2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение16.05.2013, 12:23 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Уважемая lucien, прошу принять мои извинения за резкости и, .. ну, короче, за всё)).
На самом деле, я искренне благодарен Вам за умение видеть и за прояснение ситуации.
Естественно, и nikvik также. Тем паче, что он и является истинным автором модели, названной мной бегущей нитью.
В целом же для меня это было интеллектуальным приключением. Кстати, которое так и не получило завершения в виде уравнений и их решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение16.05.2013, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
dovlato в сообщении #724553 писал(а):
В целом же для меня это было интеллектуальным приключением. Кстати, которое так и не получило завершения в виде уравнений и их решения.

А давайте замутим тему, о которой я говорил как об "антенне". Именно, (плоская) нить, бегущая из точки А в точку В в поле сил тяжести.

Локально - трубочка, кусочек дуги, дана скорость/плотность, найти нормальное усилие и приравнять его нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение16.05.2013, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Там должен получиться дифур 3-го порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение17.05.2013, 15:32 


01/03/11
495
грибы: 12
dovlato в сообщении #724044 писал(а):
Ну хорошо, допустим, что при деформации момент импульса НЕ сохраняется.
Детский вопрос: а куда он девается, если момент внешних сил равен нулю?!
Если lucien права - то, значит, таких деформирующих сил ваще нет..
но если деформирующие силы есть, то это не значит что кто-то неправ. Хехе.

Ну да: увеличили у кусочка контура тангенциальную скорость, но тут же уменьшили ему радиус-вектор. Почему момент импульса должен не сохраниться?!

И разгон кругового контура тут кажется не при чём. Неужели будем удивляться, что раскручивая педалями велосипедное колесо, получаем несохранение момента импульса и энергии у колеса?

У нас же не всегда круг, где $dl=rd\varphi$. У нас ситуация более общая: $dl=\sqrt{(rd\varphi)^2+(dr)^2}=d\varphi\sqrt{r^2+(r'_{\varphi})^2}$. Вот и получается, что сначала потребовали, чтоб круглый контур не сжимался ($dl\equiv rd\varphi$), а потом получили, что он не сжимается.

Да и вообще говоря, почему у нас вектор скорости всегда должен только по касательной к контуру быть направлен? Требование нерастяжимости удовлетворится одинаковостью вдоль контура всего только касательной компоненты скорости, но про поперечную скорость - оно, это требование, не в курсе. Стационарность зато в курсе. Опять выходит: хотим только касательную скорость - никакого контура не сожмем.

Ну то есть сами себе понаставили условий: завязали рукава у рубашки двойным узлом, а потом удивляемся, что надевается плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение21.05.2013, 14:52 
Заблокирован


30/07/09

2208
dovlato в сообщении #724044 писал(а):
Ну хорошо, допустим, что при деформации момент импульса НЕ сохраняется.
Детский вопрос: а куда он девается, если момент внешних сил равен нулю?!
Если lucien права - то, значит, таких деформирующих сил ваще нет..
Может, кто объяснит. Я правда не понимаю.
dovlato Предлагаю Вам решить задачу попроще. Вращаются два шарика с одинаковой массой связанные нитью. В момент времени $t=t_0$ нить начала равномерно сокращаться (неважно по какой причине).
Поскольку сила натяжения нити центральна (проходит через ц.м. - центр вращения) эта сила не может изменить момент импульса. Но, после того, как нить начала сокращаться, мы уже не можем говорить о том, что сила натяжения нити нормальна к траектории движения шарика. Она была нормальна, когда шарик двигался по окружности, но теперь шарик движется по спирали, т.к. нить сокращается!
Теперь, сила натяжения нити имеет касательную составляющую к траектории. Вот эта касательная составляющая силы и приводит к увеличению скорости движения шарика.
Та же самая ситуация возникает когда мы сжимаем кольцо вращающейся цепи гладкими прямолинейными направляющими.
Поскольку, гладкая направляющая движется к центру колца, то элемент цепи движется не только вдоль направляющей, но ещё и к центру. Таким образом получается, что траектория элемента цепи составляет угол с радиус-вектором из центра отличный от прямого, и сжимающая сила ускоряет движение цепи, при этом кинетическая энергия возрастает, а момент импульса не изменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение22.05.2013, 16:31 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Можно посмотреть, как распространяются по нити малые деформации.
Пусть контур нити представляет собой окружность радиуса $R=\frac L{2\pi }$, где $L$- длина нити. Перейдем в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью $\omega =\frac vR$ относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости контура.
В новой системе координат нить неподвижна и растянута центробежными силами. Сила натяжения нити равна $T=\rho v^2$. Будем считать деформации контура $u(s,t)$ малыми и направленными вдоль радиуса окружности (здесь $s$-натуральный параметр т.е. длина отсчитываемая от фиксированной точки контура, $t$- время). Таким образом $r(s,t)=R+u(s,t)$ ($r(s,t)$- расстояние точки контура от центра окружности). Пренебрегая силой Кориолиса и действуя также как при выводе уравнения колебаний струны, получим уравнение для малых деформаций контура $$u_{tt}=\frac T{\rho }u_{xx}+\omega ^2u \qquad (1)$$
Последнее слагаемое в уравнении (1) появляется потому, что центробежная сила зависит от расстояния до центра окружности. Для упрощения задачи выберем (при фиксированной скорости $v$) длину нити настолько большой, что можно было пренебречь последним слагаемым в уравнении (1). Тогда для малых деформаций контура получим обычное волновое уравнение со скоростью распространения деформаций $v_{d}=\sqrt {\frac T{\rho }}=v$, т.е. деформации в контуре распространяются со скоростью движения нити в исходной системе.
Рассмотрим пример. В нашей новой системе координат слегка деформируем контур нити с двух диаметрально противоположных направлений (чтобы не менять положение центра масс), например, с помощью двух одинаковых цилиндров небольшого радиуса,перпендикулярных плоскости контура. Получим некоторое равновесное положение контура. Затем быстро уберем цилиндры. От каждого из двух участков деформации в противоположных направлениях со скоростью $v$ побегут волны деформации (формула Даламбера).
Если вернуться в исходную систему координат, то мы увидим два неподвижных деформированных участка контура, от которых со скоростью $2v$ движутся деформированные участки такой же формы, что и неподвижные. Вся картина будет периодически повторяться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение22.05.2013, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
mihiv в сообщении #727087 писал(а):
Рассмотрим пример. В нашей новой системе координат слегка деформируем контур нити с двух диаметрально противоположных направлений (чтобы не менять положение центра масс), например, с помощью двух одинаковых цилиндров небольшого радиуса,перпендикулярных плоскости контура. Получим некоторое равновесное положение контура. Затем быстро уберем цилиндры. От каждого из двух участков деформации в противоположных направлениях со скоростью $v$ побегут волны деформации (формула Даламбера).
Если вернуться в исходную систему координат, то мы увидим два неподвижных деформированных участка контура, от которых со скоростью $2v$ движутся деформированные участки такой же формы, что и неподвижные. Вся картина будет периодически повторяться.

