. Рулят танковые клинья мнения Борна, Йордана, Гейзенберга, Дирака, Паули, а потом - Фейнмана, Швингера, Томонаги, Дайсона.

[Lvov]

Munin в сообщении #759039 писал(а):

Lvov в сообщении #758920
писал(а):

Цитата:

И еще один вопрос ко всем участникам обсуждения темы. В случае электромагнитного волнового пакета конечных размеров мы можем выбрать интервал Фурье-разложения несколько больший размеров волнового пакета, но в общем случае произвольный. В таком случае спектр частот того или иного варианта Фурье-разложения получается разный. С точки зрения математики это не имеет значения, после сложения всех Фурье-компонент, мы получим тот же самый волновой пакет. Но с физических позиций, каждая Фурье компонента отвечает некоторому количеству фотонов с частотой, присущей этой компоненте. Выходит, что представление волнового пакета в виде набора фотонов неоднозначно в части частот и количества фотонов для каждой из частот?

Вы напрасно думаете, что в физике большую роль играет ряд Фурье. В физике в основном рассматривается преобразование Фурье. А оно не ограничено каким-то интервалом.

Физически разные наборы фотонов будут, если помещать этот волновой пакет в резонаторы разных размеров. Вполне физические резонаторы: ящики с проводящими стенками.

Munin в сообщении #759207 писал(а):

Lvov в сообщении #759201
писал(а):

Цитата:

Итак из сообщения г.Munin'а я понял, что для правильного квантования ограниченного волнового пакета ЭМ поля надо воспользоваться интегральным фурье-преобразованием.

Не-е-е. Для правильного квантования - надо сначала уяснить для себя, что такое квантование. Как минимум, в одном из таких вариантов:
- каноническое;
- фейнмановский интеграл по траекториям.

Итак, в ответ на мой вопрос о неоднозначности процесса квантования ограниченного в пространстве волнового электромагнитного пакета, г.Munin обвинил меня в незнании вопроса квантования поля, не ответив по существу дела. В таком случае мне ничего не оставалось, как внимательнее посмотреть доступные мне источники. Посмотрел я Курс теоретической физики Ландау, Т4, 1980. Здесь в общем случае предлагается использовать прямоугольный объем большого, но ограниченного размера. О квантовании ограниченного волнового пакета в Л4, я ничего не нашел.
В.Г.Левич в своем "Курсе теоретической физики" , 1971, не будучи оригинальным, повторяет принципы, изложенные в монографии Ландау.

А вот Ахиезер, Берестецкий в своих монографиях по КЭД от 1969 и 1981 гг. при рассмотрении квантования волнового ЭМ поля вообще не упоминают прямоугольной области, а говорят о разложении волнового поля в дискретный спектр внутри некоторой произвольной области с объемом $V$. О квантовании ограниченного волнового пакета здесь также ничего не сказано. В прикладных же задачах, таких, как эффект Комптона и других, рассматриваются однородные монохроматические волновые поля, где квантование производится на один или несколько одинаковых фотонов в единице объема.
Уважаемые участники диспута, если Вам известен источник, где рассматривается вопрос квантования ограниченного волнового пакета, пожалуйста, укажите его.

Munin в сообщении #760075 писал(а):

Lvov в сообщении #760048
писал(а):

Цитата:

И еще вопрос ко всем. В любом случае конечный волновой пакет имеет в спектре составляющие очень высоких частот. Значит, пусть и с малой вероятностью, однако будут встречаться ситуации, когда энергия обнаруженного фотона будет превышать суммарную энергию импульса и затвора. Более вероятно, такая ситуация будет иметь место при коротких волновых пакетах с достаточно крутыми фронтами.

Ну а в чём вопрос? Я вижу утверждение, а не вопрос.

Из моего утверждения следует, что при использовании предлагаемой методики квантования волнового ЭМ поля не выполняется закон сохранения энергии. А это говорит об ошибочности методики.

С уважением, О.Львов

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #760641 писал(а):

Уважаемые участники диспута, если Вам известен источник, где рассматривается вопрос квантования ограниченного волнового пакета, пожалуйста, укажите его.

Тот же Ахиезер-Берестецкий, где говорится об излучении классического тока. Классический переменный ток это то, что создает ограниченный волновой пакет. В таком пакете большое и неопределенное число фотонов (квантов). Объем квантования предполагается гораздо больше волнового пакета. Источник тока (классическая система) обладает бесконечной энергией - потери на излучение считаются не важны по самой постановке задачи. Конечно, это идеализация, но понятная.

