Фильтрация фантомных решений

[ishhan]

TR63 в сообщении #694072 писал(а):

Я (и Ontt)
подразумевала, что $S^p=(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$ и рассматривала старую гипотезу.

Если устоявшиеся теории опровергаются с помощью философии, то я за философию. Здесь я имею в виду теорию устойчивости, т.к. в ней я применила именно такую (ну, почти) философию. Я не хочу сказать, что опровергаю нечто в этой теме. Просто, делюсь мыслями. Может они не верны. В этом надо разобраться (отделить зёрна от плевел).

Ещё раз повторю некоторые моменты.
Символом S и конкретно $ S^p(x,y,z)$ я обозначаю обычную симметрическую форму от трёх переменных такую, которая не меняет своего вида при любых перестановках переменных $x,y,z$ ( в случае мнимого уравнения Ферма это форма $(x+y+z)^p$ левой части уравнения.
Символом W и конкретно$W^p(x,y,z)$ я обозначаю форму симметрическую не только от трёх переменных но и от "четырёх переменных"(четвёртая переменная$ s=-x-y-z$).
Это форма для нечётных $p$ имеет вид:$ W^p(x,y,z)=(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$
и разлагается на множители
$ W^p(x,y,z)=(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p=W^3(x,y,z)W^{p-3}(x,y,z)$
Она не только обладает свойствами формы $S^p(x,y,z)$$S^p(x,y,z)=S^p(x,z,y)=S^p(y,x,z)=S^p(z,x,y)=S^p(y,z,x)=S^p(z,y,x)$
но и дополнительно к этому :
$W^p(x,y,z)=W^p(s,y,z)=W^p(x,s,z)=W^p(x,y,s)$
Поэтому мнимое уравнение Ферма для простых $p$ имеет такой вид:

$$(x+y+z)^p=W^3(x,y,z)W^{p-3}(x,y,z)=p(x+y)(x+z)(y+z)W^{p-3}(x,y,z)$$

что невольно возникает вопрос о числе делителей в левой и правой части.
Мнимое уравнение Ферма эквивалентно уравнению ферма, то есть имеет те же самые решения.
О системе уравнений и речи нет.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #694036 писал(а):

То что вы написали, сразу не понял, но всё равно очень круто получилось, мне понравилось особенно про набор качеств и непрерывность.
В этом суждении содержится что-то скорее философское нежели строгое математическое.

Уважаемые коллеги! Давно не было такой доброжелательной дискуссии! Браво! Так держать!
Предлагаю всё-таки вернуться к случаю $n=3$. Он доказан с помощью мнимой формулы? Я что-то пропустил? Если нет, то предлагаю в явном виде привести доказательство, без загромождения W-формами.
Лучше всего доказать для важного случая, когда $Z-Y=1$. Доказательство, именно, этого случая является достаточным условием существования бесконечного числа натуральных решений для $n=2$!

[ishhan]

Belfegor в сообщении #694298 писал(а):

Предлагаю всё-таки вернуться к случаю $n=3$. Он доказан с помощью мнимой формулы? Я что-то пропустил?

Уважаемый Belfegor!
Вы прекрасно знаете, что первый случай ВТФ3 доказывается при помощи мнимого уравнения Ферма мгновенно.
Это следует из алгебраической записи:

$$(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$$

и условий целостности:
1)целое число $x+y+z$- делится на $3$, что следует из того что в правой части мнимого уравнения Ферма присутствует множитель $3$
2) куб целого числа$(x+y+z)^3$-делится на $27$ и по этой причине одно из трёх целых чисел $(x+y)(x+z)(y+z)$- делится на 9, а уже из этого факта следует, что одно из чисел $x,y,z $ так же должно делиться на $3$ поскольку число $x+y+z$ целое.
Мы видим, что ключевую роль в этом коротком доказательстве исполняет число $x+y+z$, так именно благодаря его непосредственному участию в алгебраической записи мнимого уравнения Ферма для $n=3$ легко прийти к противоречию.
Если для этого числа ввести обозначение $-s=x+y+z$ то мнимое уравнение Ферма запишется как:

$$-s^3=3(s+x)(s+y)(s+z)$$

Вы Belfegor и многие другие тяготеют к случаю, когда $y+z=1$ и соответственно $s+x=-1$
и тогда:

$$s^3=3(s+y)(s+z)$$

ИМХО это ничуть не лучше чем первый вариант.

[Ontt]

ishhan в сообщении #692220 писал(а):

это целочисленные формы"содержания единица"

К сожалению, не смог найти определение термина "содержание единица". Можно Вас попросить дать его в целях моего ликбеза?
Кроме того, обратил внимание, что необходимая нам форма $3(x+y)(y+z)(z+x)$ имеет множитель $3$, и будет очень сложно (хотя, как мне кажется, возможно) в формулировке гипотезы объяснить его.

TR63 в сообщении #694023 писал(а):

Мы имеем дело с системой уравнений

Уже нет. На данный момент мы имеем гипотезу, которая рассматривает две нетождественных симметрических формы с заданными параметрами.

