Методика преподавания полярной системы координат

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #716471 писал(а):

нет, оно (с формальной точки зрения) категорически неверно. Хотя бы потому, что отсчитывается от некоей выделенной точки

Я думаю, что каждый в состоянии произнести полную фразу "расстояние от начала координат", и подозревать своих собеседников в неспособности это сделать - неуместно.

[profrotter]

(Оффтоп)

Предлагал просто дать другое название, коль скоро Shtorm считает своим долгом рассказать о системе с отрицательным $r$

[GAA]

profrotter, предложение привести примеры относится не только к Вам. Да и Вы не спешите с ответом, может, что-то вспомните. А названия «обобщенная», «модифицированная» и т.д. и т.п. уже заняты под другие немного более важные и содержательные системы координат. Вспомните хотя бы Сборник задач Демидовича или третий том Фихтенгольца («обобщенное полярное преобразование», которое в Ильине — Позняке называется просто сферической системой координат в n-мерном пространстве.). Тут на каждую модификацию замучаешься придумывать название. Куда полезней привести поучительные примеры.

[Shtorm]

Уважаемые участники форума!
Меня осенило только сегодня утром: ведь "Розы" - это кривые, которые имеют также название "кривые Гвидо Гранди" и эти розы описаны и исследованы уже давным давно этим учёным. Так вот один из способов построения и описания этих крвых - это так называемый "кинематический способ". То есть: берём прямолинейный отрезок и совмещаем его с полярной осью так, чтобы середина отрезка совпадала с полюсом. Размещаем на этом отрезке точку. Эта точка совершает гармонические колебания, скользя по отрезку с определённой частотой. При этом отрезок начинает равномерно вращаться относительно полюса. В результате, точка описывает траекторию, которая и будет являться "розой". Таким образом, в уравнении:

$$r=a\sin(k\varphi)$$

$k$ - будет частотой колебания точки. Не трудно теперь установить, что если $k$ - чётно, то лепестков будет ровно $2k$.

Таким образом, $2k$-лепестковость обусловлена изначально самим типом данной кривой.

Я правильно рассуждаю?

(конечно осенило - не то что озарило прям, я прочитал про Гвидо и кинематический способ вечером в Савёлове, но одно дело прочитать, а другое....так вот осмыслил - только утром)

[Алексей К.]

Shtorm,

очевидно же, что любая роза типа $$r=a\sin k\varphi$ с целым $k$ является $2k$-лепестковой $(0\le\varphi\le2\pi)$. Просто при нечётных $k$ лепестки накладываются (проходятся дважды). Чтобы увидеть это, сделайте константу $a$ слабо меняющейся функцией угла, типа $a=50+2\varphi$:

Кривые исследованы в 2013 году в лаборатории курвологии форума dxdy. Публикуется впервые.
(Dotted lines --- лепестки, проходимые с отрицательным "полярным радиусом").

(Code.eps)

%!PS-Adobe-2.0
%%BoundingBox: 0 0 770 182
/a0 70 def
/Rad 3.14159 180 div def
/Polar {2 copy cos mul 3 1 roll sin mul} bind def
   
/Helvetica findfont 14 scalefont setfont
a0 1.1 mul dup 15 add translate 1 setlinecap 

[1 2 3 4 5] {%
   /k exch def
   gsave .2 setlinewidth a0 neg 0 moveto a0 0 lineto 0 a0 neg moveto 0 a0 lineto stroke
      1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto 
      0 1 360 {%
        dup dup Rad mul 2 mul a0 add 1 index k mul sin mul exch Polar lineto
        k mul dup 1 add sin exch 180 mod 0 eq {%
          stroke [ exch 0 lt {0 3 1.8 mul 1.8}{.6} ifelse setlinewidth] 0 setdash 0 0 moveto
        }{pop} ifelse
      } for 
   0 0 1 setrgbcolor 2 a0 2 div moveto (k=) show k 3 string cvs show
   grestore
   a0 2.2 mul 0 translate
} forall

[Shtorm]

Алексей К., спасибо за Ваши труды.
Таким образом, можно ли сказать, что отрицательный полярный радиус при построении кривых Гвидо Гранди обусловлен самим механическим смыслом данных кривых?

[Алексей К.]

Что касается меня, то для меня это слишком сложный вопрос.

[Shtorm]

Рассуждаем далее:
Многие высказывались о том, что использование отрицательного полярного радиуса создаёт неудобство из-за неоднозначности соответствия точки на плоскости и пары значений $(\varphi, \rho)$. Как мы видим, кинематическое описание "розы", имеющей нечётный коэффициент $k$ перед аргументом синуса или косинуса предполагает прохождение дважды любого из лепестков. Это просто механическое движение точки по одной и той же траектории. Никакого неудобства с физической точки зрения это не вызывает. Переходя теперь от физического смысла к чистой математике, видим, что использование отрицательного полярного радиуса просто напросто - воплощает механику движения в математическое (координатное) описание и всё. В чём же здесь неудобство? Я подчеркну, что веду речь пока только о построении полярной кривой. С точки зрения построения и таблиц значений $(\varphi, \rho)$ ничего страшного, что некоторые точки на плоскости будут описываться не одной парой полярных координат, а двумя. А полюс - так не двумя, а большим количеством.

Как прекрасно на этом примере видно, что математика в данном случае выступает просто в качестве удобного аппарата для механики. Почему же многие против многозначности задания точки на плоскости в данном случае? Самое главное, что эту точку можно задать.

Идём далее.
Находим площадь фигуры, заданной полярным уравнением. Для этого интегрируем по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}[\rho(\varphi)]^2d\rho$$

Тоже нет никаких неудобств.
Правильно рассуждаю?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #720951 писал(а):

Находим площадь фигуры, заданной полярным уравнением.