Ничего никуда не побежит - форма будет сохраняться, какой бы причудливой её не имели в качестве "равновесной".

Для того, чтобы побежало, нужно ударить, придав какому-дибо участку поперечную скорость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение22.05.2013, 17:06 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
nikvic в сообщении #727096 писал(а):
.

Для того, чтобы побежало, нужно ударить, придав какому-дибо участку поперечную скорость.

Обратите внимание, что цилиндры, с помощью которых производится деформация, неподвижны во вращающейся системе, а в исходной системе они движутся по окружности со скоростью $v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение22.05.2013, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Тогда непонятно, что есть равновесное положение контура.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение22.05.2013, 18:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
nikvic в сообщении #727136 писал(а):
Тогда непонятно, что есть равновесное положение контура.

Имеется в виду новая слегка деформированная форма контура во вращающейся системе координат (контур в ней неподвижен).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение22.05.2013, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
mihiv в сообщении #727139 писал(а):
nikvic в сообщении #727136 писал(а):
Тогда непонятно, что есть равновесное положение контура.

Имеется в виду новая слегка деформированная форма контура во вращающейся системе координат (контур в ней неподвижен).

Ага, теперь понятно. В ней - массовые силы (центробежка), и для начала получается что-то вроде пары цепных линий после "успокоения".
Однако для их "согласования" придётся, наверное, раздвигать петлю, а не сжимать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение22.05.2013, 18:45 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
nikvic в сообщении #727145 писал(а):
Однако для их "согласования" придётся, наверное, раздвигать петлю, а не сжимать.

Т.к. получилось волновое уравнение, то это, видимо, непринципиально. Деформации распространяются независимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение22.05.2013, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Изначально речь идёт о стационарности с применением цилиндров. Как мне видиться, она невозможна для для сжимающих.

Пока вообще неясна устойчивость, и говорить о волновом уравнении рановато

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение29.05.2013, 14:50 
Заблокирован


30/07/09

2208
Сдулись...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжатие контура "бегущей нити".
Сообщение03.06.2013, 14:29 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
anik в сообщении #729974 писал(а):
Сдулись...

А я так ничего и не понял. И прежде всего я не понял, есть ли удерживающие силы, поддерживающие "бегущую нить" в заданном состоянии формы контура.

С одной стороны, например, nikvic писал: "Ничего никуда не побежит - форма будет сохраняться, какой бы причудливой её не имели в качестве "равновесной".", так что вроде как удерживающих сил не требуется.
С другой стороны, я не увидел опровержения рассуждения lucien: "Давайте медленно расширять контур назад, в первоначальное положение. Для этого требуется совершить работу (положительную! ведь для удержания контура внешних сил не требуется). В итоге, виток возвращается в исходное состояние, а мы дважды совершили положительную работу".

Единственное опровержение видится в том, что для увеличения площади контура необходимо приложить отрицательную силу, которая и поглотит выделяющуюся энергию, но это у меня в голове не укладывается.

Чтобы не беспокоить зря уважаемых людей своми сомнениями, может быть кто-нибудь даст ссылку на описание этого удивительного объекта: "бегущая нить"?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group