Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака

[VladimirKalitvianski]

Lvov

Да, Вы правильно понимаете "собственные" и "промежуточные" функции.

Что касается волнового пакета, например, излученного классическим током (антенной), то он представляется когерентными состояниями фотонов с неопределенным числом фотонов. Когерентные состояния не обладают ни определенной энергией, ни определенным числом фотонов, а только определенными средними величинами. Это строгий результат решения задачи КЭД об излучении классического тока.

[VladimirKalitvianski]

Вообще, есть соотношение неопределенности между значением фазы волны и числом фотонов в ней. Точнее, туда входит не сама фаза (оператора фазы не существует), а синус или косинус фазы (такие операторы существуют).

[Munin]

Lvov в сообщении #758920 писал(а):

Уважаемый VladimirKalitvianski, извините, но я все же не сумел разобраться, о каких собственных функциях и несобственных частотах Вы ведете речь?

Вам надо почитать линейную алгебру, что такое собственные векторы и числа оператора, и как с точки зрения линейной алгебры выглядить задача математической физики, и какую роль в ней играет преобразование Фурье.

Lvov в сообщении #758920 писал(а):

И еще один вопрос ко всем участникам обсуждения темы. В случае электромагнитного волнового пакета конечных размеров мы можем выбрать интервал Фурье-разложения несколько больший размеров волнового пакета, но в общем случае произвольный. В таком случае спектр частот того или иного варианта Фурье-разложения получается разный. С точки зрения математики это не имеет значения, после сложения всех Фурье-компонент, мы получим тот же самый волновой пакет. Но с физических позиций, каждая Фурье компонента отвечает некоторому количеству фотонов с частотой, присущей этой компоненте. Выходит, что представление волнового пакета в виде набора фотонов неоднозначно в части частот и количества фотонов для каждой из частот?

Вы напрасно думаете, что в физике большую роль играет ряд Фурье. В физике в основном рассматривается преобразование Фурье. А оно не ограничено каким-то интервалом.

Физически разные наборы фотонов будут, если помещать этот волновой пакет в резонаторы разных размеров. Вполне физические резонаторы: ящики с проводящими стенками.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #759039 писал(а):

Вполне физические резонаторы: ящики с проводящими стенками.

Да, это яркий пример того, что собственные моды дискретны, но их комбинация может описать любое поле, "залетевшее" в волновод (любую форму).

[Lvov]

Уважаемые господа VladimirKalitvianski и Munin. Спасибо за ответы и советы. Итак из сообщения г.Munin'а я понял, что для правильного квантования ограниченного волнового пакета ЭМ поля надо воспользоваться интегральным фурье- преобразованием. Но остался один вопрос к г. VladimirKalitvianski

VladimirKalitvianski в сообщении #758987 писал(а):

Вообще, есть соотношение неопределенности между значением фазы волны и числом фотонов в ней. Точнее, туда входит не сама фаза (оператора фазы не существует), а синус или косинус фазы (такие операторы существуют).

Г.VladimirKalitvianski, уточните, пожалуйста, о какой фазе волны идет речь. Это фазовый сдвиг между какими-то колебаниями, или может быть значение фазы волны в некоторый характерный момент времен? Заранее благодарю.
С уважением О.Львов

[Munin]

Lvov в сообщении #759201 писал(а):

Итак из сообщения г.Munin'а я понял, что для правильного квантования ограниченного волнового пакета ЭМ поля надо воспользоваться интегральным фурье- преобразованием.

Не-е-е. Для правильного квантования - надо сначала уяснить для себя, что такое квантование. Как минимум, в одном из таких вариантов:
- каноническое;
- фейнмановский интеграл по траекториям.

А преобразование Фурье - это вспомогательный инструмент, чтобы было удобнее эти методы применять.

Lvov в сообщении #759201 писал(а):

Г.VladimirKalitvianski, уточните, пожалуйста, о какой фазе волны идет речь.

Вроде, речь о фазе не волны, а фотона. Ну, впрочем, предоставлю VladimirKalitvianski отвечать.

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #759201 писал(а):

Г.VladimirKalitvianski, уточните, пожалуйста, о какой фазе волны идет речь. Это фазовый сдвиг между какими-то колебаниями, или может быть значение фазы волны в некоторый характерный момент времени?

В книжке Ахиезере-Берестецкого "Квантовая электродинамика" за 1981 год есть пассаж о соотношении неопределенности (§ 2.4). Я именно его и имел ввиду. Речь идет, конечно, о волне, а не об одном фотоне. У одного фотона по определению число фотонов равно единице и поэтому его фаза не определена (не путать с частотой).

К сожалению, мы мысленно представляем фотон длинным почти монохроматичным волновым пакетом, существующим сразу во всем доступном пространстве и отсюда возникают вопросы и непонятки. А надо встать на точку зрения пробного заряда (прибора), который в данной точке в данный момент времени не чувствует ничего, кроме локального значения поля. И вот, чтобы он чувствовал только одну частоту, нужно дать пройти очень большому отрезку времени, включающим в себя много-много колебаний, что делает бессмысленным понятие фазы колебания в данный момент времени.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #759252 писал(а):

В книжке Ахиезере-Берестецкого "Квантовая электродинамика" за 1981 год есть пассаж о соотношении неопределенности (§ 2.4).

