Методика преподавания полярной системы координат

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #711799 писал(а):

некоторые преподаватели десятилетиями верили в то, что $r$ может быть только положительным

Забавный глагольчик, однако: "верили".

[Shtorm]

GAA в сообщении #713132 писал(а):

Я отношусь к тем, кто считает, что по умолчанию [т.е. если специально не оговорено] полярный радиус неотрицательный. [Слабым студентам, особенно технических вузов, это сильно облегчает жизнь.] И я считаю, что если специально не оговорено, то кривая $r=\sin 2\varphi$ имеет два лепестка.

Тогда скажите, в каких уважаемых книгах или справочниках, было бы сказано, что кривая

$$r=a\sin 2\varphi$$

является 2-ух лепестковой розой??? Ибо я, например, сколько видел в справочниках - всегда было написано, что это 4-ёх лепестковая роза. И никаких дополнительных оговорок и соглашений нигде не видел.

[ewert]

Shtorm в сообщении #712633 писал(а):

Это приводит к тому, что если например, им приносят контрольную работу на проверку, где нарисована 8-ми лепестковая роза $r=\sin(4\varphi)$ то они с гневом и апломбом зачёркивают 4 лепестка и заставляют исправлять контрольную работу, чтобы лепестков осталось только 4

Студентов, приносящих по 8 лепестков, следует репрессировать нещадно. Ибо с вероятностью примерно 100% такие студенты (которые да, частенько встречаются) никаких спецкнижек не читали, а просто нарисовали эти лепестки в каком-нибудь Маткаде, совершенно даже не задумываясь о том, что они нарисовали и с какой целью. Они полагают, что их дело маленькое -- нажать на пипочки, а там хоть трава не расти.

[Shtorm]

ewert в сообщении #713236 писал(а):

а просто нарисовали эти лепестки в каком-нибудь Маткаде, совершенно даже не задумываясь

Да, есть такой минус. Но конечно всегда можно попросить объяснить студента - как же именно получилось 8 лепестков. Я-то вот, например, всегда к нарисованной кривой требую ещё и таблицу значений $(r,\varphi)$, а без этой таблицы просто не принимаю работу и всё. Но одно дело сказать: У Вас не хватает таблицы - идите и доделывайте, а другое дело сказать, что у Вас кривая изображена неверно.

[ewert]

Shtorm в сообщении #713243 писал(а):

Но конечно всегда можно попросить объяснить студента - как же именно получилось 8 лепестков. Я-то вот, например, всегда к нарисованной кривой требую ещё и таблицу значений $(r,\varphi)$, а без этой таблицы просто не принимаю работу и всё.

Это лишнее. Если восьмилепестковый эффект возникает, то тут дело вовсе не в объяснениях, а тупо в неумении студента работать с матпакетами. Хуже того -- вообще в неумении работать с компьютерными программами в принципе. Он просто не понимает, что прежде чем вызывать какие-то стандартные функции, неплохо бы поинтересоваться тем, что в точности те функции делают и как в точности их интерфейсы соотносятся с поставленной перед ним задачей. Ему это всё до лампочки: нашёл в хэлпе немножко знакомые слова -- ну и пошёл жать.

Это безграмотность даже и не математическая, а общеинтеллектуальная. Конечно, я лично не репрессирую таких студентов буквально -- это был с моей стороны полемический перехлёст; я вообще довольно снисходителен. Однако на психику -- да, давлю; обычно мы друг друга понимаем, и дальше студенты ведут себя уже несколько сознательнее.

[Shtorm]

ewert в сообщении #713256 писал(а):

то тут дело вовсе не в объяснениях, а тупо в неумении студента работать с матпакетами.

Но ведь Вы согласны с такими справочными формулировками:
Кривые $r=a\sin(k\varphi)$ и $r=a\cos(k\varphi)$ задают $k$-лепестковые розы, если $k$ - нечётно, и задают $2k$- лепестковые розы, если $k$ - чётно.

[ewert]

Shtorm в сообщении #713263 писал(а):

Но ведь Вы согласны с такими справочными формулировками:
Кривые $r=a\sin(k\varphi)$ и $r=a\cos(k\varphi)$ задают $k$-лепестковые розы, если $k$ - нечётно, и задают $2k$- лепестковые розы, если $k$ - чётно.

