Вопрос из ОТО

[Source]

Z.S. в сообщении #751324 писал(а):

Что это за Х..., Ватсон? Это такая ... Халява, Сэр ...

Не переживайте. В стационарной метрике, к которой относится равноускоренная СО или поле Земли, полная энергия частицы всегда сохраняется. Однако она не аддитивная (кинетическая + потенциальная), а мультипликативная. Общая формула полной энергии (см. ЛЛ2 п.88) имеет вид:

$$E_{tot}=\frac{m\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}=const,$$

Например, для равноускоренной СО это:

$$E_{tot}=\frac{m(1+gx)}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}.$$

Не забывайте, что $\mathbf{F}=d\mathbf{p}/dt$, где $\mathbf{p}=\mathbf{v}/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}$, а не $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$.

SergeyGubanov в сообщении #751284 писал(а):

В связи с этим вопрос, а вы случайно не пытались лагранжиан волчка написать, ну чтоб понять по какой траектории он полетит будучи брошенным в свободный полёт в искривлённом пространстве?

Это достаточно стандартная задача (см., например, Вайнберга), да еще экспериментально проверенная (прецессия гироскопа в грав.поле).

Но в данном случае не это обсуждается, а то, можно ли при помощи вращающегося кольца отличить однородное поле лифта от земного гравполя. Силу которую Вы выводили, естественно, надо получать не так (меняя туда сюда базисы и СО). Прямой путь - это запись уравнения движения в данной метрике. Формула Окуня заведомо верная, т.к. даёт верную прецессию орбиты пробного тела именно при такой зависимости силы от скорости. Однако у меня на скорую руку получить в таком виде её не удалось. Если исходить из закона сохранения полной энергии, то разницы между ускоряющимся и стоящем на Земле лифтом нет. С силой надо ещё покопаться.

[Z.S.]

SergeyGubanov в сообщении #p751379 писал(а):

Невозможно сосчитать работу по перемещению этого самого кольца покуда не выписан его Лагранжиан, то есть не известны уравнения его динамики.
Формулы для сил измеряемых динамометром выведены для статики. Если кольцо движется, то эти формулы применять нельзя.
Однако точно наперёд можно сказать, что поскольку Лагранжиан от времени не зависит (для случая планеты, там всё статично), то полная энергия точно сохраняется.

Это все так. И логически безупречно.

Однако (рассматриваем лифт на планете и наблюдателя в лифте)скажите,
если например, вращающееся кольцо движется с вертикальной скоростью $10^{-3}$ м/сек,
а окружная скорость вращения кольца $10^3$ м/сек, какая получится погрешность в определении силы?
Можно ли будет такой погрешностью пренебречь?
Что-то мне подсказывает, что можно.
Надеюсь убедится в обратном.

А если вращающееся кольцо преодолевает расстояние по вертикали
1 метр за год, за 100 лет, за очень много лет?

Если ось вращения кольца образует угол с вертикалью (например $45$ градусов от вертикали),
сила которую померяет динамометр, будет ли иметь горизонтальную составляющую?
(если исходить из формулы (8.1) в статье Окуня)
Поставим такое вращающееся кольцо на тележку с колесиками, тележка и покатится.
Опять же работа будет совершаться? Кхде тут загхвоздка? Волнуюсь, понимаешь, за сохранение:-)

[Source]

Не выдумывайте. Энергия частицы под воздействием "силы Окуня" сохраняется.
Это проверяется в одну строчку без всякого ОТО. Посчитайте.
И откуда Вы получили горизонтальную силу для кольца?

[SergeyGubanov]

Source в сообщении #751380 писал(а):

Это достаточно стандартная задача (см., например, Вайнберга), да еще экспериментально проверенная (прецессия гироскопа в грав.поле).