Что такое "площадь фигуры, заданной полярным уравнением" я тоже не понимаю. Ну, для $r=\operatorname{const}$ могу что-то представить (и, соответственно, поправить Ваш косноязычный текст), но для архимедовой, или, скажем, логарифмической спирали пока не в состоянии оценить этот пассаж.
Не исключаю, что утром сумею.
Но если бы Вы научились точности выражений, принятой в этой дурацкой науке, то, глядишь, я бы и ночью разобрался.

-- 08 май 2013, 01:12:22 --

Shtorm в сообщении #720951 писал(а):

Для этого интегрируем по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}[\rho(\varphi)]^2d\rho$$

Вау, у Вас площадь в кубометрах получается! Не, даже с утра не буду разбираться. Это превосходит мои возможности.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #720978 писал(а):

Что такое "площадь фигуры, заданной полярным уравнением" я тоже не понимаю

Да...что-то с у меня не заладилось с точностью высказываний. Конечно нужно было написать: площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной полярным уравнением.

-- Ср май 08, 2013 00:25:02 --

Алексей К. в сообщении #720978 писал(а):

Вау, у Вас площадь в кубометрах получается!

Глубоко извиняюсь, но это просто опечатка:

$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}[\rho(\varphi)]^2d\varphi$$

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #720984 писал(а):

Конечно нужно было написать: площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной полярным уравнением.

Уж это-то я сумел бы вообразить. Но с типовыми кривыми (выше названными) и это не помогает.

-- 08 май 2013, 01:32:44 --

А, понял недосказанное: "рассматриваются только такие кривые, которые ограничивают замкнутую фигуру" (ну, и, возможно, какие-то заикания про диапазоны переменных).
Лог. спираль, пошла ты в задницу отсюда!

[Shtorm]

Алексей К., обычно же как делают: считают площадь одного лепестка (или половины лепестка), а затем умножают на количество лепестков. Вопрос только в том был - а сколько именно лепестков? (если угол меняется от 0 до $2\pi$)
Ну, то есть сам для себя-то я даю ответ - сколько именно лепестков, так что вопрос, точнее утверждение обсуждаемое - "отрицательный полярный радиус тут не мешает". Вот.

[Алексей К.]

Ах, так Вы снова про свои розочки! А пишете про "... фигуры, заданной полярным уравнением".

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #720986 писал(а):

Лог. спираль, пошла ты в задницу отсюда!

Да, со спиралями, с улиткой Паскаля, имеющую внутреннюю петлю и другими подобными фигурами - требуется на рисунке заштриховать фигуру, площадь которой необходимо найти. А уже потом комбинировать интегралы, вычитая или складывая площади.
Ну, то есть речь сейчас идёт именно о том, что отрицательный полярный радиус не мешает нахождению площади фигур.

[Shtorm]

И в дополнение к сказанному:
Задача. Найти площадь замкнутой фигуры, ограниченной кривой $r=\sin2\varphi$. Студент смотрит подобные примеры в лекции (а в лекции только пример с лемнискатой Бернулли), видит, что сначала находят площадь половины лепестка с помощью интегрирования, затем умножив на два получают площадь всего лепестка, а затем умножают на количество лепестков. И тут студент впадает в ступор: а сколько лепестков у кривой $r=\sin2\varphi$? Он мучительно вспоминает, что в прошлом учебном году в курсе "Аналитической геометрии" препод что-то такое говорил....но с тех пор прошли бурные летние походы и жаркие романы, и из головы начисто выветрился смысл сказанного. И вот в этом году в курсе "Математического анализа" в теме "Определённый интеграл" уже другой препод сказал, ну мол вы уже знаете полярную систему координат и если требуется найти площадь, то используется такая-то формула и разобрал один пример. Всё на этом. Студент звонит своей подружке Лене из другого вуза, та ему говорит, конечно лепестков два - ведь отрицательный полярный радиус не может быть - нам так препод на лекции сказал. Затем студент звонит своей подружке Ольге из третьего вуза и та ему говорит, конечно лепестков 4 - нам так препод на лекции сказал. У студента есть ещё вариант, есть у него дальний родственник - суровый препод-математик, которого он побаивается. Но делать нечего, звонит ему, а тот и говорит, а всё зависит от того как преподаватель договорился с вами в своём курсе лекций, ведь на самом деле существуют два подхода к отрицательному полярному радиусу. Спроси своего преподавателя.
Студент опять в шоке Работу нужно уже сдавать завтра утром на первой паре, спрашивать преподавателя некогда!!!
Студент думает, как же ему выкрутится из ситуации. Думает, думает, страдает, страдает и вдруг его осеняет: а что, если я не буду отдельно находить площадь одного лепестка, а сразу найду площадь всей фигуры?

$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}[\sin(2\varphi)]^2d\varphi=\frac{\pi}{2} \ \text{кв. ед.}$$

Умолчим о концовке истории - то есть о том, зачёл преподаватель ему такой ответ или нет.

Так это я всё к чему написал-то: кинематическое описание кривых Гвидо Гранди соответствует подходу, учитывающему отрицательный полярный радиус, интегрирование вышеописанным методом - также автоматически учитывает отрицательный полярный радиус.
Таким образом, использование отрицательного полярного радиуса - создаёт гладкое непротиворечивое математическое описание для плоских кривых, начиная от их построения на рисунке и заканчивая нахождением площади фигуры или части фигуры.
И что нам волноваться о неоднозначном соответствии точки на плоскости и пары чисел $(\varphi, r)$, если уже изначально предполагается, что началу системы полярных координат соответствует бесконечное множество пар значений $(\varphi, r)$.
Ну разве я не прав?