Нет; разумеется, я считаю подобные формулировки бессмысленными. Я полностью согласен с как минимум подавляющим большинством предыдущих ораторов в том, что система координат -- это система координат, и уж коль скоро она названа системой координат -- то именно как таковую её и следует воспринимать (наличие особой точки ничего принципиально не меняет). Тем более если речь заходит о неравенствах. Игру же в бисер с волшебными заклинаниями, которые где-то когда-то в каких-то книжках засветились, считаю вовсе неуместной.

[arseniiv]

ewert в сообщении #713236 писал(а):

Студентов, приносящих по 8 лепестков, следует репрессировать нещадно. Ибо с вероятностью примерно 100% такие студенты (которые да, частенько встречаются) никаких спецкнижек не читали, а просто нарисовали эти лепестки в каком-нибудь Маткаде, совершенно даже не задумываясь о том, что они нарисовали и с какой целью. Они полагают, что их дело маленькое -- нажать на пипочки, а там хоть трава не расти.

Это вы зря. Обычно в таких заданиях просят и таблицу значений предоставить.

[Shtorm]

arseniiv, и чтобы у ewert-a не осталось возражений, давайте скажем ещё, что и точки на чертеже обязательно должны быть нанесены - это плюс к таблице. Допустим, таблица есть, а точек нет. Спрашиваешь - как рисовал? Молчит. Шагом марш - разобраться как строил и поставить точки на рисунке, чтобы кривая была проведена по точкам.

[ewert]

arseniiv в сообщении #713298 писал(а):

Это вы зря. Обычно в таких заданиях просят и таблицу значений предоставить.

Это Вы зря. Нормальный препод попросит лишь эскиз графика, накарябанный на коленке (предпочтительно именно на коленке, а не в каком-нибудь пакете). Ибо нормальному преподу интересна в первую очередь именно логика скубента, и уже в восемнадцатую -- его технические навыки. Во всяком случае -- в том, что касается собственно математики.

-- Сб апр 20, 2013 22:08:52 --

Shtorm в сообщении #713301 писал(а):

давайте скажем ещё, что и точки на чертеже обязательно должны быть нанесены - это плюс к таблице.

Это -- минус к таблице. Поскольку нанесение на картинку заведомо избыточной информации лишь подчёркивает непонимание существа дела.

[arseniiv]

Вот про точки не помню. Я рисовал, потому что могу спутать маленькую точечку со случайным штрихом.

ewert в сообщении #713304 писал(а):

Это Вы зря. Нормальный препод попросит лишь эскиз графика, накарябанный на коленке (предпочтительно именно на коленке, а не в каком-нибудь пакете). Ибо нормальному преподу интересна в первую очередь именно логика скубента, и уже в восемнадцатую -- его технические навыки. Во всяком случае -- в том, что касается собственно математики.

Если что, я имел в виду 4—8 точек. Не у всех такая хорошая рука, чтобы без ориентиров нарисовать эскиз.

Хотя я лично не хочу иметь с требованиями преподавания что-то общее, а особенно в настоящие времена.

[ewert]

arseniiv в сообщении #713313 писал(а):

Не у всех такая хорошая рука, чтобы без ориентиров нарисовать эскиз.

Тут дело не в ориентирах, а в понимании логики задачи.

Товарищ должен понимать, что любая линия строится всё-таки по точкам ( в первом приближении этого достаточно). И если график строится в полярных координатах, то надо лишь тривиально отложить мысленно несколько последовательных лучей, и потом на каждом луче отложить (не менее мысленно) расстояние до центра -- в соответствии с убываниями или возрастаниями синусов/косинусов в зависимости от угла; а уж это-то он, хотя бы на качественном уровне, обязан знать. И обязан знать, как всё это перемасштабируется в зависимости от множителя при аргументе. И ещё крайне желательно, чтобы он понимал: пакеты работают ровно по этой логике.

При этом вовсе не нужно ставить точные абсолютные метки на графике; тем более не нужно рисовать изысканные картинки. Всё, что нужно -- это понимание существа дела: когда что возрастает, когда куда убывает. Причём заметьте: для "чистых" математиков это как раз и не обязательно (во всяком случае, на первый взгляд); а вот для прикладников -- необходимо абсолютно.

