Теорема о бегущей нити

[Munin]

nikvic в сообщении #711734 писал(а):

Тяжёлая задача.

Почему? Одномерная же.

dovlato в сообщении #711767 писал(а):

Для этой задачи пришлось бы вникнуть в основные методы исследования устойчивости процессов (не состояния!)

Состояние - это тоже процесс :-) Так что не вижу тут принципиальных различий. Либо решения дифура разбегаются, либо не разбегаются (сбегаться же им не с чего).

dovlato в сообщении #711767 писал(а):

Такие вещи - для профессионалов.

А по-мому, для студентов 3 курса...

[nikvic]

Munin в сообщении #711885 писал(а):

Почему? Одномерная же.

Движение нити - как минимум три функции-координаты от времени и места на верёвочке.

[dovlato]

Можно попробовать решить дискретную задачу: $n$ маленьких одинаковых шариков на заданном расстоянии $a$ образуют замкнутую цепь. Тогда ф-ция Лагранжа есть полусумма квадратов скоростей точек плюс сумма произведений вида

$$..+\lambda_k[(x_k-x_{k-1})^2+(y_k-y_{k-1})^2-a^2]+..+\lambda_n[(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2-a^2]$$

Далее пишем уравнения Лагранжа (а вернее, наверное - Эйлера). Будет система линейных уравнений относительно переменных и их вторых производных. Далее "дело за малым" - найти её решения. Я таким образом сподобился решить задачу из одного звена(!))). Там получаются члены, линейные относительно $t$ - их можно отбросить, остановим систему. И возникают синусы и косинусы произвольной частоты - это она вращается. По-видимому (?), в системе не должны возникать экспоненты - иначе я не представляю, как их присутствие удалось бы совместить с требованием сохранения энергии, импульса и момента импульса.

[Munin]

nikvic в сообщении #712030 писал(а):

Движение нити - как минимум три функции-координаты от времени и места на верёвочке.

Ну хорошо, вы меня испугали. Хотя надо покумекать, не делятся ли они.

[anik]

nikvic Простите меня за грубость и несдержанность, отчасти Вы были правы.

Пусть $r$ - радиус шкива, $d$ - межцентовое расстояние шкивов.
1. Найдём длину $L$ натянутой нити.

$$L=2\pi r+2d\qquad (1)$$

Пусть длина недеформированной нити $l$ короче натянутой на величину $d$, т.е. $\Delta l=d.$

$$l=2\pi r+d\qquad (2)$$

2. Натянем эту нить на шкивы и найдём натяжение $\sigma_t$

$$\sigma_t=k\Delta L=kd\qquad (3)$$

3.Теперь найдём критическую скорость $v$ из условия $\sigma_t=\rho v^2$

$$v^2=\sigma_t/\rho=\frac{kd}{\rho}\qquad (4)$$

4. Найдём потенциальную энергию $P$ деформированной нити

$$P=\frac{kd^2}{2}\qquad(5)$$

Вот теперь, когда мы раскрутили шкивы до окружной скорости $v$, нить престала давить на шкивы и их можно убрать (не убирая прямолинейных направляющих). Нить будет сохранять свою форму.
Вопрос: что произойдёт, если убрать направляющие?
Если убрать направляющие, то нить начнёт вращаться свободно, без действия на неё внешних сил. Кинетическая энергия нити при этом сохранится, следовательно сохранится её окружная скорость $v$. А вот потенциальная энергия деформации нити должна принять наименьшее возможное значение, из принципа минимума потенциальной энергии. Нить натягивается центробежными силами. При наличии направляющих, центробежная сила пропорциональна $v^2$ и обратно пропорциональна радиусу $r$ шкива. Для минимума центробежных сил, радиус кривизны нити должен принять максимальное возможное значение. Обозначим этот радиус $R$, и найдём его.
5. Найдём радиус окружности ненатянутой нити $R_0$. Из (2) имеем: $2\pi R_0=2\pi r+d$, отсюда:

$$R_0=r+d/2\pi\qquad (6)$$

Если такую нить начать вращать, то она будет растягиваться и её радиус $R_v$ будет возрастать.
6. Найдём растяжение нити в зависимости от линейной скорости её вращения.
Раньше мы нашли, что $\sigma_t=\rho v^2$. С другой стороны, $\sigma_t=k\Delta l$

$$\Delta l=\frac{v^2\rho}{k}\qquad (7)$$

7. Теперь найдём радиус нити $R$, при её вращении со скоростью $v$.
К длине ненатянутой нити добавим $\Delta l$, получим:

$$L_v=2\pi r+d+\frac{v^2\rho}{k}$$

$R=L_v/2\pi$

$$R=r+\frac{d}{2\pi}+\frac{v^2\rho}{2\pi k}$$

Мы получили радиус окружности, который больше чем $r$. При вращении нити с такой же линейной скоростью $v$, натяжение нити будет меньше, чем оно было при наличии прямолинейных направляющих, а следовательно, и потенциальная энергия деформации будет меньше.

[nikvic]

anik в сообщении #712709 писал(а):

Вопрос: что произойдёт, если убрать направляющие?

Ничего интересного.
Никакого упоминания о действии направляющих на нить нет, и это правильно: они не у дел и в процессе медленной раскрутки.

[anik]

nikvic в сообщении #712722 писал(а):

Никакого упоминания о действии направляющих на нить нет, и это правильно

И это не правильно!
Некоторые не понимают, что направляющие действуют на нить нормальными силами реакции.
Вы возьмите упругую нить, которая вращается по окружности со скоростью $v$ без всяких направляющих. Эта нить натянута центробежными силами инерции. А теперь, попробуйте сжимать эту нить скользкими направляющими. Вы будете совершать работу против центробежных сил инерции. На приращение кинетической энергии эта работа не может пойти, потому, что нет сил, касательных к нити (нить скользкая). Эта работа идёт на приращение потенциальной энергии деформации. Нить вращающаяся в тисках направляющих длиннее нити вращающейся свободно, при одинаковой окружной скорости.

[nikvic]

Формулу для "скользкой" нити и произвольной постоянной скорости я давал,
$\mu V^2=f+p\cdot R$

Вы её не понимаете - ну и ладно.

[anik]

А Вы мой вывод понимаете? Или не читали вовсе?
А если не понимаете, ну и ладно.

-- Пт апр 19, 2013 18:38:37 --

А правы Вы были только в том, что если нить движется в прямолинейных направляющих, то возникает критическая скорость $v$, при которой шкивы можно убрать.

-- Пт апр 19, 2013 18:43:32 --

Впрочем, если нить вращается на шкивах без прямолинейных направляющих, то критическая скорость тоже возникает при радиусе вращения $R=r+1/2d$ (при моих обозначениях). Но при этом нить будет вращаться по окружности едва задевая шкивы, и шкивы можно убрать. Об этом я уже писал.

[Omega]

Уважаемые форумчане, разрешите высказать мне собственное мнение об этой "проблеме".
Ниже будет приведено моё доказательство того факта, что "цепь либо же гибкая верёвка, движущаяся по замкнутой кривой с постоянной скоростью и образующая собой замкнутый контур, будет перемещаться дальше таким же образом, если убрать сдерживающие её предметы, которые в свою очередь и придают ей форму".
Рассмотрим цепь, которая движется по замкнутой пространственной кривой со скоростью $v\,$. Сила же $F\,$, растягивающая цепь, должна иметь одну и ту же величину по всей длине цепи, поскольку тангенциальное ускорение любого малого элемента равно нулю. Положим, что $\rho$ - масса единицы длины цепи. Если радиус кривизны этой цепи в некоторой её точке равен, скажем, $R\,$, то масса малого элемента равна $dm=\rho R d \alpha\,$, где $d \alpha\,$ - длина дуги окружности радиуса $R\,$, приходящейся на этот малый участок цепи. Так как, очевидно, что центростремительное ускорение этого малого элемента $a_{\text{ц.с.}}=\dfrac{v^{2}}{R}\,$, следовательно уравнение движения этого малого участка цепи есть:

