Теорема о бегущей нити

[anik]

Важность в том, что сбегающая со шкива нить не может сразу начать двигаться прямолинейно, а делает дугу (если там нет прямолинейной направляющей). Так, сбегающая с горизонтального стола цепь, не начинает на краю стола сразу двигаться вертикально, какой бы вес свисающей части на неё ни давил. Даже если край стола дуга окружности, то цепь может её и не касаться. Эту задачу на форуме уже рассматривали.

[nikvic]

Omega в сообщении #714902 писал(а):

что мешает мне рассмотреть в этой же точке ещё более малый элемент, кривизна которого, несмотря на "скачок", в данных масштабах постоянна?

Так - не верно, но и необходимости нет: 2-й закон верен для среднего ускорения или, что то же самое, как закон изменения импульса.

[anik]

nikvic Вы хотите как раз существенный момент усреднить? Как бы с водой не выплеснуть ребёнка!

[Omega]

Я привёл доказательство для случая, когда цепь только что только слетела с направляющих и движется далее, а не для цепи, на которую каким бы то ни было образом действуют сторонние силы, вызывающие появления точек "сопряжения".
Над последней проблемой я пока думаю.

[anik]

Дело в том, что точка сопряжения "досталась по наследству" как раз после того момента, когда убрали направляющие.
Вы утверждаете, что точка сопряжения должна остаться навсегда.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Теорема:
Пусть тонкая однородная, мягкая на изгиб нить образует замкнутый контур.
Скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру и одинаковы по величине.
Тогда контур может сохранять свою форму и ориентацию.

Будем нумеровать точки на контуре параметром $s$. Движение точки $s$ зададим радиус-вектором $\overline r(s,t)$. . Тогда по условию

$$\lambda (s,t)\overline r_s(s,t)=\overline r_t(s,t),\quad |\overline r_t(s,t)|=v=const$$

Если нить нерастяжима, то не сужая общности можно считать, что $\lambda =const'\ne 0$. Тогда уравнение легко решается $\overline r=\overline r(s+\lambda t)$. Что и доказывает теорему. Кинематика какая-то. Только вместо слова "может" надо написать "будет"

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #715490 писал(а):

Что и доказывает теорему. Кинематика какая-то

До сих пор вы слышали о ней?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #715490 писал(а):

Если нить нерастяжима

А если не не?

[dovlato]

Zubelevich, по-моему, просто описал "бег" нерастяжимой нити вдоль себя. Если она, например, в гладкой трубке. Действительно, кинематика. Но задача-то состояла в другом: надо было убедиться, что в отсутствие всяких удерживающих трубок собственные силы натяжения бегущей нити не станут деформировать контур. И попутно определить, какова будет эта сила натяжения.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #715519 писал(а):

А если не не?

решите систему дифуров

Oleg Zubelevich в сообщении #715490 писал(а):

Тогда по условию

$$\lambda (s,t)\overline r_s(s,t)=\overline r_t(s,t)$$

методом характеристик при произвольном $\lambda$



совершенно аналогично обрабатывается чуть более общий случай : нить нерастяжима и пусть $|\overline r_t(s,t)|=v(t)$, тогда и $\lambda=\lambda(t)$ и $\overline r=\overline r\Big(s+\int_0^t\lambda(x)dx\Big)$. Вывод тот же

-- Пт апр 26, 2013 01:01:35 --

dovlato в сообщении #715525 писал(а):

по-моему, просто описал "бег" нерастяжимой нити вдоль себя. Если она, например, в гладкой трубке. Действительно, кинематика. Но задача-то состояла в другом: надо было убедиться, что в отсутствие всяких удерживающих трубок

а где я использовал удерживающие трубки?

[dovlato]

Трубка задана неявно, уже тем, что произвольная точка трубки - если я правильно понял - изначально задаётся как функция только двух скалярных параметров, s и t. Это значит, что форма контура предполагается постоянной. Тогда как если контур меняет свою форму, пусть даже в плоском случае, требуется параметр для описания движения нити поперёк контура (а не вдоль). Ну и остаётся вопрос о силе натяжения - как получить равенство $f=2\varepsilon$. Опять же, пока задана трубка, эта сила может быть произвольной. Хоть отрицательной.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #715605 писал(а):

Трубка задана неявно, уже тем, что произвольная точка трубки - если я правильно понял - изначально задаётся как функция только двух скалярных параметров, s и t. Это значит, что форма контура предполагается постоянной.

это неверно, не предполагается, все записано в самом общем виде: $\overline r(s,t)$ это закон движения точки нити с номером $s$. Если угодно, $s$ это лагранжева координатиа.
Двигаясь, нить заметает, вообще говоря, двумерное многообразие, $s,t$ -- это координаты на многообразии. Не знаю как еще объяснять

-- Пт апр 26, 2013 09:34:33 --

dovlato в сообщении #715605 писал(а):

Ну и остаётся вопрос о силе натяжения - как получить равенство $f=2\varepsilon$

зная закон движения найти силу вроде не очень сложно...

[dovlato]

Не знаю.. меня учили, что лагранжевы переменные - непрерывные. И хотя задавать их можно множеством способов - количество этих переменных фиксировано определяется размерностью конкретной задачи. Словом, я не понимаю этих общих слов.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #715835 писал(а):

Не знаю.. меня учили, что лагранжевы переменные - непрерывные.

они и есть непрерывные. ессли Вас смущает слово "нумеруют", так это жаргон, вполнге стандартный впрочем. Хорошо давайте так. Фиксируем время $t$, тогда нить задается параметрическим уравнением $s\mapsto\overline r(s,t)$. При разных $t$ разное уравнение -- разная форма нити. На самом деле все "удерживающие трубки" сидят в Вашем условии задачи

[dovlato]

Всё, я ничего не понимаю. Ну вот как из всего этого следует, например, постоянство формы и ориентации контура? Простите, а на шута тогда этой нити бежать - коли я, как Создатель, сам заранее предписываю всё её движение, НЕ ИНТЕРЕСУЯСЬ, а как ей самой-то хочется? Речь ведь именно об этом.
Легко допускаю, что тут просто не хватает моей квалификации - но не буду говорить, что понял.
Где сила? - сколько ещё спрашивать? Она же, сила, должна не назначаться, а вычисляться как следствие. Ну и наконец, тот самый вопрос стоит, но он уже иного масштаба трудности - об устойчивости. Не вижу, как на него можно хотя бы пытаться отвечать без дифф. ур-ний. И хорошо ещё, если не стохастических, в которых я очень мало сведущ.