Вариант проблемы Брокарда
Ограничимся пока простыми числами-близнецами и рассмотрим эту проблему
с помощью свойств ПСВ по модулю

.
Действительно, числа

являются вычетами этой ПСВ.
Между ними всегда существуют другие вычеты. Т.к. указанные числа квадраты
близнецов, то между ними обязательно есть один составной вычет
но остальные - простые числа.
Допустим, что их число равно 4.
На числовой оси это будет выглядеть так:

Это группа 7-го размера, которую надо проверять по критерю существования
по модулям

По модулю

проблем нет, но по модулям

возможны проблемы.
Чтобы избежать их, разделим эту группу на две смежные группы 4-го размера:
1)

,
2)

.
Эти группы достаточно проверить по критерию существования

только при

Необходимо заметить, что такое расположение вычетов возможно только
в ПСВ по модулю

т.к. при

вычет

находится за пределами ПСВ,
поэтому мы будем иметь в виду, что между квадратами чисел 3 и 5, 5 и 7
есть 5 и 6 простых чисел соответственно.
Теперь упростим задачу рассмотрением только группы 1),
т.е. оценкой числа простых чисел между

и

В этом случае под числами

можно понимать
не только числа близнецы и рассматривать их как вариант проблемы Брокарда,
который можно определить так:
"Между числами

и

всегда есть два простых числа".
Создадим группу вычетов из этих чисел, включая два простых числа

между ними.
![$D[4]=(p^2_{r+1},\; p_s,\;p_t,\; p_{r+1}\cdot p_{r+2})$ $D[4]=(p^2_{r+1},\; p_s,\;p_t,\; p_{r+1}\cdot p_{r+2})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/8/7687c89e604eee7d27caaef9119cbd2382.png)
Вычеты ПСВ из двух классов

.
Вычет

из класса

, остальные могут быть из разных классов.
Критерий существования групп в ПСВ

где

- число вычетов группы, сравнимых по модулю р.
Вычеты из одного класса (

) - сравнимы по модулю

Единственный случай, когда все вычеты группы могут быть из одного класса.
В этом случае

Во всех других случаях

т.е. в любом случае группа существует в ПСВ.
Таким образом, в любой ПСВ между вычетами

и

есть два простых числа.