Методика преподавания полярной системы координат

[Denis Russkih]

Я ничего не понимаю в обсуждаемом вопросе, но у меня сложилось впечатление, что здесь примерно как с квадратным корнем из отрицательного числа... Детей, чтобы не запутывать, учат, будто бы корень ни в коем случае нельзя извлекать из отрицательных чисел. А взрослым объясняют, что корнями такого уравнения являются комплексные числа.

Только в случае дополнительных "лепестков" почему-то не было придумано никакого специального названия. Я верно уловил суть?

[Shtorm]

GAA, спасибо за большой развёрнутый ответ.

ewert в сообщении #713236 писал(а):

Студентов, приносящих по 8 лепестков, следует репрессировать нещадно. .....

ewert в сообщении #713256 писал(а):

Это безграмотность даже и не математическая, а общеинтеллектуальная....

ewert в сообщении #713275 писал(а):

Shtorm в сообщении #713263 писал(а):

Но ведь Вы согласны с такими справочными формулировками:
Кривые $r=a\sin(k\varphi)$ и $r=a\cos(k\varphi)$ задают $k$-лепестковые розы, если $k$ - нечётно, и задают $2k$- лепестковые розы, если $k$ - чётно.

Нет; разумеется, я считаю подобные формулировки бессмысленными. ....... Игру же в бисер с волшебными заклинаниями, которые где-то когда-то в каких-то книжках засветились, считаю вовсе неуместной.

Уважаемый ewert, а как Вы поступите со студентом, который принесёт Вам задание, где нужно было изобразить кривую $r=\sin4\varphi$ и он изобразит 8 лепестков, и при этом будет таблица значений $(r,\varphi)$, на лепестках будут видны точки, по которым он строил??? А ещё зная, Ваше отношение к данному вопросу, студент прихватит с собой книгу А.А. Савелов "Плоские кривые", где написано, цитирую:

Цитата:

Если модуль $k$ - целое число, то роза состоит из $k$ лепестков при $k$ нечётном и из $2k$ лепестков при $k$ чётном....

[ewert]

Denis Russkih в сообщении #713713 писал(а):

у меня сложилось впечатление, что здесь примерно как с квадратным корнем из отрицательного числа...

Нет, тут скорее наоборот. В обоих случаях отрицательность есть особый случай, это да. Однако дальше ситуации расходятся в диаметрально противоположные стороны. В числовом случае мы вынуждены допустить наличие таких корней по принципиальным мотивам -- ради алгебраической замкнутости. В картиночном же нас никто ни к чему не вынуждает, там это не более чем удобство выкладок. И без него сошло бы, но раз с ним выгоднее -- пусть будет с ним.

-- Вс апр 21, 2013 21:28:39 --

Shtorm в сообщении #713727 писал(а):

Уважаемый ewert, а как Вы поступите со студентом, который принесёт Вам задание, где нужно было изобразить кривую $r=\sin4\varphi$ и он изобразит 8 лепестков, и при этом будет таблица значений $(r,\varphi)$, на лепестках будут видны точки, по которым он строил??? А ещё зная, Ваше отношение к данному вопросу, студент прихватит с собой книгу А.А. Савелов "Плоские кривые", где написано, цитирую:

Цитата:

Если модуль $k$ - целое число, то роза состоит из $k$ лепестков при $k$ нечётном и из $2k$ лепестков при $k$ чётном....

Прежде всего, я сказал бы так: меня совершенно не интересуют Савеловы. Вам было дано точно сформулированное задание: дана область типа $r<\sin4\varphi$, и по ней требовалось нечто посчитать. Вот и считайте ровно то, что задано, и желательно без демагогии.

А во-вторых, ко мне с охапкой Савеловых под мышкой точно никто не придёт. Студенты у нас хоть и так себе, но всё же в основном вменяемые.

[Shtorm]

Denis Russkih в сообщении #713713 писал(а):

сложилось впечатление, что здесь примерно как с квадратным корнем из отрицательного числа... Детей, чтобы не запутывать, учат, будто бы корень ни в коем случае нельзя извлекать из отрицательных чисел. А взрослым объясняют, что корнями такого уравнения являются комплексные числа.

На мой взгляд, не совсем хорошая аналогия, или даже совсем нехорошая. Я сейчас говорю именно с позиций методологии преподавания. Дело в том, что извлечение корня чётной степени из отрицательных чисел - это прописанная процедура во всех классических вузовских учебниках. И соответственно, никогда нет противоречий между требованиями и пониманиями одного преподавателя и другого. Никогда нет несоответствия говоримого на лекциях у одного и у другого математика. Никто никого не репрессирует, мотивируя определениями и формулировками - ибо всё одинаково.

[Алексей К.]

(студент с книжкой)

Shtorm в сообщении #713727 писал(а):

Уважаемый ewert, а как Вы поступите со студентом, который ... прихватит с собой книгу А.А. Савелов ...

