Давно доказано (и это совсем не трудно), что если уравнение вида

имеет решения в целых числах, то должны существовать решения в целых числах уравнения

, где

- целое простое число, а

взаимно простые целые числа.
1.Допустим, что в целых числах имеет место равенство

(1) при

-целом простом и

взаимно простых и

. Тогда :

(2). Всегда

можно представить в виде

, где

– целое число,

- целый остаток при делении

на

. Всегда число

меньше

и взаимно просто с ним.
После подстановки

в (2) и возведения в степень получаем:
и после деления всего равенства на

получим:

.
В последнем равенстве все слагаемые кроме одного– целые числа, следовательно, что бы равенство имело место в целых числах, необходимо что бы и дробь

была целым числом. Так как

и

и

взаимно просты, очевидно, что

будет целым только и только при

.
Таким образом приходим к выводу: что бы равенство

имело решения в целых числах необходимо, что бы число

делилось на число

, то есть должно быть

.
2. Теперь возьмем

, и подставим в исходное равенство, представив число

в виде

.
Получаем:

.
С учетом того, что

, после деления всего равенства на число

получаем, что должно иметь решения в целых числах равенство

.
В последнем выражении все слагаемые кроме последнего целые
числа. Что бы равенство имело место в целых числах необходимо,
что бы дробь

была целым числом.
Так как числа

и

взаимно просты и

не равно 1, то дробь будет целым числом тогда и только тогда, когда

.
3. В соответствии с малой теоремой Ферма для любых чисел

справедливо

,

,

.
Сложив два первых и вычтя третье из равенств, с учетом того, что в нашем случае

получим, что тройка чисел
должна удовлетворять условию

:

- целое число, то есть должно быть

.
Выше доказано, что должно быть и

, поэтому должно быть

, то есть число

должно делиться на

.
Этим доказано, что если имеет место равенство

, то
одно из чисел удовлетворяющей ему тройки

должно делиться на

. Таким образом доказано, что в так называемом первом случае теоремы, когда ни одно из чисел тройки не делится на

, утверждение П.Ферма верно.
4. Выше доказано: что бы имело место равенство

,
должно быть

,

, то есть

. Так как любое

представимо в виде

, то в нашем случае при

должно быть

. Исходное равенство

принимает вид:

. После возведения в степень получаем равенство

.
С учётом того, что

после деления всего равенства на

получаем:

(3).
В последнем равенстве все слагаемые кроме последнего целые числа, так как при не четном

всегда делится на

. Последнее слагаемое - дробь

целым быть не может, так как

является простым делителем

, а числа

и

взаимно просты по предположению. Следовательно равенство (3) эквивалентное исходному равенству

невозможно в целых числах. Таким образом доказано, что и в так называемом втором случае теоремы Ферма, когда одно из чисел тройки делится на

, утверждение П.Ферма верно. Так как других случаев нет, то это и всё.
Дед.