Вопрос из ОТО

[Z.S.]

Допустим, у нас имеется закрытая кабина. Имеется разметка : вертикаль и горизонталь.
В кабине - два динамометра. С их помощью мы можем измерять силы в направлении вертикали.
На одном подвешена гиря массой $m$ так, что полная энергия гири $ E=mc^2$.
На втором динамометре подвешено вращающееся кольцо. Вся масса кольца сосредоточена на ободе.
Полная энергия вращающегося кольца равна энергии гири $E$.
Ось вращения кольца совпадает с вертикалью. Величина окружной скорости кольца равна $u$.

Опыт 1.

Поместим кабину в однородное гравитационное поле.
Направление ускорения свободного падения пусть совпадает с вертикалью.

$g$ - величина ускорения свободного падения.

Величина силы тяжести для гири : $F=gE/c^2$.

Величина силы тяжести для кольца : $F=gE(1+u^2/c^2)/c^2$.

См. формулу (8.1), из статьи Л.Б.Окуня: Понятие массы. ( Масса.Энергия.Относительность.)

Опыт2.

Поместим кабину в ускоренную СО.
Направление ускорения кабины пусть совпадает с вертикалью.

$g$ - величина собственного ускорения кабины.

Величина силы инерции для гири : $F=gE/c^2$.

Величина силы инерции для кольца : $F=gE/c^2$.

См. преобразование импульса в СТО, при переходе из одной ИСО в другую.

Видим, что инертная масса кольца меньше его гравитационной массы.
Т.о. ускорение свободного падения кольца в гравитационном поле будет: $a=g(1+u^2/c^2)$

Т.о. если отцепить одновременно гирю и кольцо от своих динамометров,
( предполагаем что вертикальные координаты одинаковые) то в НСО гиря и кольцо одновременно
достигнут пола кабины, а в гравитационном поле кольцо обгонит гирю.

Значит, имея два динамометра, гирю и вращающееся кольцо, мы сможем отличить нахождение кабины в
НСО от нахождения ее в гравитационном поле,
и сможем отличить свободное падение кабины в гравитационном поле, от нахождения
ее в ИСО, вдали от гравитирующих объектов.

Где ошибка в расчетах? Или нет ошибки?

[bocharov]

Z.S. в сообщении #743907 писал(а):

Допустим, у нас имеется закрытая кабина. Имеется разметка : вертикаль и горизонталь.
В кабине - два динамометра. С их помощью мы можем измерять силы в направлении вертикали.
На одном подвешена гиря массой так, что полная энергия гири .
На втором динамометре подвешено вращающееся кольцо. Вся масса кольца сосредоточена на ободе.
Полная энергия вращающегося кольца равна энергии гири .
Ось вращения кольца совпадает с вертикалью. Величина окружной скорости кольца равна .

Опыт 1.

Поместим кабину в однородное гравитационное поле.

Z.S. в сообщении #743907 писал(а):

Где ошибка в расчетах? Или нет ошибки?

Вы до помещения в поле,уже подразумеваете его-откуда у Вас подвешивание,вертикаль и т.п.

[Munin]

Формулу (8.1) вы использовали неправильно: в неё необходимо подставлять не $E$ кольца, а массы частиц, составляющие кольцо, то есть $E\sqrt{1-u^2/c^2}.$ Но полностью проблемы это не снимает...

[Tim]

Величина силы инерции для вашего кольца, будет больше чем для гири. До начала движения скорость гири ноль, а части кольца уже имеют скорость. При ускорении, скорость частей кольца будет больше чем гири относительно движения. СТО чем ближе скорость к световой, тем труднее толкать)

[Munin]

Это всё уже учтено.

[Tim]

Упс, извините, не вник в вопрос

Z.S. в сообщении #743907 писал(а):

Т.о. если отцепить одновременно гирю и кольцо от своих динамометров,
( предполагаем что вертикальные координаты одинаковые) то в НСО гиря и кольцо одновременно
достигнут пола кабины, а в гравитационном поле кольцо обгонит гирю.

Перечитал Окуня, не понял какой причине "Бессмысленно говорить о гравитационной массе фотона, если для вертикально падаю­щего фотона эта величина в два раза меньше, чем для летящего горизонтально."