Вы поймите, если количество гармонических колебаний $n$ одной гармоники $k_n$ на заданном интервале квантования $L$ большое, то и частота такого волнового пакета $\omega$ получится хорошо определенной при его прохождении в заданном месте, то есть, он будет воспринят, как фотон с $E=\hbar\omega$. В квантовой механике амплитуда гармоники связана с числом заполнения данного состояния (числом фотонов или квантов).

[Munin]

Lvov в сообщении #760641 писал(а):

Посмотрел я Курс теоретической физики Ландау, Т4, 1980. Здесь в общем случае предлагается использовать прямоугольный объем большого, но ограниченного размера. О квантовании ограниченного волнового пакета в Л4, я ничего не нашел.

Начните с того, что квантуется не волновой пакет. Квантуется физическая система.

Lvov в сообщении #760641 писал(а):

Уважаемые участники диспута, если Вам известен источник, где рассматривается вопрос квантования ограниченного волнового пакета, пожалуйста, укажите его.

Вам всё ещё надо уяснить себе, что такое квантование. У вас настолько полный швах, что вы даже не понимаете, что вы этого слова абсолютно не понимаете.

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #760698 писал(а):

Начните с того, что квантуется не волновой пакет. Квантуется физическая система.

Будет правильно объяснить товарищу, что в данном случае Вы подразумеваете под системой.

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #760663 писал(а):

Вы поймите, если количество гармонических колебаний $n$ одной гармоники $k_n$ на заданном интервале квантования $L$ большое, то и частота такого волнового пакета $\omega$ получится хорошо определенной при его прохождении в заданном месте, то есть, он будет воспринят, как фотон с $E=\hbar\omega$. В квантовой механике амплитуда гармоники связана с числом заполнения данного состояния (числом фотонов или квантов).

Munin в сообщении #760698 писал(а):

Вам всё ещё надо уяснить себе, что такое квантование. У вас настолько полный швах, что вы даже не понимаете, что вы этого слова абсолютно не понимаете.

Г. VladimirKalitvianski, почему-то мы не находим общего языка. Вы согласны, что при изменении L, изменяется, как набор спектральных частот фотонов, так и их количество в каждой спектральной составляющей? Я расцениваю это, как неоднозначность процесса квантования волнового ЭМ поля. Так как же правильно выбрать L?
И Вы и г. Munin, говорите, что квантуется не поле, а система(?). Но в книжках определенно говорится о квантовании поля, а не системы.

Г.Munin, Вы постоянно твердите, что я не понимаю смысл слова квантование. Хорошо, я готов согласиться с Вами. Но все же объясните, как правильно выбирать прямоугольный объем для спектрального разложения ЭМ поля при ограниченном размере волнового пакета, который может иметь различную форму.

С уважением О.Львов

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #760799 писал(а):

Вы согласны, что при изменении L, изменяется, как набор спектральных частот фотонов, так и их количество в каждой спектральной составляющей? Я расцениваю это, как неоднозначность процесса квантования волнового ЭМ поля. Так как же правильно выбрать L?

При большом значении $L$ спектр частот довольно плотен, квазинепрерывен, и Вы можете встретить там практически любые частоты, что делает несущественным само значение $L$.

Если Вы следите за зависимостью выбранной отдельной гармоники от $L$, то ее частота, разумеется, зависит от размера ящика - частота "съезжает", но ее место занимает другая "съехавшая" частота, так что все нужные частоты всегда присутствуют (то есть, разложение идет по тем же частотам).

[warlock66613]

Собственно говоря, квантовать можно вообще без $L$. Надо только использовать в качестве однофотонных квадратично-интегрируемые функции.

[Munin]

Lvov в сообщении #760799 писал(а):

И Вы и г. Munin, говорите, что квантуется не поле, а система(?). Но в книжках определенно говорится о квантовании поля, а не системы.

Поле - это физическая система. Она имеет динамику, задаваемую уравнениями Максвелла.

А вы думаете, что под словом "поле" подразумевается не физическая система, а какое-то конкретное состояние поля, например, волновой пакет. И пытаетесь его "квантовать". Никакого разумного смысла в этом нет.

Lvov в сообщении #760799 писал(а):

Г.Munin, Вы постоянно твердите, что я не понимаю смысл слова квантование. Хорошо, я готов согласиться с Вами. Но все же объясните, как правильно выбирать прямоугольный объем для спектрального разложения ЭМ поля при ограниченном размере волнового пакета, который может иметь различную форму.

