Теорема о бегущей нити

[Munin]

dovlato в сообщении #715835 писал(а):

количество этих переменных фиксировано определяется размерностью конкретной задачи.

Здесь оно попросту бесконечно.

[dovlato]

Munin в сообщении #715969 писал(а):

dovlato в сообщении #715835 писал(а):

количество этих переменных фиксировано определяется размерностью конкретной задачи.

Здесь оно попросту бесконечно.

У нити - да, конечно бесконечно)).
Но каждая её точка (помеченная каплей краски) описывается двумя пространственными координатами, и одной временной.

[Oleg Zubelevich]

кстати, поскольку сказано, что

dovlato в сообщении #709464 писал(а):

Скорости любой точки нити направлены по касательной к контуру и одинаковы по величине.

то даже если нить растяжима, то в процессе движения она всеравно не будет растягиваться т.е. это не важно растяжима она или нет

[Munin]

dovlato в сообщении #715989 писал(а):

У нити - да, конечно бесконечно)).
Но каждая её точка (помеченная каплей краски) описывается двумя пространственными координатами, и одной временной.

Тремя пространственными. Вот эта пометка краской - это конкретное значение $s_0,$ а описание движения - это векторная функция от времени $\overline{r}(s_0,t)=(x(s_0,t),y(s_0,t),z(s_0,t))$ (в обозначениях Oleg Zubelevich). Три величины $x(s,t),y(s,t),z(s,t)$ можно рассматривать как три функции в двумерном пространстве-времени, и решать для них волновое уравнение.

-- 27.04.2013 03:04:12 --

Oleg Zubelevich в сообщении #716039 писал(а):

даже если нить растяжима, то в процессе движения она всеравно не будет растягиваться т.е. это не важно растяжима она или нет

А нельзя ли услышать от вас анализ устойчивости такого движения нити по отношению к малому возмущению скорости поперёк?

[dovlato]

Yes. Тремя пространственными; просто я тогда хотел подчеркнуть, что даже простейшем случае плоского движения размерность задачи равна двум, или даже трём (если вместе с $t$). Диф. уравнение требуется решать при дополнительных условиях

$$|\frac{d\vec r}{ds}|=1\quad \vec r(0,t)=\vec r(L,t)$$

Здесь $L$ - длина кольца.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #716092 писал(а):

анализ устойчивости такого движения нити по отношению к малому возмущению скорости поперёк?

в данной задаче скорость поперек возмущаться не может, она по условию направлена вдоль нити. Если вы имеете в виду какую-то другую задачу , то ее надо сперва поставить

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #716135 писал(а):

в данной задаче скорость поперек возмущаться не может, она по условию направлена вдоль нити.

Какой же вы буквоед.
Модифицируем условие, что у скорости есть малое возмущение поперёк. Теперь можете ответить?
Именно это и называется "исследовать устойчивость", если вы были не в курсе из курса дифференциальных уравнений.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #716156 писал(а):

Именно это и называется "исследовать устойчивость", если вы были не в курсе из курса дифференциальных уравнений.

об устойчивости решения какого именно дифференциального уравнения вы говорите?

[dovlato]

Пока что ясен лишь минимум: если контур представляет собой круговое вращающееся кольцо - то это движение, похоже, не испытывает тенденции к неограниченному увеличению возмущений. Если они не слишком велики. Но зато уже вызывает сильное сомнение - существует ли тенденция к их исчезновению, коль скоро они возникли. Что-то, по моему, более похожее на "почти" безразличное равновесие. Почти - потому, что, как отмечал nikvic, никуда не делись законы сохранения энергии и момента импульса.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотим кольцо из однородной тонкой резинки, которое все время находится в неподвижной плоскости и может вращаться вокруг своего неподвижного центра. Масса кольца $m$; радиус кольца в нерастянутом состоянии $\rho$; коэффициент упругости резинки $k>0.$ Будем рассматривать движения кольца при которых скорость всех его точек одинакова по модулю. Сила натяжения тоже одинакова по модулю во всех сечениях

Через $\psi$ и $r$ обозначим угол поворота и текущий радиус кольца. Тогда лагранжиан имеет вид

$$L=\frac{m}{2}(r^2\dot\psi^2+\dot r^2)-2\pi^2k(r-\rho)^2$$

И соответственно приведеный потенциал:

$$V_c(r)=\frac{c^2}{2mr^2}+2\pi^2k(r-\rho)^2,\quad c=mr^2\dot \psi$$

При $c\ne 0$ эта функция имеет единственный минимум в некоторой точке $r_*>0$. Этому минимуму соответствует устойчивое (в рассматриваемом классе движенией) стационарное вращение.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #716182 писал(а):

об устойчивости решения какого именно дифференциального уравнения вы говорите?

Понятие устойчивости впервые вводится для ОДУ. Но естественно расширяется на множество других задач, например, имеющих хоть какую-то аналогию с задачей Коши.

dovlato в сообщении #716289 писал(а):

Пока что ясен лишь минимум: если контур представляет собой круговое вращающееся кольцо - то это движение, похоже, не испытывает тенденции к неограниченному увеличению возмущений.

Я пока даже этого минимума не увидел в обоснованном виде.

[dovlato]

Даже из рассмотренного O. Zubelevich максимально упрощённого случая чисто радиальных колебаний кругового кольца видно (легко показывается), что эти колебания имеют квазигармонический характер - для малых амплитуд.
Далее. Умножив 2е ур-ние Лагранжа на $\dot r$ и проинтегрировав его, можно получить алгебраическое уравнение для экстремальных значений $r$ - и эти значения не зависят от $t$. То-есть, нет ни затухания колебаний, ни их возрастания - они являются периодическими.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #716324 писал(а):

Понятие устойчивости впервые вводится для ОДУ. Но естественно расширяется на множество других задач, например, имеющих хоть какую-то аналогию с задачей Коши.

Еще не хватало чтоб вы тут лекции по теории устойчивости читали. Понятно, т.е. внятно вы свой вопрос сформулировать не в состоянии.

[dovlato]

Как раз в общих чертах, в рамках физической разумности - вопросы возникают довольно понятные..
Какова эволюция малого искажения движения нити? И каковы критерии этой малости?
Будет ли происходить уменьшение этих возмущений (а это и есть определение устойчивости)?
В частности, может ли, помимо формы, изменяться и ориентация контура?

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #716375 писал(а):

Какова эволюция малого искажения движения нити?

какого именно движения? какие силы дийствуют в системе? упругие смвойства нити?

dovlato в сообщении #716375 писал(а):

Будет ли происходить уменьшение этих возмущений (а это и есть определение устойчивости)?

устойчивость бывает разная. Устойчивость по Ляпунову это одно, устойчивость относительно постоянно действующих возмущений -- другое ит.д. Только какой смысл об этом говорить пока Вы задачу не поставили.

dovlato в сообщении #716375 писал(а):

В частности, может ли, помимо формы, изменяться и ориентация контура?

Какого именно контура, в какой задаче?