Позволю себе предположить, что если к ewert'у явится студент с-книжкой-под-мышкой (будь то книжка Савелова, Беклемишева, Зорича, или ...), он уже за одно это получит +1 балл.

[ewert]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #713744 писал(а):

Позволю себе предположить, что если к ewert'у явится студент с-книжкой-под-мышкой (будь то книжка Савелова, Беклемишева, Зорича, или ...), он уже за одно это получит +1 балл.

Там знак перепутан. В остальном же всё верно.

[Denis Russkih]

ewert

Большое спасибо за объяснение!

Но я не совсем понял, почему "книжка под мышкой" приведёт к снижению балла?.. Разве плохо, если человек что-то читает по собственной инициативе, обращает внимание на вещи, мимо которых другие проходят?.. Инициатива наказуема? :)

[Doil-byle]

(Denis Russkih)

Denis Russkih в сообщении #713713 писал(а):

Я ничего не понимаю в обсуждаемом вопросе, но у меня сложилось впечатление, что здесь примерно как с квадратным корнем из отрицательного числа... Детей, чтобы не запутывать, учат, будто бы корень ни в коем случае нельзя извлекать из отрицательных чисел. А взрослым объясняют, что корнями такого уравнения являются комплексные числа.

Никакого заговора здесь нет (хотя, встречается в других местах школьной программы). Его действительно "нельзя" извлекать: уравнение $x^2=a$ не имеет решений над полем вещественных чисел при отрицательных $a$. Просто не изучают (в обычных школах) поле комплексных чисел, где такое уравнение имеет решение - ну и что же? Это ведь уже другой вопрос, всё ок.

[ewert]

Denis Russkih в сообщении #713789 писал(а):

Разве плохо, если человек что-то читает по собственной инициативе, обращает внимание на вещи, мимо которых другие проходят?..

Плохо, когда человек не понимает прочитанного и не замечает своего непонимания. Это гораздо хуже, чем если бы он вообще ничего не читал.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #713922 писал(а):

Это гораздо хуже, чем если бы он вообще ничего не читал.

Не согласен, думаю, что это в крайнем случае равно плохо. Если человек ничего не читает, то у него возможен такой же исход (не понимает прочитанного, и не замечает своего непонимания), но в потенции. Но он даже и не пытается...

[mihailm]

ewert в сообщении #713922 писал(а):

Denis Russkih в сообщении #713789 писал(а):

Разве плохо, если человек что-то читает по собственной инициативе, обращает внимание на вещи, мимо которых другие проходят?..

Плохо, когда человек не понимает прочитанного и не замечает своего непонимания. Это гораздо хуже, чем если бы он вообще ничего не читал.

Слишком категорично))
Процентов 75% студентов математиков не понимают поначалу абстактные конструкции наваливающиеся на них в начале обучения (например, я кстати к этим непонимающим вполне так относился). И понять глубину свего непонимания сам человек почти не в состоянии, для этого и нужен препод (или сообщество студентов с которыми постоянно общаешься)

[Shtorm]

ewert в сообщении #713236 писал(а):

Студентов, приносящих по 8 лепестков, следует репрессировать нещадно. .....

ewert в сообщении #713731 писал(а):

меня совершенно не интересуют Савеловы.

ewert в сообщении #713922 писал(а):

Плохо, когда человек не понимает прочитанного и не замечает своего непонимания.

Ну, тогда несчастному студенту ничего другого не остаётся, как воспользоваться мудрым советом Алексея К.

Алексей К. в [url=http://dxdy.ru/post711868.html#p711868]сообщении #711868[/url писал(а):

Да запросто. У Вас параметрически заданная кривая,

$$\begin{cases}x(t)=r(t)\cos t,\\y(t)=r(t)\sin t.\end{cases}$$

Не называйте при этом $r(t)$ "полярным уравнением", и всё.

Итак, параметризуем кривую $r=\sin(4\varphi)$. Получаем:

$$\begin{cases}x(t)=\sin(4t)\cos(t),\\y(t)=\sin(4t)\sin(t).\end{cases}$$

Ниже я привожу значения $(x, y)$ в зависимости от параметра $t$ только для вершин лепестков, а также подписываю номер лепестка в порядке их вычерчивания и указываю расположение лепестка. Под расположением понимаем следующее: наложим на полярную систему координат декартову систему, совместив начала. И будем указывать в какой четверти лежит каждый конкретный лепесток. Таким образом в каждой из четвертей должно оказаться 2 лепестка. Значения $(x, y)$ специально оставлю в виде косинуса и синуса, чтобы для каждой вершины легко можно было найти расстояние от начала координат до точки по формуле $r=\sqrt{x^2+y^2}$

$t=\frac{\pi}{8}; x=\cos(\frac{\pi}{8}); y=\sin(\frac{\pi}{8});$ вершина 1-го лепестка, лежащего в 1-ой четверти