От размера пакета это вообще не зависит. Сначала вы рассматриваете физическую систему "поле в резонаторе", квантуете её, а потом уже приводите в выбранное состояние (с волновым пакетом, или в какое-то другое). И рассматриваете, как это состояние устроено, как оно себя ведёт и эволюционирует.

-- 06.09.2013 01:51:31 --

VladimirKalitvianski в сообщении #760710 писал(а):

Будет правильно объяснить товарищу, что в данном случае Вы подразумеваете под системой.

Да, пожалуй.

Не буду говорить каких-то слишком общих слов. Динамическая система - это такая штука, которая имеет состояния в различные моменты времени, $s(t).$ Каждое состояние может быть описано множеством чисел, переменных состояния $s_1,s_2,\ldots$ И состояние в будущем определяется состоянием в прошлом, либо полностью $s(t_1)=F(s(t_0))$ (замкнутая система), либо с учётом внешних воздействий $c(t),$ $s(t_1)=F(s(t_0),c(t_0\ldots t_1))$ (незамкнутая система). Квантуются только замкнутые системы, для незамкнутых - надо включить их окружение в состав системы, и результат проквантовать.

Этой математической абстракции соответствует некоторая физическая система. Это такая часть реальности, с которой можно экспериментировать, или с которой сама Природа ставит естественные эксперименты. Эксперименты устроены таким образом: сначала систему приводят в заданное начальное состояние, потом дают некоторое время изменяться (эволюционировать), либо самостоятельно, либо под внешними воздействиями, и в конце - изучают конечное состояние. Таким образом, измеряют одно значение $F.$ Проводя множество экспериментов, можно сделать выводы о виде функции эволюции $F$ вообще.

Такая система в физике всегда (исключений не найдено) описывается дифференциальными уравнениями, то есть, $ds/dt=f(s).$ Разумеется, при желании это описание можно представить в разных формах: уравнение эволюции, лагранжев формализм, гамильтонов формализм. По сути, система представляется как абстрактная механическая система, её переменные состояния - как обобщённые координаты.

И наконец, надо сказать, что квантуются только бездиссипативные системы. С другой стороны, физика обнаружила, что на фундаментальном уровне все физические системы бездиссипативны, а диссипация возникает только на верхних уровнях, как результат взаимодействия большого числа частиц.

Суть процедуры квантования состоит в том, что если раньше систему можно было описать какой-то точкой в пространстве обобщённых координат $q_i,$ то теперь систему надо задавать целой функцией $\psi(q_i),$ заданной во всём пространстве этих обобщённых координат. То есть, систему можно с какой-то вероятностью обнаружить в любом состоянии. И меняется суть закона эволюции: если раньше это было дифференциальное уравнение для движения точки (ОДУ), то теперь оно становится дифференциальным уравнением для волн в функции (ДУЧП). А классическое движение точки возникает только как движение волнового пакета в этой функции, по волновым законам, в пределе, когда размеры этого пакета становятся пренебрежимо малы (и классические законы движения так же возникают из волновых законов движения).

Существуют более точные правила квантования, если система задана конкретно в виде лагранжева или гамильтонова описания. В учебниках они часто приводятся как чисто формальные математические рецепты, но надо не терять за ними физической сути.

[VladimirKalitvianski]

Я бы добавил, что не все динамические системы нужно квантовать, а только те, которые квантуются в природе. Например, поле излучения квантуется, а ближнее поле нет.

Munin в сообщении #760928 писал(а):

И наконец, надо сказать, что квантуются только бездиссипативные системы. С другой стороны, физика обнаружила, что на фундаментальном уровне все физические системы бездиссипативны, а диссипация возникает только на верхних уровнях, как результат взаимодействия большого числа частиц.

Здесь я бы сказал иначе: из уравнений Максвелла следует, что любое ускорение ведет к излучению, то есть, к неупругому поведению, скажем, сталкивающихся частиц, а это и есть диссипация на фундаментальном уровне. Правда, потерянная энергия очень часто бывает мала и кажется, что процессы обратимы. Так, собственно, и получают в нулевом приближении - безизлучательные (упругие) сечения рассеяния.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #761035 писал(а):

Я бы добавил, что не все динамические системы нужно квантовать, а только те, которые квантуются в природе.