TR63 в сообщении #694072 писал(а):

(и Ontt)

Нет, мы уже отошли от этого.

ishhan в сообщении #694426 писал(а):

Предлагаю всё-таки вернуться к случаю $n=3$.

Поддерживаю, но очень полезно держать в голове, что в целом мы хотим получить гипотезу (и теорему) для всех $n>2$.

ishhan в сообщении #692513 писал(а):

редакция гипотезы продолжается

Чтобы не уйти по тупиковой ветви рассуждений, сразу приведу еще один пример.

1) $x=1,y=2,z=3$ - взаимно простые числа.
2) Симметрические формы $S^3(x,y,z)=x^3+y^3+z^3+4xyz$ и $W^3(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)$ однородны ($p=3$); $S^3(x,y,z) \not \equiv 0$, $W^3(x,y,z) \not \equiv 0$.
3) $S^3(x,y,z)=x^3+y^3+z^3+4xyz$ не меняется при любых перестановках переменных $x,y,z$ (но меняется при замене одного из переменных на обратную сумму всех остальных: $1^3+2^3+3^3+4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \ne (-6)^3+2^3+3^3+ 4 \cdot (-6) \cdot 2 \cdot 3$);
$W^3(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)$ не меняются при любых перестановках переменных $x,y,z$ и, кроме того, не меняются при замене одного из переменных на обратную сумму всех остальных.
4) $p=3$ - целое простое нечетное число.

Пункты 1-4 выполнены, однако $W^3(x,y,z) = S^3(x,y,z)$ ($ (1+2) \cdot (2+3) \cdot (3+1) = 1^3+2^3+3^3+4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 60$).

Здесь $W^3(x,y,z)$ и $S^3(x,y,z)$, в отличии от предыдущего примера, не имеет множителей $3$ и $5$ соответственно. При этом хочу отметить, что отсутствие как минимум множителя $3$ не является определяющим: для формы $W^3(x,y,z)=3(x+y)(y+z)(z+x)$ легко находится "пара" (при тех же условиях) - $S^3(x,y,z)=x^3+y^3+z^3+24xyz$.

[ishhan]

Ontt в сообщении #694449 писал(а):

К сожалению, не смог найти определение термина "содержание единица". Можно Вас попросить дать его в целях моего ликбеза?
Кроме того, обратил внимание, что необходимая нам форма $3(x+y)(y+z)(z+x)$ имеет множитель $3$, и будет очень сложно (хотя, как мне кажется, возможно) в формулировке гипотезы объяснить его.

Под формой содержания единица правда для "кирпичиков" из которых состоит трином я понимаю такие формы:
$x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2$
$(x+y+z)(xy+xz+zy)$
$x^3+y^3+z^3$
$xyz$
Это либо один "элементарный кирпичик" из тринома $x^n+y^n+z^n$
либо произведение таких форм $(x^n+y^n+z^n)(xy+xz+zy)(x+y+z)xyz...$
Для того что бы как то приблизиться к верной формулировке гипотезы, предполагаю что нужно придерживаться тринома.
Имеет смысл ввести понятие " мнимого триномиального уравнения"- это такое уравнение в котором один из элементарных кирпичиков тринома равен нулю.
Так если $x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2=0$
То мнимое триномиальное запишется как:
$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+6xyz$
Которое приводится к виду:
$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=6xyz$
Запись левой части обладает свойством инвариантности W
а правая нет, там только свойство инвариантности S ( чуть больше чем S, так как форма $xyz$ не меняется при смене знаков у любых двух из трёх переменных)
Но если вдруг найдётся решение этого последнего уравнения то окончательная формулировка гипотезы опять переносится:)

[ishhan]

Ontt в сообщении #694449 писал(а):

Чтобы не уйти по тупиковой ветви рассуждений, сразу приведу еще один пример.

Ontt!
Спасибо большое за помощь в отыскании численных примеров иллюстрирующих ход рассуждений по поводу правильности формулировки гипотезы о неразрешимости мнимого уравнения Ферма или триномиального уравнения.
У В.Серпинского в книге " О решении уравнений в целых числах" встречается уравнение:
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$
оно как раз в теме.
Так как трином для показателя $n=2 $ выглядит как:
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+zy)$
а простейшая форма степени 2 обладающая свойством W выглядит как:$x^2+y^2+z^2+xy+xz+zy $
В. Серпинский приводит красивые решения уравнения
$xy+xz+zy=0 $
связанное триномом с уравнением
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$
$x=k(m+n)m$
$y=k(m+n)n$
$z=-kmn$

[nnosipov]

(Оффтоп)

ishhan в сообщении #694522 писал(а):

В. Серпинский приводит красивые решения уравнения $xy+xz+zy=0 $

Ну, это легко. Нужно понять, когда $xy$ делится на $x+y$. Запишем $x=dx_1$, $y=dy_1$, где $d=\gcd{(x,y)}$. Имеем: $dx_1y_1$ делится на $x_1+y_1$. Но $\gcd{(x_1y_1,x_1+y_1)}=1$, поэтому $d$ делится на $x_1+y_1$, т.е. $d=k(x_1+y_1)$. Вот и получим $x=k(x_1+y_1)x_1$, $y=k(x_1+y_1)y_1$.

