2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение16.07.2013, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это общепринятое сокращение,
$$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$ Эта величина называется "гамма-фактор" или "фактор Лоренца" (gamma factor, Lorentz factor, где factor - "множитель, коэффициент"). Она удобна тем, что всегда $\gamma\geqslant 1,$ причём когда $\gamma\approx 1,$ то мы имеем дело с малыми скоростями и нерелятивистскими явлениями, а когда $\gamma\gg 1,$ мы имеем дело с околосветовыми скоростями и (ультра-)релятивистскими явлениями.

Вы не тупой. Просто это обозначение "на слуху" в основном у специалистов.

Это обозначение вводится у Окуня в формуле (6.6).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 11:39 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #745381 писал(а):
Довольно глупый совет. Вы сами-то справитесь реализовать эту программу? Для начала, какие у кольца степени свободы?
Можно рассмотреть движение в следующем гравитационном поле (Шварцшильд к нему сводится, Эйнштейн де-Ситтер тоже):

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dx - V^x dt \right)^2 - \left( dy - V^y dt \right)^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2 \eqno(1)$$
В таком пространстве событий в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово:

$$d\ell^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \eqno(2)$$
Если ограничиться нерелятивистским описанием из этой системы отсчёта, то лагранжиан точечной частицы массы $m$ будет

$$L = \frac{1}{2} m \left[ \left( \frac{dx}{dt} - V^x \right)^2
+ \left( \frac{dy}{dt} - V^y \right)^2
+ \left( \frac{dz}{dt} - V^z \right)^2\right] = \frac{1}{2} m \left( \frac{d\vec{r}}{dt} - \vec{V} \right)^2 \eqno(3)$$

Здесь $\vec{r} = (x, y, z)$ - радиус-вектор, 3D-пространство-то евклидово, так что имеем право :D.

Покажу как можно описать полёт нерелятивистской гантели. Гантель это две точечных частицы массы $m$ (каждая) жёстко соединённых невесомым стержнем длины $2 h$. Введём радиус вектор центра масс $\vec{R}$ и единичный вектор $\vec{\xi}$ (${\vec{\xi}}^2 = 1$) такие, что радиус вектор первой частицы $\vec{r}_{+}$ и второй частицы $\vec{r}_{-}$ связаны соотношениями:

$$\vec{r}_{\pm}(t) = \vec{R}(t) \pm h \, \vec{\xi}(t) \eqno(4)$$

При условии ${\vec{\xi}}^2 (t) = 1$ получаем Лагранжиан нерелятивистской гантели:

$$L = \frac{1}{2} m \left( \frac{d\vec{R}}{dt} + h \frac{d\vec{\xi}}{dt} - \vec{V}(\vec{R} + h \vec{\xi}, t) \right)^2
+
\frac{1}{2} m \left( \frac{d\vec{R}}{dt} - h \frac{d\vec{\xi}}{dt} - \vec{V}(\vec{R} - h \vec{\xi}, t) \right)^2 \eqno(5)$$
У неё пять степеней свободы: три в $\vec{R}(t)$ и две в $\vec{\xi}(t)$.

Если гантелька маленькая по сравнению с неоднородностями поля скоростей $V^i$, то можно воспользоваться разложением до второго порядка по $h$:

$$V^i (\vec{R} \pm h \vec{\xi}, t) \approx V^i (\vec{R}, t) \pm h \frac{\partial V^i}{\partial R^k} \xi^k + \frac{1}{2} h^2 \frac{\partial^2 V^i}{\partial R^k \partial R^l} \xi^k  \xi^l  \eqno(6)$$

Подставляя (6) в (5) получаем Лагранжиан гантели с точностью до второго порядка по $h$. Легко видеть, что члены первого порядка по $h$ сокращаются, поэтому в первом порядке по $h$ он совпадает с лагранжианом эффективной точечной частицы массы $2 m$ находящейся в центре масс $\vec{R}(t)$. То есть неточечность небесного тела - эффект второго порядка малости на его траекторию движения, что и следовало ожидать, ведь девиация геодезических как раз и есть эффект второго порядка малости.


