О "последнем" утверждении П. Ферма

[Батороев]

RIP писал(а):

Батороев писал(а):

RIP , если я правильно понял Ваше объяснение, то следует ли из него то, что если $ x $ делится на $ 3^k $ (где k - целое положительное число), то $ (z - y) $ должно делиться на $ 3^{3k-1} $?

Совершенно верно.

В таком случае, число, которое делится на 3, должно делиться и на 7?
По крайней мере, на это наводит простой перебор остатков по основанию 7 с учетом наработок данного обсуждения.
Если при переборе я не ошибся, то возможны только три комбинации:
1. $ x\equiv{1}(mod7), y\equiv{0}(mod7), z\equiv{1}(mod7) $
$ y\equiv{0}(mod3) $
2. $ x\equiv{6}(mod7), y\equiv{0}(mod7), z\equiv{6}(mod7) $
$ y\equiv{0}(mod3) $
3. $ x\equiv{6}(mod7), y\equiv{1}(mod7), z\equiv{0}(mod7) $
$ z\equiv{0}(mod3) $.

[ljubarcev]

Уважаемые господа RIP и Батороев. Всё проще.

Исправив указанную RIP ошибку в п.11, получим, что в целых числах должно быть $m=3m_1$ и тогда: $(z-y)=3^5m_1^3$; $t=3m_1kg$; $x+y-z=3t=9m_1kg$; и $x=9m_1kg+3^5m_1^3=9m_1(kg+3^3m_1^2)$; $x/9m_1=kg+3^3m_1^2$ и $x=9m_1x_1$; то – есть $x$ делится на $9m_1$.
13. $g^3-k^3=(x+y)-(z-x)=2x-(z-y)=9m_1(2x_1-3^3m_1^2)$ и
$(g-k)(g^2+kg+k^2)=9m_1(2x_1-3^3m_1^2)$.
Так как $g;k$ не делятся на $3$, то числа $(g-k)$ и $(g^2+kg+k^2)$ взаимно просты: числа $9m_1$ и $(2x_1-3^3m_1^2)$ так же взаимно простые. Поэтому должно быть $g-k=9m_1$;
$g^2+gk+k^2=2x_1-3^3m_1^2$ и $g=k+9m_1$, тогда
14. $(k+9m_1)^2+(k+9m_1)k+k^2=2x_1-3^3m_1^2$ и должно быть:

$$k^2+9km_1+36m_1^2=\frac{2x_1}{3}$$

.
Последнее равенство в целых числах невозможно, так как числа $x_1;3) взаимно просты. ЧТД
Дед.

[Батороев]

RIP писал(а):

ljubarcev писал(а):

11.$3^3l^3+3^3l^2k+3^2lk^2=9m^3+6mk^2+18mkl$;
$3l^3+3l^2k+lk^2=m^3+2k^2/3+2mkl$;

Ошибка в 11. при сокращении на 9 (другие ошибки несущественны). Должно быть $2mk^2/3$, т.е. $3|m$.

У ljubarcev'а в п.4 записано, что $ z - y = 9m^3 $,
или:
$ m^3 = \frac{z - y}{9} $, т.е.
при x, делящемся на 3, но не делящемся на 9, вроде, m не должно делиться на 3?

[RIP]

Батороев писал(а):

при x, делящемся на 3, но не делящемся на 9, вроде, m не должно делиться на 3?

В том то и дело, что доказано, что если $x$ делится на 3, то оно обязано делиться на 9 (по крайней мере, мне так кажется).

Добавлено спустя 16 минут 1 секунду:

ljubarcev писал(а):

$(g-k)(g^2+kg+k^2)=9m_1(2x_1-3^3m_1^2)$.
Так как $g;k$ не делятся на $3$, то числа $(g-k)$ и $(g^2+kg+k^2)$ взаимно просты: числа $9m_1$ и $(2x_1-3^3m_1^2)$ так же взаимно простые. Поэтому должно быть $g-k=9m_1$;
$g^2+gk+k^2=2x_1-3^3m_1^2$

Во-первых, числа $g-k$ и $g^2+gk+k^2$ не взаимно просты, т.к. из первого равенства следует, что их НОД равен 3.

Во-вторых, последнее заключение я вообще не понимаю. Почему из $AB=CD$ при $(A,B)=(C,D)=1$ следует, что $A=C$ либо $A=D$?

[Батороев]

RIP писал(а):

Батороев писал(а):

при x, делящемся на 3, но не делящемся на 9, вроде, m не должно делиться на 3?

В том то и дело, что доказано, что если $x$ делится на 3, то оно обязано делиться на 9 (по крайней мере, мне так кажется).

По-видимому, г-н ljubarcev в очередной раз доказал этот факт, т.к. для указанного случая огрехов я не нашел.
Хотя, я - не показатель

[RIP]

Батороев писал(а):

RIP писал(а):

В том то и дело, что доказано, что если $x$ делится на 3, то оно обязано делиться на 9 (по крайней мере, мне так кажется).

