Вопрос из ОТО

[Munin]

Это общепринятое сокращение,

$$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$

Эта величина называется "гамма-фактор" или "фактор Лоренца" (gamma factor, Lorentz factor, где factor - "множитель, коэффициент"). Она удобна тем, что всегда $\gamma\geqslant 1,$ причём когда $\gamma\approx 1,$ то мы имеем дело с малыми скоростями и нерелятивистскими явлениями, а когда $\gamma\gg 1,$ мы имеем дело с околосветовыми скоростями и (ультра-)релятивистскими явлениями.

Вы не тупой. Просто это обозначение "на слуху" в основном у специалистов.

Это обозначение вводится у Окуня в формуле (6.6).

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #745381 писал(а):

Довольно глупый совет. Вы сами-то справитесь реализовать эту программу? Для начала, какие у кольца степени свободы?

Можно рассмотреть движение в следующем гравитационном поле (Шварцшильд к нему сводится, Эйнштейн де-Ситтер тоже):

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dx - V^x dt \right)^2 - \left( dy - V^y dt \right)^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2 \eqno(1)$$

В таком пространстве событий в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово:

$$d\ell^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \eqno(2)$$

Если ограничиться нерелятивистским описанием из этой системы отсчёта, то лагранжиан точечной частицы массы $m$ будет

$$L = \frac{1}{2} m \left[ \left( \frac{dx}{dt} - V^x \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} - V^y \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} - V^z \right)^2\right] = \frac{1}{2} m \left( \frac{d\vec{r}}{dt} - \vec{V} \right)^2 \eqno(3)$$

Здесь $\vec{r} = (x, y, z)$ - радиус-вектор, 3D-пространство-то евклидово, так что имеем право .

Покажу как можно описать полёт нерелятивистской гантели. Гантель это две точечных частицы массы $m$ (каждая) жёстко соединённых невесомым стержнем длины $2 h$. Введём радиус вектор центра масс $\vec{R}$ и единичный вектор $\vec{\xi}$ (${\vec{\xi}}^2 = 1$) такие, что радиус вектор первой частицы $\vec{r}_{+}$ и второй частицы $\vec{r}_{-}$ связаны соотношениями:

$$\vec{r}_{\pm}(t) = \vec{R}(t) \pm h \, \vec{\xi}(t) \eqno(4)$$

При условии ${\vec{\xi}}^2 (t) = 1$ получаем Лагранжиан нерелятивистской гантели:

$$L = \frac{1}{2} m \left( \frac{d\vec{R}}{dt} + h \frac{d\vec{\xi}}{dt} - \vec{V}(\vec{R} + h \vec{\xi}, t) \right)^2 + \frac{1}{2} m \left( \frac{d\vec{R}}{dt} - h \frac{d\vec{\xi}}{dt} - \vec{V}(\vec{R} - h \vec{\xi}, t) \right)^2 \eqno(5)$$

У неё пять степеней свободы: три в $\vec{R}(t)$ и две в $\vec{\xi}(t)$.

Если гантелька маленькая по сравнению с неоднородностями поля скоростей $V^i$, то можно воспользоваться разложением до второго порядка по $h$:

$$V^i (\vec{R} \pm h \vec{\xi}, t) \approx V^i (\vec{R}, t) \pm h \frac{\partial V^i}{\partial R^k} \xi^k + \frac{1}{2} h^2 \frac{\partial^2 V^i}{\partial R^k \partial R^l} \xi^k \xi^l \eqno(6)$$

Подставляя (6) в (5) получаем Лагранжиан гантели с точностью до второго порядка по $h$. Легко видеть, что члены первого порядка по $h$ сокращаются, поэтому в первом порядке по $h$ он совпадает с лагранжианом эффективной точечной частицы массы $2 m$ находящейся в центре масс $\vec{R}(t)$. То есть неточечность небесного тела - эффект второго порядка малости на его траекторию движения, что и следовало ожидать, ведь девиация геодезических как раз и есть эффект второго порядка малости.


Для нерелятивистского кольца написать Лагранжиан будет громозднее чем для гантели, но копать надо примерно в эту же сторону.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #748550 писал(а):

Можно рассмотреть движение в следующем гравитационном поле (Шварцшильд к нему сводится, Эйнштейн де-Ситтер тоже):

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dx - V^x dt \right)^2 - \left( dy - V^y dt \right)^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2 \eqno(1)$$

В таком пространстве событий в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово:

$$d\ell^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \eqno(2)$$

Оно было бы евклидовым, если бы буковки $V^x,V^y,V^z$ от координат не зависели. Соответственно, все последующие выкладки разлетаются вдребезги.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #748565 писал(а):

Оно было бы евклидовым, если бы буковки $V^x,V^y,V^z$ от координат не зависели. Соответственно, все последующие выкладки разлетаются вдребезги.