$$\rho R d \alpha\ \dfrac{v^{2}}{R}= 2 F \sin{\dfrac{d \alpha}{2}} \Leftrightarrow \rho R d \alpha\ \dfrac{v^{2}}{R}= F d \alpha $$

Откуда $F=\rho v^{2} = const$, что подтверждает факт, описанный выше. Таким образом, результирующая касательных сил является силой, которая заставляет изгибаться цепь в заданном месте. Цепь прямая - результирующая сила, действующая на её малый участок, равна нулю, чем она сильнее изогнута - тем больше и эта результирующая сила. Главное же, что направление этой силы такое, какое необходимо.
Это, по-моему, и означает, что цепь далее будет двигаться так, что сохранит свою форму и скорость.

[dovlato]

Omega, хорошо, конечно, что вы привели ещё раз доказательство наличия равновесия контура. То есть того, что при должной величине и должных направлениях скорости этот контур останется в равновесии, и форма его сохраняется. Сейчас, однако, встал более сложный вопрос о другом: об устойчивости этого динамического равновесия.
То есть существует ли она, устойчивость, вообще - это во первых. И во вторых, её вид.
Я, например, не исключаю, что она может оказаться асимптотически (т.е. при внешних возмущениях, стремящихся к нулю) безразличной - поскольку при любой форме контура выполнение $f=2\varepsilon$, где $\varepsilon$ - линейная плотность кинетической энергии - есть необходимое и достаточное условие наличие равновесия. Но, думаю, контур будет оказывать некое пассивное сопротивление внешним силам, стремящимся изменить его форму. Возможно, физически здесь картина будет (опять же асимтотически) в какой-то мере сродни вращающемуся волчку.

[anik]

Omega в сообщении #714517 писал(а):

Цепь прямая - результирующая сила, действующая на её малый участок, равна нулю, чем она сильнее изогнута - тем больше и эта результирующая сила. Главное же, что направление этой силы такое, какое необходимо. Это, по-моему, и означает, что цепь далее будет двигаться так, что сохранит свою форму и скорость.

Какой Вы хитрый! Вы рассматриваете условие равновесия участка цепи с постоянной кривизной: либо прямая, либо с данным радиусом кривизны. А Вы рассмотрите условие равновесия такого элемента цепи, где кривизна, а стало быть и ускорение, делает скачок. Например: сопряжение прямолинейного участка, с участком, где радиус кривизны скачком приобретает значение $R$ (и не выбрасывайте точку сопряжения), а я посмотрю, что у Вас получится.

[Omega]

anik, а что мешает мне рассмотреть в этой же точке ещё более малый элемент, кривизна которого, несмотря на "скачок", в данных масштабах постоянна?

[anik]

Omega в сообщении #714517 писал(а):

Положим, что $\rho$ - масса единицы длины цепи.

У Вас уже выбрана единица длины цепи. Сделать её меньше меньшего Вы не можете.
Я так понял, что точку сопряжения Вы избегаете рассматривать?

-- Ср апр 24, 2013 14:27:53 --

Если цепь или нить вращается по кривой отличной от окружности, то наверняка на этой кривой будут участки с переменной кривизной. Вот и рассмотрите условие равновесия элемента цепи для участка с переменной кривизной (а не по дуге окружности).

[Omega]

Неужели суть физических процессов меняется в точке "сопряжения" цепи?
anik, Вы считаете, что более общим и полным доказательством будет являться такое, в котором будет рассматриваться подобные случаи? В чем Вы видите их важность?