Для нерелятивистского кольца написать Лагранжиан будет громозднее чем для гантели, но копать надо примерно в эту же сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
SergeyGubanov в сообщении #748550 писал(а):
Можно рассмотреть движение в следующем гравитационном поле (Шварцшильд к нему сводится, Эйнштейн де-Ситтер тоже):

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dx - V^x dt \right)^2 - \left( dy - V^y dt \right)^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2 \eqno(1)$$
В таком пространстве событий в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово:

$$d\ell^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \eqno(2)$$

:facepalm: Оно было бы евклидовым, если бы буковки $V^x,V^y,V^z$ от координат не зависели. Соответственно, все последующие выкладки разлетаются вдребезги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 13:52 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #748565 писал(а):
:facepalm: Оно было бы евклидовым, если бы буковки $V^x,V^y,V^z$ от координат не зависели. Соответственно, все последующие выкладки разлетаются вдребезги.
Для указанной метрики, в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово при любых буковках $V^i (x, t)$. Упражнение для второкурсника (или на каком там курсе нынче это делают? :D) Да, кстати, не путайте её с системой отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = 0$ (например, в ЛЛ2 формулы как раз таки для СО $\frac{dx^i}{dt} = 0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 18:30 


14/03/11
142
Z.S. в сообщении #743907 писал(а):
Значит, имея два динамометра, гирю и вращающееся кольцо, мы сможем отличить нахождение кабины в
НСО от нахождения ее в гравитационном поле,
и сможем отличить свободное падение кабины в гравитационном поле, от нахождения
ее в ИСО, вдали от гравитирующих объектов.
А почему собственно этот вывод считается ошибочным?
Зависимость в числителе от скорости в силе, появляющаяся у Окуня, проистекает из метрики Шварцшильда.
Например, в метрике $ds^2=(1+2\varphi)dt^2-d\mathbf{r}^2$ её не будет, даже для ньютоновского потенциала $\varphi$.
Тем более её не будет в однородном гравполе или равномерно ускоренной НИСО.
Вращающееся кольцо неточечное и вполне может "чувствовать" соответствующие эффекты "нелокальности".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 19:36 


24/01/09
1222
Украина, Днепр
Как вариант - а что если разложить уравнение движения в поле центральных сил и посмотреть какая там получается "сила"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 19:59 


14/03/11
142
Сила Окуня и получится

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 20:21 


02/11/08
163
Вот еще смешной вопрос.
Вот формула из статьи Окуня.

$\vec{F}=-G \frac{ME }{c^2r^3}[(1+\beta^2)\vec{r}\ -(\vec{r}\vec{\beta})\vec{\beta}]$

Если кабина находится на планете.

Как быть с тем, что идеальная система (светло-черный ящик): кольцо+привод+аккумулятор может
с разной силой воздействовать на динамометр (полная энергия системы = const) ?

Тогда ведь вечнОй двигОтель можно смастерить.

Сверху вниз (медленно и печально) опускаем тяжелый вариант (вся энергия в кольце), получаем работу $A_1$.
Снизу вверх (опять же медленно и печально) поднимаем легкий вариант (вся энергия в аккумуляторе),отдаем работу $A_2$.

И так и далее, в цикле.

Небольшая разница.

$\Delta A=(A_1 - A_2)>0$

Но жить можно.

Как это понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 20:49 
Аватара пользователя


21/08/11
1133
Grenoble
Z.S. в сообщении #748693 писал(а):
Небольшая разница $\Delta A=(A_1 - A_2)>0$, но жить можно.

А разве в ОТО энергия сохраняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 21:52 


14/03/11
142
А почему она должна не сохраняться (если речь об энергии частицы)?
Если метрика не зависит от времени всегда существует интеграл движения: ЛЛ2, п88.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение23.07.2013, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
SergeyGubanov в сообщении #748584 писал(а):
Для указанной метрики, в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово при любых буковках $V^i (x, t)$. Упражнение для второкурсника (или на каком там курсе нынче это делают? :D)
Вы не могли бы нам это продемонстрировать? Для метрики Шварцшильда, например. Взять метрику Шварцшильда в стандартной форме, показать замену координат, приводящую её к Вашему виду, затем выписать замену координат для перехода в систему, движущуюся указанным Вами образом.
Неплохо бы также явно указать пространственноподобную трёхмерную поверхность с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение24.07.2013, 13:50 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
Someone в сообщении #748738 писал(а):
Вы не могли бы нам это продемонстрировать? Для метрики Шварцшильда, например. Взять метрику Шварцшильда в стандартной форме, показать замену координат, приводящую её к Вашему виду, затем выписать замену координат для перехода в систему, движущуюся указанным Вами образом.
Неплохо бы также явно указать пространственноподобную трёхмерную поверхность с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда.

Конечно могу. Только программа будет чуток другой -- пойду в обратную сторону потому, что метрика Пэнлеве более "могущественная" чем метрика Шварцшильда.

