Сжатие контура "бегущей нити".

[dovlato]

Однородная нерастяжимая нить, "бегущая" вдоль себя, образует плоский контур. Кинетическая энергия нити $E_0$.
Внешние силы деформируют контур так, что его плоскость сохраняется, а площадь уменьшается в $k$ раз.
Трение отсутствует. Найти работу, затраченную на деформацию контура.

[Oleg Zubelevich]

мне было бы интересно посмотреть на решение

[tola]

Уж не из ЕГЭ ли эта задача? Там хватает "умельцев"!

[dovlato]

tola в сообщении #717351 писал(а):

Уж не из ЕГЭ ли эта задача? Там хватает "умельцев"!

- Нет, из меня. Кстати, моё давнее ощущение - что в ЕГЭ физику пишут не совсем те люди. Лучше бы были из физтеха или Новосибирска, например.

[tola]

(Оффтоп)

dovlato в сообщении #717356 писал(а):

ЕГЭ физику пишут не совсем те люди

те - не люди

[romka_pomka]

$(k-1)\, E_0$

[dovlato]

Oleg Zubelevich в сообщении #717343 писал(а):

мне было бы интересно посмотреть на решение

Надо же людям дать высказаться.

[dovlato]

Условие задачи требуется дополнить. Например, достаточно потребовать, чтобы суммарный момент внешних сил был равен нулю.

[dovlato]

Возможное решение.
Результирующую внешних сил, естественно, полагаем равной нулю. Поэтому центр масс нити остаётся неподвижным;
пусть он находится в начале координат. Найдём момент импульса нити

$$\vec M=\int{[\vec r,\vec v]dm}=\rho v \int[\vec r,\vec dl]=2\rho v\vec S$$

Здесь $ \vec S=\frac{1}{2}\int[\vec r,\vec dl]$ - вектор, перпендикулярный плоскости контура, с модулем, равным площади контура.
Квадрат момента импульса

$$M^2=4\rho^2v^2S^2=8\rho \left(\rho L\frac{v^2}{2}\right)\frac{S^2}{L}=\frac{8\rho}{L}E S^2$$

Здесь $E$ - кинетическая энергия нити, $L$ - её длина. Так как, в соответствии с условием задачи, $\vec M=\operatorname{const}$, то

$$E S^2=\operatorname{const}$$

Искомая работа $A$, очевидно, равна разности конечного и начального значений кинетических энергий. Получаем

$$A=E_0(k^2-1)$$

где $E_0$ - начальное значение кинетической энергии, $k$ - отношение площадей.

[nikvic]

Стал быть, как с двумя равными космонавтами и верёвкой между ними, которой они подтягиваются друг к другу

[dovlato]

nikvic в сообщении #718165 писал(а):

Стал быть, как с двумя равными космонавтами и верёвкой между ними, которой они подтягиваются друг к другу

Видимо, можно сказать больше - между любыми двумя различающимися людьми))..

[Oleg Zubelevich]

хорошая задача, мне следовало догадаться, теорема площадей фактически

[dovlato]

Oleg Zubelevich в сообщении #718196 писал(а):

хорошая задача, мне следовало догадаться, теорема площадей фактически

Тут, кстати, на основе $ES^2=\operatorname{const}$ можно придумать немало задач типа вопросов, до какого предела
может быть сжат контур при тех или иных условиях сжатия.
Интересная, но трудная задача - определить установившуюся форму контура под действием собственного веса,
хотя бы при больших скоростях нити. Это как раз будет известная задача П. Капицы о мягком колесе,
катящемся по горизонтальной плоскости.

[romka_pomka]

имел ввиду то же решение, ошибся в вычислении момента импульса (просто на размерность смотрел: $M\sim vr \sim v \sqrt{S}$ - бежал, торопился и споткнулся)

[nikvic]

dovlato в сообщении #718201 писал(а):

Это как раз будет известная задача П. Капицы о мягком колесе,

Помню демонстрационный опыт: кольцо из цепочки раскручивается на шкиве и линейкой сбрасывается на пол. Змея-кольцо

Можно подумать о задачке с "граничными" условиями. Нить выбрасывается из начала координат с заданным вектором скорости и "пропадает" в известной точке с той же скоростью.
Какие формы реализуются?
Уже говорил про антенну на этой идее...

Для нулевой скорости известно - гип. косинус.