Для указанной метрики, в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово при любых буковках $V^i (x, t)$. Упражнение для второкурсника (или на каком там курсе нынче это делают? ) Да, кстати, не путайте её с системой отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = 0$ (например, в ЛЛ2 формулы как раз таки для СО $\frac{dx^i}{dt} = 0$).

[Source]

Z.S. в сообщении #743907 писал(а):

Значит, имея два динамометра, гирю и вращающееся кольцо, мы сможем отличить нахождение кабины в
НСО от нахождения ее в гравитационном поле,
и сможем отличить свободное падение кабины в гравитационном поле, от нахождения
ее в ИСО, вдали от гравитирующих объектов.

А почему собственно этот вывод считается ошибочным?
Зависимость в числителе от скорости в силе, появляющаяся у Окуня, проистекает из метрики Шварцшильда.
Например, в метрике $ds^2=(1+2\varphi)dt^2-d\mathbf{r}^2$ её не будет, даже для ньютоновского потенциала $\varphi$.
Тем более её не будет в однородном гравполе или равномерно ускоренной НИСО.
Вращающееся кольцо неточечное и вполне может "чувствовать" соответствующие эффекты "нелокальности".

[Theoristos]

Как вариант - а что если разложить уравнение движения в поле центральных сил и посмотреть какая там получается "сила"?

[Source]

Сила Окуня и получится

[Z.S.]

Вот еще смешной вопрос.
Вот формула из статьи Окуня.

$\vec{F}=-G \frac{ME }{c^2r^3}[(1+\beta^2)\vec{r}\ -(\vec{r}\vec{\beta})\vec{\beta}]$

Если кабина находится на планете.

Как быть с тем, что идеальная система (светло-черный ящик): кольцо+привод+аккумулятор может
с разной силой воздействовать на динамометр (полная энергия системы = const) ?

Тогда ведь вечнОй двигОтель можно смастерить.

Сверху вниз (медленно и печально) опускаем тяжелый вариант (вся энергия в кольце), получаем работу $A_1$.
Снизу вверх (опять же медленно и печально) поднимаем легкий вариант (вся энергия в аккумуляторе),отдаем работу $A_2$.

И так и далее, в цикле.

Небольшая разница.

$\Delta A=(A_1 - A_2)>0$

Но жить можно.

Как это понимать?

[VladimirKalitvianski]

Z.S. в сообщении #748693 писал(а):

Небольшая разница $\Delta A=(A_1 - A_2)>0$, но жить можно.

А разве в ОТО энергия сохраняется?

[Source]

А почему она должна не сохраняться (если речь об энергии частицы)?
Если метрика не зависит от времени всегда существует интеграл движения: ЛЛ2, п88.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #748584 писал(а):

Для указанной метрики, в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово при любых буковках $V^i (x, t)$. Упражнение для второкурсника (или на каком там курсе нынче это делают? )

Вы не могли бы нам это продемонстрировать? Для метрики Шварцшильда, например. Взять метрику Шварцшильда в стандартной форме, показать замену координат, приводящую её к Вашему виду, затем выписать замену координат для перехода в систему, движущуюся указанным Вами образом.
Неплохо бы также явно указать пространственноподобную трёхмерную поверхность с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #748738 писал(а):

Вы не могли бы нам это продемонстрировать? Для метрики Шварцшильда, например. Взять метрику Шварцшильда в стандартной форме, показать замену координат, приводящую её к Вашему виду, затем выписать замену координат для перехода в систему, движущуюся указанным Вами образом.
Неплохо бы также явно указать пространственноподобную трёхмерную поверхность с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда.

Конечно могу. Только программа будет чуток другой -- пойду в обратную сторону потому, что метрика Пэнлеве более "могущественная" чем метрика Шварцшильда.

Берём метрику Пэнлеве:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) \, d \varphi^2$$

и строим две системы отсчёта: неподвижную $\frac{dr}{dt} = 0$ и свободно падающую из бесконечности с нулевой начальной скоростью $\frac{dr}{dt} = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$.

