Вы не могли бы нам это продемонстрировать? Для метрики Шварцшильда, например. Взять метрику Шварцшильда в стандартной форме, показать замену координат, приводящую её к Вашему виду, затем выписать замену координат для перехода в систему, движущуюся указанным Вами образом.
Неплохо бы также явно указать пространственноподобную трёхмерную поверхность с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда.
Конечно могу. Только программа будет чуток другой -- пойду в обратную сторону потому, что метрика Пэнлеве более "могущественная" чем метрика Шварцшильда.
Берём метрику Пэнлеве:
и строим две системы отсчёта: неподвижную
и свободно падающую из бесконечности с нулевой начальной скоростью
.
Напомню, что система отсчёта - это репер (корепер) (она же тетрада). По известному кореперу метрика трёхмерного пространства получается из следующих дифференциальных соотношений:
1. Неподвижная система отсчёта Четырёхскорость наблюдателей этой системы отсчёта:
Репер:
Корепер:
Трёхмерная метрика:
Шварцшильдовская времениподобная координата
связана со временем Пэнлеве
соотношением:
Поэтому трёхмерную метрику неподвижной СО можно записать так:
В неподвижной СО трёхмерное пространство кривое.
В Шварцшильдовской системе координат используется
вместо Пэнлевешного
:
2. Падающая система отсчёта Четырёхскорость наблюдателей этой системы отсчёта:
Репер:
Корепер:
Трёхмерная метрика:
В этой СО трёхмерное пространство плоское. А физический смысл
-- собственное время часов движущихся по закону
(то есть падающих из бесконечности с нулевой начальной скоростью).
3. Связь между системами отсчётаНайденные системы отсчёта связаны друг с другом локальным преобразованием Лоренца (буст со скоростью
):
4. Переход от сферических координат к декартовымВ сферических координатах поле скоростей было таким:
Переходим к декартовым координатам:
При преобразованиях координат пространства не зависящих от времени поле скоростей
ведёт себя как обычный трёхмерный контравариантный вектор, поэтому получаем:
При этом выполняется равенство:
(код для Mathematica)
dx = dr Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] + r Cos[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] d\[Theta] - r Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] d\[CurlyPhi];
dy = dr Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] + r Cos[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] d\[Theta] + r Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] d\[CurlyPhi];
dz = dr Cos[\[Theta]] - r Sin[\[Theta]] d\[Theta];
Vx = Vr Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]];
Vy = Vr Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]];
Vz = Vr Cos[\[Theta]];
Simplify[((dx - Vx dt)^2 + (dy - Vy dt)^2 + (dz - Vz dt)^2) - ((dr - Vr dt)^2 + r^2 d\[Theta]^2 + r^2 Sin[\[Theta]]^2 d\[CurlyPhi]^2)]