По этому поводу я писал недавно в соседней теме:

Munin в сообщении #760524 писал(а):

Загвоздка только в том, что физике не известно ни одной теории, которую не потребовалось бы квантовать. Квантование - как заразная болезнь: всё, с чем квантовая система взаимодействует, само должно быть квантовано, и всё, с чем оно в свою очередь взаимодействует, тоже. Поэтому, считается, что квантовано вообще всё. (Некоторые предметы из огромного числа квантовых частиц ведут себя классически, но "внутри" на самом деле квантованы.)

VladimirKalitvianski в сообщении #761035 писал(а):

Например, поле излучения квантуется, а ближнее поле нет.

Ближнее поле вообще не составляет физической системы в описанном смысле. Оно попросту есть функция положения и движения зарядов.

Поле излучения - вообще-то тоже. Квантуют электромагнитное поле, причём в двух вариантах: свободное электромагнитное поле (поле в вакууме), и взаимодействующее с зарядами. Первое иногда называют "квантованием поля излучения" (хотя я даже не помню приличного учебника, где бы это было).

VladimirKalitvianski в сообщении #761035 писал(а):

Здесь я бы сказал иначе: из уравнений Максвелла следует, что любое ускорение ведет к излучению, то есть, к неупругому поведению, скажем, сталкивающихся частиц, а это и есть диссипация на фундаментальном уровне.

Нет. В том-то и дело, что на фундаментальном уровне это не диссипация (безвозвратная потеря энергии), а передача энергии от заряженных частиц к полю. Она может быть получена обратно, например, другими заряженными частицами. Полная фундаментальная теория (описывающая заряженные частицы и поле) бездиссипативна, фазовый объём в ней сохраняется, и квантовая эволюция унитарна.

VladimirKalitvianski в сообщении #761035 писал(а):

Правда, потерянная энергия очень часто бывает мала и кажется, что процессы обратимы. Так, собственно, и получают в нулевом приближении - безизлучательные (упругие) сечения рассеяния.

Вот только унитарность сохраняется и дальше, во всех порядках.

[Lvov]

warlock66613 в сообщении #760806 писал(а):

Собственно говоря, квантовать можно вообще без $L$. Надо только использовать в качестве однофотонных квадратично-интегрируемые функции.

Г.warlock66613, верно ли я понимаю квантование без $L$ квантованием по всему объему, где волновая функция отлична от нуля? Примерно так обстоит дело в КЭД Ахиезера-Берестецкого. Но там разложение производится по плоским волнам, что в случае объема с произвольной формой границы проблематично.
Квантование же в прямоугольной области смотрится плохо. Например, в случае плоской волны, содержащей $N$ периодов колебаний частоты $f$ при $L=(N+0.5)/f$, максимумом энергии будут обладать составляющие с частотами $f_1=f\,N/(N+0.5)$ и $f_2=f\,(N+1)/(N+0.5)$, а составляющая с фактической частотой колебаний $f$ будет отсутствовать.

VladimirKalitvianski в сообщении #761035 писал(а):

Я бы добавил, что не все динамические системы нужно квантовать, а только те, которые квантуются в природе. Например, поле излучения квантуется, а ближнее поле нет.
Munin в сообщении #760928 писал(а):

Цитата:

И наконец, надо сказать, что квантуются только бездиссипативные системы. С другой стороны, физика обнаружила, что на фундаментальном уровне все физические системы бездиссипативны, а диссипация возникает только на верхних уровнях, как результат взаимодействия большого числа частиц.

Здесь я бы сказал иначе: из уравнений Максвелла следует, что любое ускорение ведет к излучению, то есть, к неупругому поведению, скажем, сталкивающихся частиц, а это и есть диссипация на фундаментальном уровне. Правда, потерянная энергия очень часто бывает мала и кажется, что процессы обратимы. Так, собственно, и получают в нулевом приближении - безизлучательные (упругие) сечения рассеяния.

Господа, в Ваших сообщениях появились новые интересные моменты. Оказывается не во всех случаях ЭМ поля квантуются. Это близко к моему пониманию квантования ЭМ поля. Я бы сказал так: квантованы только те волновые ЭМ поля, которые излучаются за счет перехода электронов из одного устойчивого состояния в другое. ЭМ же поля, излучаемые за счет ускоренного движения ансамбля электронов, не квантованы. Например, поле теплового излучения внутри полости с ненулевой температурой квантовано, а поле ускоренно движущегося заряженного шарика, например колеблющегося или совершающего круговое движение, не квантовано.

С уважением О.Львов