$t=\frac{18\pi}{48}; x=-\cos(\frac{18\pi}{48}); y=-\sin(\frac{18\pi}{48});$ вершина 2-го лепестка, лежащего в 3-ей четверти

$t=\frac{30\pi}{48}; x=\cos(\frac{30\pi}{48}); y=\sin(\frac{30\pi}{48});$ вершина 3-го лепестка, лежащего в 2-ой четверти

$t=\frac{42\pi}{48}; x=-\cos(\frac{42\pi}{48}); y=-\sin(\frac{42\pi}{48});$ вершина 4-го лепестка, лежащего в 4-ой четверти

$t=\frac{54\pi}{48}; x=\cos(\frac{54\pi}{48}); y=\sin(\frac{54\pi}{48});$ вершина 5-го лепестка, лежащего в 3-ей четверти

$t=\frac{66\pi}{48}; x=-\cos(\frac{66\pi}{48}); y=-\sin(\frac{66\pi}{48});$ вершина 6-го лепестка, лежащего в 1-ой четверти

$t=\frac{78\pi}{48}; x=\cos(\frac{78\pi}{48}); y=\sin(\frac{78\pi}{48});$ вершина 7-го лепестка, лежащего в 4-ой четверти

$t=\frac{90\pi}{48}; x=-\cos(\frac{90\pi}{8}); y=-\sin(\frac{90\pi}{8});$ вершина 8-го лепестка, лежащего во 2-ой четверти

Надеюсь, уважаемый ewert зачтёт после этого работу студента? А если не зачтёт, то почему?

[arseniiv]

Shtorm, ну совершенно же никто в теме не предлагал переходить в декартовы координаты.

[Shtorm]

Aritaborian в сообщении #715775 писал(а):

Что за занудство? Очевидно же, что $r=\sin(4 \varphi)$ — восьмилепестковая роза.

Мне тоже это очевидно, но как видите ewert, почему-то хочет репрессировать студента, принёсшего 8-лепестковую розу.

-- Пт апр 26, 2013 15:33:56 --

arseniiv, предлагали параметризовать. Но мой ответ был специально предназначен для ситуации, когда преподаватель не соглашается на
$n=2k$ - лепестковый вариант.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #715853 писал(а):

Aritaborian, а как у вас в Республике Беларусь обстоит дело с преподаванием такого момента в полярной системе координат?

Shtorm,

не бывает полярной системы координат ни в Республике Беларусь, ни в РФ, ни у нас во Вьетнаме (это я посмотрел учебник профессора Нгуен Ши Хи). Не бывает!

Вот Вы просите студента нарисовать кривую $r=5\varphi$ в "полярной системе координат". Так он что должен сделать? Он берёт обычную декартову систему, и рисует в ней "сетку" координатных линий: $\varphi=\operatorname{const}_1$, представляющую собой пучок прямых, и $r=\operatorname{const}_2$ --- семейство концентричных окружностей. Далее вычисляет табличку $(\varphi_i,r_i)$ с достаточной частотой и откладывает их на рисунке: для каждой пары выбирает соотв. прямую и ищет пересечение с соотв. окружностью. Вытирает пот и приходит к профессору.

"Что толку, что ты мне нарисовал какие-то координатные линии, --- прямые, окружности?" --- говорит ему профессор. Ведь тот факт, что линии $r=\operatorname{const}_2=\pm5$ оказываются окружностями - это свойство декартовой системы координат и тех формул,

$$(r,\varphi)\to(x,y)\colon\quad x=r\cos\varphi,\;y=r\sin\varphi,$$

что ты записал на лекции! Я просил в полярной системе, а вижу обычную декартову!"

Уходит студетн репу чесать. Ну ничего не придумывается, как принести профессору график прямой $r=5\varphi$, той, что ранее он привык рисовать как $y=5x$.

"là loại vô nghĩa?" --- спрашивает его профессор. "Да Вы просто переименовали оси обычной декартовой системы! И что здесь интересного, нового, "полярного"? Буковки другие поставили --- и новая система? Да я, ....., таких систем могу...!"

Shtorm,

не бывает других каких-то систем координат, ни полярных, ни лемнискатных, ни биполярных. Это всё лженаучники придумали. Мы говорим "система координат" --- подразумеваем "Ленинск Декартова система координат". Остальное от лукавого. Так в методичке и напишите. А прикопаются кафедристы --- попросите их нарисовать кривую $r=5\varphi$ в полярной системе координат, без всяких там декартовостей, иксов, игреков, прямых перпендикулярных. И Вы легко заткнёте им пасть: заткнёте, как только они начнут рисовать линию $r=\operatorname{const}$ в виде почему-то-окружности $x^2+y^2=(\pm5)^2$.
Все их пасти сразу заткнёте.