Вы меня не поняли. Вайнберг такую задачу, о которой я интересуюсь, вообще не ставил. У него абсолютно точечный гироскоп падающий абсолютно строго по геодезической:

$$ {\frac{d U^{\mu} }{d\tau}} + \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda} U^{\nu} U^{\lambda} = 0 \eqno(5.1.7) $$

$$ \frac{d S_{\mu}}{d\tau} - \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} U^{\nu} S_{\lambda} = 0 \eqno(5.1.8) $$

$$ S_{\mu} U^{\mu} = 0 \eqno(5.1.9) $$

А я ставлю задачу о механике (твёрдого) небесного тела хоть и малых, но всё же конечных размеров. Его размер мал, но уже позволяет ему чувствовать девиацию геодезических. Поэтому центр инерции этого тела движется не по геодезической. О Лагранжиане и об уравнениях движения именно такого тела я вас, собственно, и спросил. Ну ладно. Проехали...

Source в сообщении #751380 писал(а):

Но в данном случае не это обсуждается, а то, можно ли при помощи вращающегося кольца отличить однородное поле лифта от земного гравполя.

Конечно можно. Вопрос лишь в том на сколько большое нужно взять кольцо чтобы девиация геодезических поля Земли стала заметна на фоне других факторов влияющих на динамику кольца. В формуле которую я вывел для силы (правда забыв домножить на $\gamma^{-1}$, спасибо Вам за напоминание) малость размеров кольца не предполагается (кольцо можно взять хоть с Земной экватор). А вы, на сколько я понимаю, думаете выводить силу через формулы справедливые только для бесконечно малых тел? Но если так поступать, то конечно же разницы между Землёй и ускоряющимся лифтом вы не увидите.

[kirillD]

SergeyGubanov в сообщении #751447 писал(а):

Но если так поступать, то конечно же разницы между Землёй и ускоряющимся лифтом вы не увидите.

Сразу бы обозначить это для Z.S. Похоже, у него именно тут загвоздка с самого начала.

SergeyGubanov в сообщении #751447 писал(а):

А я ставлю задачу о механике (твёрдого) небесного тела хоть и малых, но всё же конечных размеров. Его размер мал, но уже позволяет ему чувствовать девиацию геодезических. Поэтому центр инерции этого тела движется не по геодезической.

Но должна же быть, наверное, у такого тела, хотя бы одна такая "частичка", которая движется по геодезической? Ведь, где-то же должен быть ноль напряжений в таком теле? Или, все-таки, нет?

[Z.S.]

kirillD в сообщении #p751453 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #751447 писал(а):

Но если так поступать, то конечно же разницы между Землёй и ускоряющимся лифтом вы не увидите.

Сразу бы обозначить это для Z.S. Похоже, у него именно тут загвоздка с самого начала.

О чем мы говорим? О силе которую показывает динамометр?
Или о процессе свободного падения вращающегося кольца?
Я полагаю, что для бесконечно малого вращающегося кольца разницы
между Землёй и ускоряющимся лифтом быть не должно (объект точечный).
Но для этого необходимо, чтобы сила инерционная уравновешивалась силой гравитации.
Поэтому и возник вопрос о силе которую мы измеряем динамометром на планете и в НСО.
Для точечного объекта показания должны совпадать, а по формулам они не совпадают.

Но сейчас у меня другой вопрос. О силе и работе силы.
Просьба. Давайте еще раз.
Кабина покоится на планете.
Динамометр в кабине.
Вращающееся кольцо подвешено правильным образом на динамометре.
Наблюдатель находится рядом.
Радиус кольца в сравнении с радиусом планеты очень мал.
Окружная скорость намного меньше световой.
Масса невращающегося кольца $m$.

Утверждение 1:
Динамометр покажет силу:
$F\approx mg(1+\frac{3}{2}\frac{R^2\Omega^2}{c^2})$
Если считаете утверждение 1 неверным, напишите правильный вариант.
( я исходил из формулы (8.1) в статье Окуня).

Переместим очень медленно по вертикали, сверху вниз, наше кольцо из точки1 в точку 2,
на расстояние $L$, которое намного меньше радиуса планеты.

