Так что вопрос, с какими телами работает геометрия, они осветить вряд ли могут. Расскажут ли они про ковёр Серпинского и шах Банаха-Тарского? Расскажут ли они про гладкие поверхности, их края и ручки, ориентируемость, заузления, потоки? Расскажут ли они про проективную плоскость? (впрочем, последнее, иногда - да.) Расскажут ли они про кирпич Гильберта? Чёт-та я сомневаюсь. А это только малая часть...
Ну так мы говорим о школьном, хоть и углубленном курсе геометрии.
Вы считаете, что дети могут осмыслить все то, что вы назвали? Без нормальной базовой подготовки?
Да вам об этом не каждый преподаватель рассказать сможет! А у учителя просто нет времени об этом говорить, потому что программа гонит его вперед, вперед и побыстрее!
Ну так назовите вслух, какие именно. А то в такой формулировке это банальность, с которой никто не будет спорить, но она ничего и не выражает.
Программа не предполагает нормальной работы с понятиями и теоремами. Начисто опускаются, из-за недостатка времени, либо некомпетентности учителя такие шаги подачи материала как усвоение формулировки, и пошаговое закрепление, с учетом принципа "от простого к сложному". А потом возникает непонимание материала.
А те понятия, которые Вы назвали как-то тяжело впихнуть в школьную программу. Просто невозможно. Либо ломать всю программу школьную, либо оставить "скучать мысль на Началах"...