Напомню, что система отсчёта - это репер (корепер) (она же тетрада). По известному кореперу метрика трёхмерного пространства получается из следующих дифференциальных соотношений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} e^{(0)}_{\mu} \, dx^{\mu} &=& 0, \\ d \ell^2 &=& \left( e^{(1)}_{\mu} \, dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(2)}_{\mu} \, dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(3)}_{\mu} \, dx^{\mu} \right)^2. \\ \end{array} \right.$$

1. Неподвижная система отсчёта $\frac{dr}{dt} = 0$

Четырёхскорость наблюдателей этой системы отсчёта:

$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}}, 0, 0, 0 \right\}$$

Репер:

$$e_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad e_{(1)} = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad e_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad e_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}$$

Корепер:

$$e^{(0)} = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \, dr, \quad e^{(1)} = \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}}, \quad e^{(2)} = r \, d\theta, \quad e^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi$$

Трёхмерная метрика:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \ dr &=& 0, \\ d \ell^2 &=& \frac{dr^2}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2, \\ \end{array} \right.$$

Шварцшильдовская времениподобная координата $t'$ связана со временем Пэнлеве $t$ соотношением:

$$\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt' = \sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} \, c dt - \frac{\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \ dr$$

Поэтому трёхмерную метрику неподвижной СО можно записать так:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} dt' &=& 0, \\ d \ell^2 &=& \frac{dr^2}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2 \\ \end{array} \right.$$

В неподвижной СО трёхмерное пространство кривое.

В Шварцшильдовской системе координат используется $t'$ вместо Пэнлевешного $t$:

$$ds^2 = \left( 1-\frac{2 k M}{c^2 r} \right) c^2 dt'^2 - \frac{dr^2}{1-\frac{2 k M}{c^2 r}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2$$

2. Падающая система отсчёта $\frac{dr}{dt} = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$

Четырёхскорость наблюдателей этой системы отсчёта:

$${\frac{dx}{ds}}^{\mu} = \left\{ 1, -\sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}}, 0, 0 \right\}$$

Репер:

$$\bar{e}_{(0)} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad \bar{e}_{(1)} = \frac{\partial}{\partial r}, \quad \bar{e}_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad \bar{e}_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}$$

Корепер:

$$\bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad \bar{e}^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt, \quad \bar{e}^{(2)} = r \, d\theta, \quad \bar{e}^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi$$

Трёхмерная метрика:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} dt &=& 0, \\ d \ell^2 &=& dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2. \\ \end{array} \right.$$

В этой СО трёхмерное пространство плоское. А физический смысл $t$ -- собственное время часов движущихся по закону $\frac{dr}{dt} = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$ (то есть падающих из бесконечности с нулевой начальной скоростью).



3. Связь между системами отсчёта

Найденные системы отсчёта связаны друг с другом локальным преобразованием Лоренца (буст со скоростью $v = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}$):

$$\bar{e}^{\mu}_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \left( e^{\mu}_{(0)} - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, e^{\mu}_{(1)} \right), $$

$$\bar{e}^{\mu}_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 k M}{c^2 r}}} \left( - \sqrt{\frac{2 k M}{c^2 r}} \, e^{\mu}_{(0)} + e^{\mu}_{(1)} \right), $$

$$\bar{e}^{\mu}_{(2)} = e^{\mu}_{(2)}, $$

$$\bar{e}^{\mu}_{(3)} = e^{\mu}_{(3)} $$

4. Переход от сферических координат к декартовым

В сферических координатах поле скоростей было таким:

$$V^r = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}, \quad V^{\theta} = 0, \quad V^{\varphi} = 0$$

Переходим к декартовым координатам:

$$x = r \sin(\theta) \cos(\varphi), \quad y = r \sin(\theta) \sin(\varphi), \quad z = r \cos(\theta)$$

При преобразованиях координат пространства не зависящих от времени поле скоростей $V^i$ ведёт себя как обычный трёхмерный контравариантный вектор, поэтому получаем:

$$V^x = V^r \sin(\theta) \cos(\varphi), \quad V^y = V^r \sin(\theta) \sin(\varphi), \quad V^z = V^r \cos(\theta)$$

При этом выполняется равенство:

$$\left( dx - V^x dt \right)^2 + \left( dy - V^y dt \right)^2 + \left( dz - V^z dt \right)^2 = \left( dr - V^r dt \right)^2 + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \, d \varphi^2$$

