2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение29.04.2013, 13:45 
Однородная нерастяжимая нить, "бегущая" вдоль себя, образует плоский контур. Кинетическая энергия нити $E_0$.
Внешние силы деформируют контур так, что его плоскость сохраняется, а площадь уменьшается в $k$ раз.
Трение отсутствует. Найти работу, затраченную на деформацию контура.

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение29.04.2013, 17:52 
мне было бы интересно посмотреть на решение

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение29.04.2013, 18:20 
Уж не из ЕГЭ ли эта задача? Там хватает "умельцев"!

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение29.04.2013, 18:27 
tola в сообщении #717351 писал(а):
Уж не из ЕГЭ ли эта задача? Там хватает "умельцев"!

- Нет, из меня. Кстати, моё давнее ощущение - что в ЕГЭ физику пишут не совсем те люди. Лучше бы были из физтеха или Новосибирска, например.

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение29.04.2013, 18:43 

(Оффтоп)

dovlato в сообщении #717356 писал(а):
ЕГЭ физику пишут не совсем те люди

те - не люди :-)

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение29.04.2013, 19:52 
$(k-1)\, E_0$

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение29.04.2013, 20:34 
Oleg Zubelevich в сообщении #717343 писал(а):
мне было бы интересно посмотреть на решение

Надо же людям дать высказаться.

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение30.04.2013, 11:45 
Условие задачи требуется дополнить. Например, достаточно потребовать, чтобы суммарный момент внешних сил был равен нулю.

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение01.05.2013, 10:55 
Возможное решение.
Результирующую внешних сил, естественно, полагаем равной нулю. Поэтому центр масс нити остаётся неподвижным;
пусть он находится в начале координат. Найдём момент импульса нити$$\vec M=\int{[\vec r,\vec v]dm}=\rho v \int[\vec r,\vec dl]=2\rho v\vec S$$ Здесь $ \vec S=\frac{1}{2}\int[\vec r,\vec dl]$ - вектор, перпендикулярный плоскости контура, с модулем, равным площади контура.
Квадрат момента импульса $$M^2=4\rho^2v^2S^2=8\rho \left(\rho L\frac{v^2}{2}\right)\frac{S^2}{L}=\frac{8\rho}{L}E S^2$$
Здесь $E$ - кинетическая энергия нити, $L$ - её длина. Так как, в соответствии с условием задачи, $\vec M=\operatorname{const}$, то$$E S^2=\operatorname{const}$$ Искомая работа $A$, очевидно, равна разности конечного и начального значений кинетических энергий. Получаем $$A=E_0(k^2-1)$$ где $E_0$ - начальное значение кинетической энергии, $k$ - отношение площадей.

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение01.05.2013, 11:34 
Аватара пользователя
Стал быть, как с двумя равными космонавтами и верёвкой между ними, которой они подтягиваются друг к другу :wink:

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение01.05.2013, 11:40 
nikvic в сообщении #718165 писал(а):
Стал быть, как с двумя равными космонавтами и верёвкой между ними, которой они подтягиваются друг к другу :wink:

Видимо, можно сказать больше - между любыми двумя различающимися людьми))..

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение01.05.2013, 12:48 
хорошая задача, мне следовало догадаться, теорема площадей фактически

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение01.05.2013, 13:05 
Oleg Zubelevich в сообщении #718196 писал(а):
хорошая задача, мне следовало догадаться, теорема площадей фактически

Тут, кстати, на основе $ES^2=\operatorname{const}$ можно придумать немало задач типа вопросов, до какого предела
может быть сжат контур при тех или иных условиях сжатия.
Интересная, но трудная задача - определить установившуюся форму контура под действием собственного веса,
хотя бы при больших скоростях нити. Это как раз будет известная задача П. Капицы о мягком колесе,
катящемся по горизонтальной плоскости.

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение01.05.2013, 13:41 
имел ввиду то же решение, ошибся в вычислении момента импульса (просто на размерность смотрел: $M\sim vr \sim v \sqrt{S}$ - бежал, торопился и споткнулся)

 
 
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение01.05.2013, 13:51 
Аватара пользователя
dovlato в сообщении #718201 писал(а):
Это как раз будет известная задача П. Капицы о мягком колесе,

Помню демонстрационный опыт: кольцо из цепочки раскручивается на шкиве и линейкой сбрасывается на пол. Змея-кольцо :wink:

Можно подумать о задачке с "граничными" условиями. Нить выбрасывается из начала координат с заданным вектором скорости и "пропадает" в известной точке с той же скоростью.
Какие формы реализуются?
Уже говорил про антенну на этой идее...

Для нулевой скорости известно - гип. косинус.

 
 
 [ Сообщений: 64 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group