Берём метрику Пэнлеве:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) \, d \varphi^2$$
и строим две системы отсчёта: неподвижную $\frac{dr}{dt} = 0$ и свободно падающую из бесконечности с нулевой начальной скоростью $\frac{dr}{dt} = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$.

Напомню, что система отсчёта - это репер (корепер) (она же тетрада). По известному кореперу метрика трёхмерного пространства получается из следующих дифференциальных соотношений:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
e^{(0)}_{\mu} \, dx^{\mu} &=& 0, \\
d \ell^2 &=&
\left( e^{(1)}_{\mu} \, dx^{\mu} \right)^2
+ \left( e^{(2)}_{\mu} \, dx^{\mu} \right)^2
+ \left( e^{(3)}_{\mu} \, dx^{\mu} \right)^2. \\
\end{array}
\right.$$

1. Неподвижная система отсчёта $\frac{dr}{dt} = 0$

Четырёхскорость наблюдателей этой системы отсчёта:
$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}}, 0, 0, 0 \right\}$$
Репер:
$$e_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad
e_{(1)} = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad
e_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad
e_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}$$
Корепер:
$$e^{(0)} = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, dr, \quad
e^{(1)} = \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}}, \quad
e^{(2)} = r \, d\theta, \quad
e^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi$$
Трёхмерная метрика:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \ dr &=& 0, \\
d \ell^2 &=&
\frac{dr^2}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2, \\
\end{array}
\right.$$
Шварцшильдовская времениподобная координата $t'$ связана со временем Пэнлеве $t$ соотношением:
$$\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt' =
\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \ dr$$
Поэтому трёхмерную метрику неподвижной СО можно записать так:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
dt' &=& 0, \\
d \ell^2 &=&
\frac{dr^2}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2 \\
\end{array}
\right.$$
В неподвижной СО трёхмерное пространство кривое.

В Шварцшильдовской системе координат используется $t'$ вместо Пэнлевешного $t$:
$$ds^2 = \left( 1-\frac{2 k M}{c^2 r} \right) c^2 dt'^2 - \frac{dr^2}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2$$

2. Падающая система отсчёта $\frac{dr}{dt} = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$

Четырёхскорость наблюдателей этой системы отсчёта:
$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ 1, -\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}, 0, 0 \right\}$$
Репер:
$$\bar{e}_{(0)} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad
\bar{e}_{(1)} = \frac{\partial}{\partial r}, \quad
\bar{e}_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad
\bar{e}_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}$$
Корепер:
$$\bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad
\bar{e}^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt, \quad
\bar{e}^{(2)} = r \, d\theta, \quad
\bar{e}^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi$$
Трёхмерная метрика:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
dt &=& 0, \\
d \ell^2 &=&
dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2. \\
\end{array}
\right.$$
В этой СО трёхмерное пространство плоское. А физический смысл $t$ -- собственное время часов движущихся по закону $\frac{dr}{dt} = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$ (то есть падающих из бесконечности с нулевой начальной скоростью).



3. Связь между системами отсчёта

Найденные системы отсчёта связаны друг с другом локальным преобразованием Лоренца (буст со скоростью $v = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$):
$$\bar{e}^{\mu}_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \left( e^{\mu}_{(0)} - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, e^{\mu}_{(1)} \right), $$
$$\bar{e}^{\mu}_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \left( - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, e^{\mu}_{(0)} + e^{\mu}_{(1)} \right), $$
$$\bar{e}^{\mu}_{(2)} = e^{\mu}_{(2)}, $$
$$\bar{e}^{\mu}_{(3)} = e^{\mu}_{(3)} $$



4. Переход от сферических координат к декартовым

В сферических координатах поле скоростей было таким:
$$V^r = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}, \quad V^{\theta} = 0, \quad V^{\varphi} = 0$$
Переходим к декартовым координатам:
$$x = r \sin(\theta) \cos(\varphi), \quad y = r \sin(\theta) \sin(\varphi), \quad z = r \cos(\theta)$$
При преобразованиях координат пространства не зависящих от времени поле скоростей $V^i$ ведёт себя как обычный трёхмерный контравариантный вектор, поэтому получаем:
$$V^x = V^r \sin(\theta) \cos(\varphi), \quad V^y = V^r \sin(\theta) \sin(\varphi), \quad V^z = V^r \cos(\theta)$$
При этом выполняется равенство:
$$\left( dx - V^x dt \right)^2 + \left( dy - V^y dt \right)^2 + \left( dz - V^z dt \right)^2 = \left( dr - V^r dt \right)^2 + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d \varphi^2$$