(код для Mathematica)

dx = dr Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] + r Cos[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] d\[Theta] - r Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] d\[CurlyPhi];
dy = dr Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] + r Cos[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]] d\[Theta] + r Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]] d\[CurlyPhi];
dz = dr Cos[\[Theta]] - r Sin[\[Theta]] d\[Theta];

Vx = Vr Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]];
Vy = Vr Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]];
Vz = Vr Cos[\[Theta]];

Simplify[((dx - Vx dt)^2 + (dy - Vy dt)^2 + (dz - Vz dt)^2) - ((dr - Vr dt)^2 + r^2 d\[Theta]^2 + r^2 Sin[\[Theta]]^2 d\[CurlyPhi]^2)]

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #748846 писал(а):

метрика Пэнлеве более "могущественная" чем метрика Шварцшильда.

LOL
Это же одно и то же разными буквами.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #748846 писал(а):

Конечно могу.

Это не интересно. Это локальная метрика, "в бесконечно малой окрестности". Просто проявление сильного принципа эквивалентности. А если будем отходить от заданной точки, то реперы начнут поворачиваться, и получится вовсе не евклидова поверхность, а то и вообще никакой не получится.
Я, грешным делом, подумал, что Вы открыли трёхмерное пространственно-подобное сечение с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда. Это было бы интересно.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #748888 писал(а):

Это же одно и то же разными буквами.

С точки зрения теоремы Биркгофа - да. Однако при её доказательстве не гнушаются комплексными преобразованиями координат. Поэтому то что одинаково по Биркгофу не обязательно одинаково по Физике. Опять же, не надо забывать, что в Шварцшильда одинаково хорошо переходят оба Пенлеве как со знаком плюс ("чёрная дыра") так и со знаком минус ("белая дыра"):

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2,$$

в то время как "подгоризонтальная" физика у разных ($\pm$) Пэнлеве очевидно разная (из под горизонта "чёрной дыры" нельзя вылезти, а под горизонт "белой дыры" нельзя залезть).

Someone в сообщении #748901 писал(а):

Это не интересно. Это локальная метрика, "в бесконечно малой окрестности". Просто проявление сильного принципа эквивалентности. А если будем отходить от заданной точки, то реперы начнут поворачиваться, и получится вовсе не евклидова поверхность, а то и вообще никакой не получится.

Ничего подобного, репер падающей СО определён везде (ну, за исключением $r=0$):

$$\bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad \bar{e}^{(1)} = dr + \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt, \quad \bar{e}^{(2)} = r \, d\theta, \quad \bar{e}^{(3)} = r \, \sin\theta \, d\varphi$$

Во всех точках трёхмерное пространство в падающей СО является евклидовым.

Someone в сообщении #748901 писал(а):

Я, грешным делом, подумал, что Вы открыли трёхмерное пространственно-подобное сечение с евклидовой метрикой в пространстве-времени Шварцшильда. Это было бы интересно.

Мне этого и не надо было открывать потому, что это уже открыто. Сечение $t=\operatorname{const}$ у Пенлеве как раз евклидово. Если вас смущает недиагональность метрики Пэнлеве, то её диагонализация не составляет труда. Сейчас покажу. Берём Пэнлеве и переходим от статичной пространственной координаты $r$ к свободно падающей $R$ по формуле (а-ля Леметр):

$$\sqrt{\frac{r}{2 k M}} \, dr + dt = \sqrt{\frac{R}{2 k M}} \, dR$$

$$r = \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3}$$

Получаем диагональную метрику:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \frac{R}{\left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3}} dR^2 - \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{4/3} \left(d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right)$$

Рассмотрим сечение $t=\operatorname{const}$:

$$d \ell^2 = \frac{R}{\left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3}} dR^2 + \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{4/3} \left(d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right)$$

Думаете это трёхмерное пространство искривлено? Опять ничего подобного. Трёхмерный тензор кривизны Римана-Кристоффеля этого трёхмерного пространства равен нулю (проверьте в Mathematica ). Это всё то же самое евклидово пространство что и было до замены пространственной координаты $r \to R$ (от замены пространственной координаты само пространство не меняется).

Заменой (при $t=\operatorname{const}$):

$$x = \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3} \sin(\theta) \cos(\varphi)$$

$$y = \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3} \sin(\theta) \sin(\varphi)$$

$$z = \left( R^{3/2} - \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \, t \right)^{2/3} \cos(\theta)$$

получаем

$$d \ell^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$