[Z.S.]

Tim

Эта причина, как мне кажется, состоит из трех частей:

1. Фотон - безмассовая частица.
2. Масса , по определению - инвариант, скаляр.
3. Величина силы тяжести рассчитанная для фотона, зависит от направления,
и максимум от минимума отличается в два раза.

Находясь в кабине, можно выделить некоторый объем, достаточно малый
для того, чтобы физические свойства данного объема ( материи в нем),
можно было считать одинаковыми во всем этом объеме, и достаточно
большим для того, чтобы пренебречь флуктуациями.

Зная тензор энергии-импульса для нашего объема, можно определить инертные и
гравитационные свойства материи, содержащейся в заданном объеме.

Я вижу, что:

1. инертные свойства зависят от от двух вещей - энергии и давления : скаляр _ тензор ;
2. гравитационные свойства зависят от трех вещей - энергии, импульса, давления : скаляр _ вектор _ тензор ;
Т.о. инертные и гравитационные свойства нашего объема описываются симметричными тензорами второго ранга.
Каждое свойство - своим тензором.

Соответственно, я не наблюдаю здесь симметрии между инертными и гравитационными свойствами.
Насколько правомерным тогда считать введение кривизны в ОТО на основании не существующей симметрии.
С другой стороны, наличие кривизны пространства-времени вблизи тяготеющих масс есть факт природы.
Возможно - ли, что введение кривизны пространства-времени в ОТО нужно обосновывать другой причиной (симметрией)?
Почему фотон движется по геодезической?

[Munin]

Z.S.
Для начала, почитайте учебники по поводу симметрии, и что и как на основании неё вводится. Например, хорошее изложение в Вайнберг "Гравитация и космология", про принцип эквивалентности.

Инертные свойства вообще ни от каких вещей не зависят, а выражаются в том, что всё в свободном падении движется по геодезическим.

Ускорение свободного падения происходит не из-за кривизны пространства-времени, а из-за аффинной связности - символов Кристоффеля, в большинстве изложений. Кривизна при этом может присутствовать или не присутствовать, и измеряется более тонкими измерениями - измеряющими приливные силы. И она стоит в стороне от принципа эквивалентности, то есть, он выполняется с точностью меньшей, чем вклад кривизны. Например, в ускоренном лифте кривизна равна нулю, а в лаборатории на поверхности планеты - нет.

[Z.S.]

Как Вы считаете:
Вращающееся кольцо в моем примере, в свободном падении по вертикали, движется по геодезической?
Или по экстремальной но не геодезической?

Про симметрии. Забыть и выкинуть. Неудачно сформулировал.

Вот у нас кабина. Наши два динамометра. И акселерометр, один на двоих.
Гиря. Вращающееся кольцо.

Выделим один объем, охватывающий гирю.
Выделим второй объем, охватывающий кольцо.

Мы, исходя из показаний акселерометра и значений тензора энергии-импульса в
точках выделенного объема, можем рассчитать силу, которую покажет динамометр
в различных ситуациях.


То бишь. Находясь в кабине, можно выделить некоторый объем, достаточно малый
для того, чтобы физические свойства данного объема ( материи в нем),
можно было считать одинаковыми во всем этом объеме, и достаточно
большим для того, чтобы пренебречь флуктуациями.

Зная тензор энергии-импульса для нашего объема, можно найти "инертную" и
"пассивную гравитационную" массу для материи, содержащейся в заданном объеме.
(естественно, что такой подсчет отражает точку зрения наблюдателя в кабине)
Чтобы найти "инертную массу", надо будет учесть плотность энергии и тензор натяжений.
Чтобы найти " пассивную гравитационную массу" надо будет учесть плотность энергии, плотность импульса,
тензор натяжений.

Если кабина движется не по геодезической, то пробное тело подвешенное на динамометре
даст соответствующую реакцию - динамометр покажет силу. Т.е., как я понимаю это реактивная сила -
реакция пробного тела на негеодезическое движение. Вот например в ракетном двигателе,
молекулы газа ускоряются при столкновении со стенками сопла, и создают силу тяги - реактивную силу.
Т.о. под инертными и гравитационными свойствами я подразумевал способность пробного тела
воздействовать на динамометр тогда, когда кабина, и соответственно пробное тело вместе с ней
движется не по геодезической (например кабина покоится на поверхности планеты).
Здесь пробное тело - обычная гирька.