[arseniiv]

А, ну разумеется, в полярных координатах надо рисовать точки на лучах! Я имел в виду это, но, сам виноват, не упомянул. Нарисовать лучи и поставить там отметочки, и провести кривую. И таблицу если писать, то тоже $(r,\varphi)$.

[GAA]

Shtorm в сообщении #713208 писал(а):

Тогда скажите, в каких уважаемых книгах или справочниках, было бы сказано, что кривая

$$r=a\sin 2\varphi$$

является 2-ух лепестковой розой??? Ибо я, например, сколько видел в справочниках - всегда было написано, что это 4-ёх лепестковая роза. И никаких дополнительных оговорок и соглашений нигде не видел.

Думаю, что ни в каких. На мой взгляд, такие слишком частные и очевидные «задачи» не могут «как таковые» рассматриваться в приличных учебниках или сборниках задач. Такие «подзадачи» возникают как фрагменты более сложных задач. В сборниках приводятся, например, упражнения на вычисление площади, массы и т.п. области ограниченной кривыми, заданными в декартовой системе координат. Иногда в таких задачах для вычисления удобно перейти в полярную систему координат. Вот в таких задачах удобно считать, что $r \ge 0$. [В теме, на которую приведена ссылка в начальном сообщении, об этом кратко писал Someone.] На самом деле на плоскости в простых случаях особых проблем не возникает при любых договоренностях. Но уже при вычислении тройных интегралов с использованием сферической системы координат взаимно однозначное соответствие становится более важным. Но как раз на вычислении двойных интегралов студенты и нарабатывают навыки для перехода к тройным интегралам. Дело в том, что в «пространстве» в исходной системе координат может оказаться, что область и нарисовать то трудно, а после замены переменных это уже сделать проще. По мере увеличения размерности это становится все важнее.

В приводимых выше примерах я пытался сформулировать «исходную» задачу в декартовой системе координат и затем перейти в полярную. Я пытался показать, что ограничение $r \ge 0$ не приводит к тому, что будут потеряны точки. На лекциях и семинарских (практических) занятиях как раз мы и сталкиваемся с такого рода примерами. Другой тип примеров — на первом курсе, в основном, в аналитической геометрии — это примеры на составление уравнения кривой, но и здесь особых сложностей не возникает.

Сложности возникают при выдаче «индивидуальных заданий» или проведения контрольных (особенно для студентов заочной формы обучения). В обоих случаях задачи должны быть простыми, их должно быть много и они должны быть приблизительно одинакового уровня сложности. Поэтому вместо задачи на составление уравнения кривой и последующего построения эскиза, сразу для построения эскиза задаётся уравнение кривой в полярной системе координат. Вот тут нужно следовать договоренности указанной на лекции или просто вместе с уравнением кривой указывать, какие $r$ может иметь значения.

Как и писал Someone, в задаче может быть желанной гладкость параметризации. Вот тут возможность $r$ принимать отрицательные значения и полезна. Но если идет разговор о преподавании студентам без углубленного изучения математики, то таких задач у них если и есть, то мало.

А вот справочники по кривым пишут для тех, кто занимается именно кривыми [или пишут те, кто занимается именно кривыми]. Поэтому по умолчанию в этих справочниках $r$ может принимать отрицательные значения для того, чтобы, как минимум, получить компактное задание кривой в полярной системе координат. Но к учебному процессу это относится слабо.

Вне контекста, скорее всего, работающие на младших курсах или возящиеся с интегралами будет говорить, что по умолчанию $r \ge 0$, а занимающиеся кривыми, что $ -\infty \le r \le +\infty$. И с этим ничего не поделать.

-- Sun 21.04.2013 18:00:03 --

А когда контекст есть, то и проблем нет. Вывод: давать студентам нормальные задания.

[ewert]

GAA в сообщении #713684 писал(а):

Вне контекста, скорее всего, работающие на младших курсах или возящиеся с интегралами будет говорить, что по умолчанию $r \ge 0$, а занимающиеся кривыми, что $ -\infty \le r \le +\infty$. И с этим ничего не поделать.

Да не в младшестях курсов дело, а в терминологии. Если речь именно о координатной системе, то этот эр попросту по определению неотрицателен. И только в узкоспециальных случаях, когда вводят формальную параметризацию и для большего смаку ассоциируют её с общеизвестной полярной системой координат -- лишь тогда можно допускать отрицательность эра. В качестве жаргона, и никак иначе.