По-видимому, г-н ljubarcev в очередной раз доказал этот факт, т.к. для указанного случая огрехов я не нашел.
Хотя, я - не показатель

Я и имел в виду, что ljubarcev доказал этот факт, а приписка в скобочках означает, что в док-ве я не нашёл (существенных) ошибок.

[Батороев]

В этом также можно убедиться путем перебора, т.е. проверки всех выражений, которым по данному обсуждению положено быть кубами, на соответствие их остатков остаткам кубов по основанию 9 (0, 1 или 8).
Кроме указанного из этого же перебора у меня получается, что возможны только три комбинации:
1.$ x\equiv{0}(mod9); y\equiv{1}(mod9); z\equiv{1}(mod9) $
2.$ x\equiv{0}(mod9); y\equiv{8}(mod9); z\equiv{8}(mod9) $
3.$ x\equiv{1}(mod9); y\equiv{8}(mod9); z\equiv{0}(mod9) $.

[ljubarcev]

RIP писал(а):

Во-первых, числа $g-k$ и $g^2+gk+k^2$ не взаимно просты, т.к. из первого равенства следует, что их НОД равен 3.

Во-вторых, последнее заключение я вообще не понимаю. Почему из $AB=CD$ при $(A,B)=(C,D)=1$ следует, что $A=C$ либо $A=D$?

RIP ! Ваше "во первых" верное и очень к месту замечание.
При $g;k$ не делящихся на $3$, число $g^3-k^3$ всегда делится на $9$. Действительно, при этом $g=3g_1+1$; $k=3k_1+1$ и
$g^3-k^3=9(g_1-k_1)(3g_1^2+3g_1k_1+3k_1^2+g_1+k_1+1)=9G$.
Из равенств п.8 $g^3-k^3=(x+y)-(z-x)=2x-(z-y)=6mx_1-9m^3=3m(x_1-3m^2)$ получаем: $9G=6mx_1-9m^3$ и $2mx_1/3=m^3-G$ - целое. Ясно, что $m$ делится на $3$, так как $x_1$ на 3 делиться не может. Действительно, при $z=3z_1+1$; $y=3y_1+1$ из $3x_1^3=z^2+zy+y^2$ после подстановки и деления на $9$ получим $x_1^3/3=z_1^2+z_1y_1+y_1^2+z1+y_1+1/3$ и ясно, что $x_1$ на $3$ не делится..
Про "во вторых" - думаю. У нас в Ростове-на-Дону - жара !
Дед.

[ljubarcev]

RIP писал(а):

.
Во-вторых, последнее заключение я вообще не понимаю. Почему из $AB=CD$ при $(A,B)=(C,D)=1$ следует, что $A=C$ либо $A=D$?

Господин RIP ! Возьмём равенство $AB=CD$. Ясно, что слева и справа мы имеем одно и тоже число. В соответствии с основной теоремой арифметики $AB=CD=a_1a_2a_3$...$a_i$ . Из этого ясно, что представление для выбранных конкретных $A;B$ $AB$ в виде $CD$ не однозначно, то есть возможны $AB=C_1D_1=C_2D_2$=...=$C_jD_j$. Количество таких представлений однозначно определяется числом простых множителей $a_i$ и их степенями.
В то же время ясно, что всегда будет и единственное представление, когда $AB=CD$, и при $(A:B)=1$ будет $(C;D)=1$, а $A=C$; $B=D$ или $A=D$; $B=C$.Этот единственный, но существующий всегда, случай я и использовал.
Дед.

[RIP]

ljubarcev писал(а):

В то же время ясно, что всегда будет и единственное представление, когда $AB=CD$, и при $(A:B)=1$ будет $(C;D)=1$, а $A=C$; $B=D$ или $A=D$; $B=C$.

Если честно, то я не совсем понял, что Вы имеете в виду сказать этими словами.

ljubarcev писал(а):

Этот единственный, но существующий всегда, случай я и использовал.

Так и получается, что Вы доказали, что этот единственный случай невозможен. Но почему невозможны все остальные возможности?

[bot]

Не вникал, какие ограничения есть на A,B,C,D.
Неужели только эти: AB=CD и (A,B)=(C,D)=1?
Тогда ведь и думать долго не надо: A=5, B=6, C=2, D=15.

[ljubarcev]

RIP писал(а):

$$x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$$

Поскольку $3|x$, то на $3$ делится хотя бы один из сомножителей справа, следовательно, они оба. Но тогда второй сомножитель делится на $3$ ровно в первой степени (т.к. $9|(z-y)^2$ и $9\nmid3zy$). Поэтому $9|z-y$, и cокращая на $27$, получим

$$x_1^3=\frac{z-y}9\cdot\left(zy+27\biggl(\frac{z-y}9\biggr)^2\right).$$

Сомножители справа взаимно просты, поэтому каждое из них является кубом, в частности $z-y=9(z-y)_1^3$.

P.S. Разумеется, предполагается, что $(x,y,z)=1$.