Где-то я видел утверждение, что на основании принципа эквивалентности,
гравитационное взаимодействие вводится путем замены плоской метрики Минковского,
на метрику с кривизной, в соответствующих лагранжианах .

[epros]

Z.S. в сообщении #745248 писал(а):

Как Вы считаете:
Вращающееся кольцо в моем примере, в свободном падении по вертикали, движется по геодезической?
Или по экстремальной но не геодезической?

Вращающееся кольцо в гравитационном поле некоторого специального вида может двигаться не по геодезической. Но это — не случай Вашего лифта, когда кроме ускорения свободного падения никаких других компонентов у гравитации нет.

[Munin]

Z.S. в сообщении #745248 писал(а):

Как Вы считаете:
Вращающееся кольцо в моем примере, в свободном падении по вертикали, движется по геодезической?
Или по экстремальной но не геодезической?

Оно должно двигаться по геодезической. Но по другому расчёту выходит не так, значит, где-то в нём ошибка. Я пока не взялся разобраться, где.

Z.S. в сообщении #745248 писал(а):

Где-то я видел утверждение, что на основании принципа эквивалентности,
гравитационное взаимодействие вводится путем замены плоской метрики Минковского,
на метрику с кривизной, в соответствующих лагранжианах .

В том же Вайнберге, уверен, можете это найти.

[Denis Russkih]

Munin в сообщении #745260 писал(а):

Оно должно двигаться по геодезической. Но по другому расчёту выходит не так, значит, где-то в нём ошибка. Я пока не взялся разобраться, где.

А вдруг там не ошибка, а СОТРЯСЕНИЕ ОСНОВ!!!!111 :)

Честно говоря, впервые вижу, чтобы здесь человеку не смогли сразу указать, в чём именно заключается ошибка. Обычно возникают сложности лишь с донесением мысли до адресата.

[SergeyGubanov]

Z.S. в сообщении #745248 писал(а):

Как Вы считаете:
Вращающееся кольцо в моем примере, в свободном падении по вертикали, движется по геодезической?
Или по экстремальной но не геодезической?

По геодезическим летают только свободные точечные частицы. Решение этой задачи надо начать с написания действия для этого кольца (нужен Лагранжиан вращающегося кольца в гравитационном поле). Далее выводите уравнения Эйлера-Лагранжа и изучаете по какой траектории полетит это кольцо.

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #745362 писал(а):

Честно говоря, впервые вижу, чтобы здесь человеку не смогли сразу указать, в чём именно заключается ошибка.

Да, это печально, что глубоких вопросов мало.

Ну и, честно говоря, мне лень. В последние дни другого навалилось. А Someone, epros, Алия чем-то другим заняты.

SergeyGubanov в сообщении #745369 писал(а):

По геодезическим летают только свободные точечные частицы.

Не только. Геодезические управляют и всеми другими физическими явлениями. В частности, и неточечное свободное тело будет двигаться по геодезическим, если это не вызовет в нём внутренних деформаций (а здесь не вызовет).

SergeyGubanov в сообщении #745369 писал(а):

Решение этой задачи надо начать с написания действия для этого кольца (нужен Лагранжиан вращающегося кольца в гравитационном поле). Далее выводите уравнения Эйлера-Лагранжа и изучаете по какой траектории полетит это кольцо.

Довольно глупый совет. Вы сами-то справитесь реализовать эту программу? Для начала, какие у кольца степени свободы?

[Tim]

В седьмой главе Окунь, рассматривая связь между силой и ускорением в ТО, легко получил, что если $\vec{F}\bot\vec{v}$, то $\vec{F}=m\gamma\vec{a}$, если же $\vec{F}\parallel\vec{v}$, то $\vec{F}=m\gamma^3\vec{a}$
Беда, что я тупой, что значит $\gamma$? $\sqrt{1-v^2/c^2}$ ?