Утверждение 2:
Будет произведена работа:
$A=FL=mg(1+\frac{3}{2}\frac{R^2\Omega^2}{c^2})L$
Если считаете утверждение 2 неверным, напишите правильный вариант.

[kirillD]

Z.S. в сообщении #751483 писал(а):

Я полагаю, что для бесконечно малого вращающегося кольца разницы
между Землёй и ускоряющимся лифтом быть не должно (объект точечный).

Мне, видимо, показалось, что в первом своем сообщении, Вы были настроены противоположно.

Z.S. в сообщении #751483 писал(а):

Для точечного объекта показания должны совпадать, а по формулам они не совпадают.

Остается, наверное, грешить на формулы.

[Z.S.]

Исходим из того, что выполняются закон сохранения энергии и
закон сохранения момента импульса.

Элементы вращающегося кольца при вертикальном перемещении вниз двигаются по спирали.

$\vec{F}=-G \frac{ME }{c^2r^3}[(1+\beta^2)\vec{r}\ -(\vec{r}\vec{\beta})\vec{\beta}]$ (8.1)

Из формулы (8.1) в статье Окуня видим, что вращение кольца должно подтормаживаться,
т.к. существует проекция гравитационной силы на направление скорости движения элемента.

$u$ - величина вертикальной скорости кольца.

Тангенциальная сила, тормозящая вращение:

$F_\tau \approx mguR\Omega /c^2$

За время $t=L/u$, изменение окружной скорости составит

$\Delta \upsilon \approx R\Omega \frac{gL}{c^2}$

Получается, что при приближении к планете угловая скорость вращающегося кольца уменьшается,
а при удалении от планеты - увеличивается (наблюдатель рядом с кольцом).

Кинетическая энергия кольца уменьшится на величину:

$\Delta E_K=m\upsilon \Delta \upsilon =mR^2\Omega ^2\frac{gL}{c^2} $

Таким образом, полная работа совершенная над кольцом:

$A_\Sigma = A-\Delta E_K=m(1+\frac{1}{2}\frac{R^2\Omega^2}{c^2})gL=\frac{E}{c^2}gL$

Здесь $E$ - полная энергия вращающегося кольца

Того самого... Нет халявы значится ...

Момент импульса кольца изменится на величину:

$\Delta K_c =mR^2\Omega\frac{gL}{c^2}$

Утверждение :
Момент импульса гравитационного поля изменится на величину:

$\Delta K_{GT} =-\Delta K_c=-mR^2\Omega\frac{gL}{c^2}$

[epros]

Source в сообщении #751380 писал(а):

Но в данном случае не это обсуждается, а то, можно ли при помощи вращающегося кольца отличить однородное поле лифта от земного гравполя.

Это лучше отличать не с помощью «вращающегося кольца» (т.е. волчка), а с помощью гантели. А с помощью волчка можно отличить лифт от совсем других вещей.

[SergeyGubanov]

kirillD в сообщении #751645 писал(а):

Z.S. в сообщении #751483 писал(а):

Для точечного объекта показания должны совпадать, а по формулам они не совпадают.

Остается, наверное, грешить на формулы.

На формулы конечно можно грешить (но лучше взять и проверить), однако разница там всё таки во втором порядке по $R$ (а именно $\frac{R^2 \Omega^2}{c^2}$). А слова "бесконечная малость" как раз и означают пренебрежение эффектами второго порядка малости.

Короче, никто и не утверждал, что поправки второго порядка малости должны совпадать.

[kirillD]

SergeyGubanov в сообщении #752137 писал(а):

А слова "бесконечная малость" как раз и означают пренебрежение эффектами второго порядка малости.

Ну, да.

Мне интереснее бы ваше мнение, вот на это

kirillD в сообщении #751453 писал(а):

Или, все-таки, нет?

[SergeyGubanov]

kirillD в сообщении #752234 писал(а):

Мне интереснее бы ваше мнение, вот на это

kirillD в сообщении #751453 писал(а):

Или, все-таки, нет?

Я не знаю.