Господин RIP ! Бог с ними (A,B,C,D) – о них можно рассуждать до бесконечности. Рассмотрим более простое.
Возьмём исходное равенство $x^3+y^3=z^3$ при $x<y<z$ взаимно простых и $x=3x_1$ в виде приведенном Вами.

$$x_1^3=\frac{z-y}{9}\cdot \left(zy+27(\frac{z-y}{9})^2\right)$$

(1).
Из которого очевидно, что числа $\frac{z-y}{9}$ и $zy+27(\frac{z-y}{9})^2$ взаимно простые и оба должны быть кубами, то есть должно быть $(z-y)/9=m^3$ и $z-y=9m^3$; $zy+(z-y)^2/3=zy+27m^3=b^3$. Тогда должно быть $x_1^3/9=m^3b^3$ и $x_1^3=9m^3b^3$, то есть куб целого числа должен равняться девяти кубам другого числа. Но последнее в целах числах невозможно.
Можно и немного по другому.
Подставив в (1) $z-y=9m^3$ получим, после деления на $9$, $x_1^3/9=m^3( zy+27m^3)$ из которого ясно, что $x_1$ должно делится на $3$. В то же время, после деления на $m^3$, получим $(x_1/m)^3=9(zy+27m^3)$ , то есть $x_1$ должно делиться и на $m$. Таким образом должно существовать $x_1=3mx_2$.
Но тогда должно быть $3^3m^3x_2^3=9m^3(zy+27m^3)$ и после деления на $3^3m^3$ должно быть $x_2^3=zy/3+3^2m^3$, что в целых числах невозможно, так как ни $z$ ни $y$ на $3$ не делятся.
Дед.

[RIP]

ljubarcev писал(а):

Подставив в (1) $z-y=9m^3$ получим, после деления на $9$, $x_1^3/9=m^3( zy+27m^3)$...

Ничего делить не нужно, там уже всё поделено, что нужно. Получится

$$x_1^3=m^3(zy+27m^3).$$

[ljubarcev]

RIP писал(а):

ljubarcev писал(а):

Подставив в (1) $z-y=9m^3$ получим, после деления на $9$, $x_1^3/9=m^3( zy+27m^3)$...

Ничего делить не нужно, там уже всё поделено, что нужно. Получится

$$x_1^3=m^3(zy+27m^3).$$

Господин RIP ! Согласен. Если продолжать дальше, то необходимо доказыватьь, что $x_2^3=zy+27m^3$, так как из $x_1^3=m^3(zy+27m^3$ ясно, что $x_1=mx_2$.
Если позволите, давайте пока отвлечемся на нижеследующее рассуждение.
Допустим, существует равенство $x^3+y^3=z^3$ при $x<y<z$ целых положительных взаимно простых. Доказано, что при этом одно из чисел должно делиться на $3$. Положим, что это будет $x$, то есть $x=3x_1$, тогда ни $y$, ни $z$ на $3$ не делятся.
Доказано, что при этом должно быть $z-y=3^5m^3$; $z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
и $z-x$ и $z^2+zx+x^2$ взаимно просты, $x+y$ и $y^2-xy+x^2$ так же взаимно простые.
Из $y^3=(z-x)(z^2+zx+x^2)=k^3(z^2+zx+x^2)$ ясно, что число $z^2+zx+x^2$ то же должно быть кубом, то есть должно быть $y^3=y_1^3Y_2^3$ и $y_1^3=z-x=k^3$ : $y_2^3=z^2+zx+x^2$.
Уравнение $y_2^3=z^2+zx+x^2$ имеет бесконечное число решений в целых числах и все эти решения определяются из равенств: $y_2^3=a^2+ab+b^2$; $z=a^3+3a^2b-b^3$; $x=-3ab(a+b)$, где $a$ и $b$ пара любых целых чисел.
Например. При $a=1$; $b=1$; $y_2=3$; $z=3$; $x=-6$; $3^3=y_2^3=z^2+zx+x^2=3^3-3\cdot 6+(-6)^2=27=3^3$.
$a=5$; $b=2$; $y_2=39$; $z=267$; $x=-210$ и $39^3=267^2-267*210+210^2=59319=39^3$ и т.д.
Не трудно заметить, что ни одно из этого бесконечного множества решений не приводит к решению исходного равенства $x^3+y^3=z^3$, Действительно, так как при $y_2^3=z^2+zx+x^2$ необходимо $z-x=a^3+3a^2b-b^3+3ab(a+b)$ ,так как $x$ отрицательно, поэтому $z-x>z$, а при $x^3+y^3=z^3$ необходимо $y>z-x$ и получается $y>z-x>z$, что противоречит исходному предположению $x<y<z$.
Дед.

[ljubarcev]

Уважаемые господа ! Прошу прощения, но в последнем сообщении опечатка:
Имеется: $y_2^3=a^2+ab+b^2$; должно быть: $y_2=a^2+ab+b^2$. На суть рассуждения это не влияет, но всё таки...
Дед.