Тж. см. Скалли-Зубайри "Квантовая оптика" за 2003, например, (14.5.11) (в русском переводе набрано с опечаткой, в оригинале

$$\langle(\delta\theta)^2\rangle\langle(\delta a_\parallel)^2\rangle\ge\dfrac{1}{16\langle n\rangle}$$

).

VladimirKalitvianski в сообщении #759252 писал(а):

К сожалению, мы мысленно представляем фотон длинным почти монохроматичным волновым пакетом

Ну, это кто как. Тут надо учиться представлять его всё адекватнее и адекватнее, постепенно переходя от простого к сложному.

В конечном счёте, фотон - это возбуждение тех самых "абстрактных осцилляторов", о которых написал Lvov (вы, в отличие от него, видимо, понятие осциллятора до сих пор понимаете неправильно). Как возбуждается многомерный осциллятор - хорошо известно из квантовой механики. Правда, наиболее популярный случай - трёхмерный симметричный осциллятор, но из классической механики и общих принципов, несложно домыслить и осциллятор с разными собственными частотами. Вырождение состояний в нём снимается, поэтому собственными гамильтониана становятся состояния - произведения собственных колебаний по отдельным осям. Безо всяких сферических функций.

Но никакой пространственно-временной интуиции такое представление не даёт, и поэтому недостаточно.

VladimirKalitvianski в сообщении #759252 писал(а):

А надо встать на точку зрения пробного заряда (прибора), который в данной точке в данный момент времени не чувствует ничего, кроме локального значения поля.

К сожалению, вот с этой-то точкой зрения в квантовой физике и проблема. Нельзя локализовать пробный заряд в точке.

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #759286 писал(а):

К сожалению, вот с этой-то точкой зрения в квантовой физике и проблема. Нельзя локализовать пробный заряд в точке.

Я прежде всего говорил о классическом поле и его интерпретации на языке фотонов. При этом источник и приемник разнесены в пространстве и достаточно хорошо локализованы. Когда делается опыт, скажем, Мёссбауэра, длина волнового пакета жесткого фотона примерно тридцать метров (если я правильно помню). По сравнению с такой длиной даже макроскопический прибор хорошо локализован, а поглощающее ядро в нем тем более. Экран в эксперименте по интерференции тоже достаточно локализован.

Про осцилляторы я наверное не так понимаю, как Вы думаете, как я понимаю, потому что то, что Вы написали, мне известно и я с этим не спорю.

[Munin]

(Оффтоп)

VladimirKalitvianski в сообщении #759291 писал(а):

Я прежде всего говорил о классическом поле

В теме о фотонах и числах фотонов? Ну-ну.

VladimirKalitvianski в сообщении #759291 писал(а):

Я прежде всего говорил о классическом поле и его интерпретации на языке фотонов. При этом источник и приемник разнесены в пространстве и достаточно хорошо локализованы.

Недостаточно хорошо, с точки зрения квантовой теории.

VladimirKalitvianski в сообщении #759291 писал(а):

Когда делается опыт, скажем, Мёссбауэра, длина волнового пакета жесткого фотона примерно тридцать метров (если я правильно помню). По сравнению с такой длиной даже макроскопический прибор хорошо локализован

А речь не о длине волнового пакета, речь как минимум о длине волны (да-да, жёсткого фотона), а то и ещё меньше. Например, чтобы отличить когерентное поле от некогерентного, надо поделить длину волны ещё на число фотонов, если мне правильно кажется.

При локализации на длине волнового пакета - ни о каком локальном значении поля вы говорить не имеете права. Может быть, можете говорить о локальном значении интенсивности :-)

VladimirKalitvianski в сообщении #759291 писал(а):

Про осцилляторы я наверное не так понимаю, как Вы думаете, как я понимаю, потому что то, что Вы написали, мне известно и я с этим не спорю.

Хорошо, что не спорите. Плохо, что в других темах несёте по этому поводу какую-то неразборчивую чушь. Впрочем, здесь это офтопик.

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #759292 писал(а):

Недостаточно хорошо, с точки зрения квантовой теории.

Не понимаю, вопрос был о классическом поле и о числе фотонов в нем. Классическое в том смысле, что фотонов в нем очень-очень много. И остальные Ваши возражения мне не понятны, а уточнять не хочется.

[Munin]

(Оффтоп)

VladimirKalitvianski в сообщении #759298 писал(а):

И остальные Ваши возражения мне не понятны, а уточнять не хочется.

Ну что ж.

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #758969 писал(а):

Что касается волнового пакета, например, излученного классическим током (антенной), то он представляется когерентными состояниями фотонов с неопределенным числом фотонов.

Г.VladimirKalitvianski, можно ли выразить это Ваше замечание более понятной фразой:
Волновой пакет, излученный антенной, не квантован.
С уважением О.Львов

[Munin]

Нельзя. Он квантован. Но не находится в собственном состоянии наблюдаемой "число фотонов".

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #759418 писал(а):

Нельзя. Он квантован. Но не находится в собственном состоянии наблюдаемой "число фотонов".

Совершенно верно! Полностью согласен. Я так и написал, что это точное решение КЭД (см. тот же параграф у Ахиезера-Берестецкого).