(код для Mathematica)

dx = dr Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] + r Cos[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] d\[Theta] - r Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] d\[CurlyPhi];
dy = dr Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] + r Cos[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] d\[Theta] + r Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] d\[CurlyPhi];
dz = dr Cos[\[Theta]] - r Sin[\[Theta]] d\[Theta];

Vx = Vr Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]];
Vy = Vr Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]];
Vz = Vr Cos[\[Theta]];

Simplify[((dx - Vx dt)^2 + (dy - Vy dt)^2 + (dz - Vz dt)^2) - ((dr - Vr dt)^2 + r^2 d\[Theta]^2 + r^2 Sin[\[Theta]]^2 d\[CurlyPhi]^2)]

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение24.07.2013, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
SergeyGubanov в сообщении #748846 писал(а):
метрика Пэнлеве более "могущественная" чем метрика Шварцшильда.

LOL
Это же одно и то же разными буквами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение24.07.2013, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
SergeyGubanov в сообщении #748846 писал(а):
Конечно могу.
Это не интересно. Это локальная метрика, "в бесконечно малой окрестности". Просто проявление сильного принципа эквивалентности. А если будем отходить от заданной точки, то реперы начнут поворачиваться, и получится вовсе не евклидова поверхность, а то и вообще никакой не получится.
Я, грешным делом, подумал, что Вы открыли трёхмерное пространственно-подобное сечение с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда. Это было бы интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из ОТО
Сообщение25.07.2013, 08:04 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #748888 писал(а):
Это же одно и то же разными буквами.
С точки зрения теоремы Биркгофа - да. Однако при её доказательстве не гнушаются комплексными преобразованиями координат. Поэтому то что одинаково по Биркгофу не обязательно одинаково по Физике. Опять же, не надо забывать, что в Шварцшильда одинаково хорошо переходят оба Пенлеве как со знаком плюс ("чёрная дыра") так и со знаком минус ("белая дыра"):
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2,$$ в то время как "подгоризонтальная" физика у разных ($\pm$) Пэнлеве очевидно разная (из под горизонта "чёрной дыры" нельзя вылезти, а под горизонт "белой дыры" нельзя залезть).

Someone в сообщении #748901 писал(а):
Это не интересно. Это локальная метрика, "в бесконечно малой окрестности". Просто проявление сильного принципа эквивалентности. А если будем отходить от заданной точки, то реперы начнут поворачиваться, и получится вовсе не евклидова поверхность, а то и вообще никакой не получится.
Ничего подобного, репер падающей СО определён везде (ну, за исключением $r=0$):
$$\bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad
\bar{e}^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt, \quad
\bar{e}^{(2)} = r \, d\theta, \quad
\bar{e}^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi$$
Во всех точках трёхмерное пространство в падающей СО является евклидовым.

Someone в сообщении #748901 писал(а):
Я, грешным делом, подумал, что Вы открыли трёхмерное пространственно-подобное сечение с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда. Это было бы интересно.
Мне этого и не надо было открывать потому, что это уже открыто. Сечение $t=\operatorname{const}$ у Пенлеве как раз евклидово. Если вас смущает недиагональность метрики Пэнлеве, то её диагонализация не составляет труда. Сейчас покажу. Берём Пэнлеве и переходим от статичной пространственной координаты $r$ к свободно падающей $R$ по формуле (а-ля Леметр):
$$\sqrt{\frac{r}{2 k M}} \, dr + dt = \sqrt{\frac{R}{2 k M}} \, dR$$
$$r = \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3}$$
Получаем диагональную метрику:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \frac{R}{\left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3}} dR^2
- \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{4/3} \left(d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right)$$
Рассмотрим сечение $t=\operatorname{const}$:
$$d \ell^2 = \frac{R}{\left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3}} dR^2
+ \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{4/3} \left(d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right)$$ Думаете это трёхмерное пространство искривлено? Опять ничего подобного. Трёхмерный тензор кривизны Римана-Кристоффеля этого трёхмерного пространства равен нулю (проверьте в Mathematica :D ). Это всё то же самое евклидово пространство что и было до замены пространственной координаты $r \to R$ (от замены пространственной координаты само пространство не меняется).

Заменой (при $t=\operatorname{const}$):
$$x = \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3} \sin(\theta) \cos(\varphi)$$$$y = \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3} \sin(\theta) \sin(\varphi)$$$$z = \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3} \cos(\theta)$$получаем$$d \ell^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 72 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group