Вы не могли бы нам это продемонстрировать? Для метрики Шварцшильда, например. Взять метрику Шварцшильда в стандартной форме, показать замену координат, приводящую её к Вашему виду, затем выписать замену координат для перехода в систему, движущуюся указанным Вами образом.
Неплохо бы также явно указать пространственноподобную трёхмерную поверхность с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда.
Конечно могу. Только программа будет чуток другой -- пойду в обратную сторону потому, что метрика Пэнлеве более "могущественная" чем метрика Шварцшильда.
Берём метрику Пэнлеве:

и строим две системы отсчёта: неподвижную

и свободно падающую из бесконечности с нулевой начальной скоростью

.
Напомню, что система отсчёта - это репер (корепер) (она же тетрада). По известному кореперу метрика трёхмерного пространства получается из следующих дифференциальных соотношений:
1. Неподвижная система отсчёта 
Четырёхскорость наблюдателей этой системы отсчёта:

Репер:

Корепер:

Трёхмерная метрика:

Шварцшильдовская времениподобная координата

связана со временем Пэнлеве

соотношением:

Поэтому трёхмерную метрику неподвижной СО можно записать так:

В неподвижной СО трёхмерное пространство кривое.
В Шварцшильдовской системе координат используется

вместо Пэнлевешного

:
2. Падающая система отсчёта 
Четырёхскорость наблюдателей этой системы отсчёта:

Репер:

Корепер:

Трёхмерная метрика:

В этой СО трёхмерное пространство плоское. А физический смысл

-- собственное время часов движущихся по закону

(то есть падающих из бесконечности с нулевой начальной скоростью).
3. Связь между системами отсчётаНайденные системы отсчёта связаны друг с другом локальным преобразованием Лоренца (буст со скоростью

):



4. Переход от сферических координат к декартовымВ сферических координатах поле скоростей было таким:

Переходим к декартовым координатам:

При преобразованиях координат пространства не зависящих от времени поле скоростей

ведёт себя как обычный трёхмерный контравариантный вектор, поэтому получаем:

При этом выполняется равенство:

(код для Mathematica)
dx = dr Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] + r Cos[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] d\[Theta] - r Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] d\[CurlyPhi];
dy = dr Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] + r Cos[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] d\[Theta] + r Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] d\[CurlyPhi];
dz = dr Cos[\[Theta]] - r Sin[\[Theta]] d\[Theta];
Vx = Vr Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]];
Vy = Vr Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]];
Vz = Vr Cos[\[Theta]];
Simplify[((dx - Vx dt)^2 + (dy - Vy dt)^2 + (dz - Vz dt)^2) - ((dr - Vr dt)^2 + r^2 d\[Theta]^2 + r^2 Sin[\[Theta]]^2 d\[CurlyPhi]^2)]