[Ontt]

ishhan в сообщении #694471 писал(а):

правда для "кирпичиков" из которых состоит трином

ishhan в сообщении #694471 писал(а):

в котором один из элементарных кирпичиков тринома

Уточните, пожалуйста, какой трином имеется ввиду?

[Belfegor]

ishhan в сообщении #694426 писал(а):

Уважаемый Belfegor!
Вы прекрасно знаете, что первый случай ВТФ3 доказывается при помощи мнимого уравнения Ферма мгновенно.

Уважаемый ishhan!
Согласен, для первого случая выглядит коротенько!
Но помнится уважаемый Феликс Шмидель привел не менее мгновенное доказательство:

Феликс Шмидель в сообщении #598348 писал(а):

Поскольку куб числа не делящегося на $3$ даёт остаток $1$ или $-1$ при делении на $9$, то $x^3+y^3$ даёт при делении на $9$ остаток $0$, $2$ или $-2$, а $z^3$ - остаток $1$ или $-1$.
Поэтому равенство $x^3+y^3=z^3$ невозможно.

А как же второй случай?

ishhan в сообщении #597311 писал(а):

Если ни одно из целых чисел$ x,y,z$ не делится на показатель степени $n$ то это называют первым случаем ВТФ.
Если же одно из чисел $x,y,z $делится на$ n $то это называют вторым случаем ВТФ.

[ishhan]

Ontt в сообщении #694559 писал(а):

Уточните, пожалуйста, какой трином имеется ввиду?

Триномом(подразумевается, что степени $p$) я обозвал по аналогии с биномом разложение мультипликативной формы: $(x+y+z)^p$ на слагаемые, каждое из которых симметрическая форма (кирпичик) c определённым весом и набором показателей степеней у переменных $i,j,k$ таким, что $i+j+k=p$
Одним из таких кирпичиков является форма $S^p_{p,0,0}=x^p+y^p+z^p$.
Вопрос в том, чем этот "кирпичик" с набором индексов(два из них равны ноль) $p,0,0$ и соответственно ему уравнение Ферма$ S^p_{p,0,0}=0 $ отличается от любого другого триномиального "кирпичика" с набором $i,j,k$ где $i+j+k=p$ и соответственно этому набору уравнением $S^p_{i,j,k}=0$ в котором два индекса не равны нулю?
Уж если разбираться с триномом, то до конца!

[Belfegor]

Уважаемый ishhan! Судя по вашему молчанию, доказательства для второго случая нет.То есть пока на форуме только уважаемый Феликс Шмидель смог оригинально доказать второй случай для $n=3$!
Что мешает мнимой формуле при доказательстве второго случая?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #694649 писал(а):

Уважаемый ishhan! Судя по вашему молчанию, доказательства для второго случая нет.То есть пока на форуме только уважаемый Феликс Шмидель смог оригинально доказать второй случай для $n=3$!
Что мешает мнимой формуле при доказательстве второго случая?

Не делайте поспешных выводов из моего молчания, пожалуйста.
Что такое теория чисел это вам известно.
Как говориться целочисленное уравнение нужно "попробовать на зуб"
И тогда начинаются:
условия целостности и всякие малопонятные простому смертному леммы и артефакты от гениев масштаба Леонарда Эйлера, Карла Фридриха Гаусса, Лежандра, Дирихле, Куммера ...
2-ой случай ВТФ, о котором одним из первых заговорил Гаусс, это свидетельство недоразвитости математического аппарата применяемого для доказательства ВТФ и не более.
Наша с вами задача найти новый современный метод доказательства ВТФ, в котором нет разделения на первый и второй случай.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #694696 писал(а):

Наша с вами задача найти новый современный метод доказательства ВТФ, в котором нет разделения на первый и второй случай.

Уважаемый ishhan! Полностью с вами согласен! Однако, о первом случае вы сами заговорили!
Тогда возвращаемся к доказательству для $n=3$, без разделения на случаи! Есть какие-нибудь наработки?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #694707 писал(а):

Тогда возвращаемся к доказательству для $n=3$, без разделения на случаи! Есть какие-нибудь наработки?

Вам нужны наработки, их есть у меня!
Это гипотеза о неразрешимости " мнимого уравнения Ферма" нечётной степени в следствии различных свойств инвариантности правой и левой части мнимого уравнения относительно преобразования переменных.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #694718 писал(а):

Это гипотеза о неразрешимости " мнимого уравнения Ферма" нечётной степени в следствии различных свойств инвариантности правой и левой части мнимого уравнения относительно преобразования переменных.

На 3 степени хоть что-нибудь вырисовывается?