2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 19  След.
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение07.03.2013, 13:33 


15/12/05
754
Ontt в сообщении #692149 писал(а):
ananova в сообщении #692139 писал(а):
Когда x+y-z=0, то непонятно почему больше нуля:
$$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y}$$
Потому что оно не больше нуля, оно равно нулю (если $x+y-z=0$ и $x^3+y^3-z^3=0$, то $xyz=0$).


Никак не могу поймать Вашу мысль. По-моему, уравнение (1) $$x+y-z = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y}   \equal(1)$$ должно выполняться для любых чисел. Например, при $x=2.6, y=3$, а $z = \sqrt[3]{x^3+y^3}$. В этом случае $ xyz$ не равно нулю.

Извините, вроде я разобрался.. (возможно).. это я Вас запутал. Уравнение (3) подходит для другого уравнения, включающего новую переменную - $m$:

Пусть $x^9+y^9=m^9$, тогда $$x^3+y^3-m^3=\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z^3-y^3} \cdot \sqrt[3]{z^3-x^3} \cdot \sqrt[3]{x^3+y^3}$$
$$x^3+y^3-m^3 = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{y^3} \cdot \sqrt[3]{z^3}$$
$$x^3+y^3-m^3 = \sqrt[3]{3} xyz \eqno(3)$$

но не совсем уверен в правильности использования $(z^3-y^3)$ и $(z^3-x^3)$. Возможно, что правильней :
$(m^3-y^3)$ и $(m^3-x^3)$, при учете, что $x$ и $y $ являются решением уравнения $ x^3+y^3=z^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение07.03.2013, 14:11 


06/02/13
325
ananova в сообщении #692166 писал(а):
Например, при $x=2.6, y=3$, а $z = \sqrt[3]{x^3+y^3}$. В этом случае $ xyz$ не равно нулю.
Всё верно. Но, заметьте, если $x=2.6, y=3$, а $z = \sqrt[3]{x^3+y^3}$, то $x+y-z \ne 0$.
Поэтому, как только мы к уравнению (1) добавляем уравнение $x+y-z=0$, система уравнений уже не выполняется для любых $x, y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение07.03.2013, 14:13 


15/12/05
754
Ontt

Я откорректировал свою мысль ;) - вроде разобрался в своих заблуждениях.

-- Чт мар 07, 2013 14:30:14 --

Перепишу по другому. Пусть $x$ и $y $ являются решением уравнения $ x^3+y^3=z^3$


Тогда $x^9+y^9=m^9$.
m, s, t - новые переменные (не целые числа).

Просматривается связь с решениями "мнимого уравнения Ферма":

$$x^3+y^3-m^3=\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{m^3-y^3} \cdot \sqrt[3]{m^3-x^3} \cdot \sqrt[3]{x^3+y^3}$$
$$x^3+y^3-m^3 = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{s^3} \cdot \sqrt[3]{t^3} \cdot \sqrt[3]{z^3}$$
$$x^3+y^3-m^3 = \sqrt[3]{3} stz \eqno(3)$$
$$z^3-m^3 = \sqrt[3]{3} stz \eqno(4)$$
$$x^3+y^3=z^3 = \sqrt[3]{3} stz + m^3 \eqno(5)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение07.03.2013, 15:29 


21/11/10
546
Ontt в сообщении #692149 писал(а):
P. S. Кстати, видно, что это контрпример к формулировке гипотезы, а не к самой гипотезе.


Ontt!
Спасибо за контрпример, честно говоря я и сам так думал, что придётся для $S^p(x,y,z)$ и $W^p(x,y,z) $ сделать оговорки по поводу того, что это целочисленные формы"содержания единица".
С окончательной формулировкой гипотезы надо разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение08.03.2013, 00:17 


16/08/09
304
"..Пикантность ВТФ состоит в том, что Пьер Ферма вырвал маленький кусочек из тождества разложения формы "Ноль Характеристики n от трёх переменных" который лишил левую часть тождества свойства инвариантности отрицательной суммы переменных , но при этом инвариантность отрицательной суммы переменных осталась в правой части тождества..."
Уважаемый ishhan! Ферма это сделал ненароком, или пытался запутать коллег по своему хобби? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение08.03.2013, 09:45 


21/11/10
546
Belfegor в сообщении #692444 писал(а):
..Пикантность ВТФ состоит в том, что Пьер Ферма вырвал маленький кусочек из тождества разложения формы "Ноль Характеристики n от трёх переменных" который лишил левую часть тождества свойства инвариантности отрицательной суммы переменных , но при этом инвариантность отрицательной суммы переменных осталась в правой части тождества..."
Уважаемый ishhan! Ферма это сделал ненароком, или пытался запутать коллег по своему хобби? :shock:

Уважаемый Belfegor !
Ферма специально мог направить по ложному пути своих последователей 8-) . Он любил подшутить над своими друзьями подсовывая им неразрешимые задачки (читал в популярной литературе в журнале "Квант" номер не помню, автор статьи женщина)
Может быть даже при помощи той самой записи на полях арифметики Диофанта в которой речь идёт "чудесной идее".
Если допустить, что в "чудесную идею" входило знание о разложение формы $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n$ на множители при нечётном$ n $,а так же её свойства инвариантности переменных, то для закрытия вопроса по ВТФ нужно было доказать только случай $n=4$, что и было сделано Пьером Ферма.
При помощи гипотезы о неразрешимости диофантовых уравнений в следствии различной инвариантности алгебраической записи правой и левой части хочется зацепиться за как можно больший кусок :roll:
После примеров уважаемого Ontt становится ясно, что класс таких неразрешимых уравнений ограничен и состоит, как минимум, из однородных симметрических форм $S^p(x,y,z)$ и $W^p(x,y,z)$ содержания единица как в левой, так и в правой части уравнения:
$S^p(x,y,z)=W^p(x,y,z)$
Где $x,y,z$- попарно простые целые числа.
Остальные требования те же, редакция гипотезы продолжается, спасибо всем за участие и с праздником Весны :D .

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение08.03.2013, 16:50 


16/08/09
304
ishhan в сообщении #692513 писал(а):
Если допустить, что в "чудесную идею" входило знание о разложение формы $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n$ на множители при нечётном$ n $,а так же её свойства инвариантности переменных, то для закрытия вопроса по ВТФ нужно было доказать только случай $n=4$, что и было сделано Пьером Ферма.


Уважаемый ishhan! Идеальная развязка этой запутанной истории! Ждём окончательной редакции Вашей гипотезы! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение09.03.2013, 13:32 


15/12/05
754
В одной из тем - http://dxdy.ru/post295018.html#p295018
я привел уравнение 5a) .

5a) (для случая p=3)
$3(x+y)(xy-zs)=s^3$

Здесь $x+y-z=s$

Приведу все подобные уравнения (с учетом инвариантности):

$$3(x+y)(xy-zs)=s^3 \eqno(5a)$$
$$3(z-x)(zx-ys)=s^3 \eqno(5b)$$
$$3(z-y)(zy-xs)=s^3 \eqno(5c)$$

Для Случая 2 ВТФ в уравнении (5a) - необходимо чтобы $x+y$ был кратен 9.
Для Случая 2 ВТФ в уравнении (5b) и (5с) - необходимо чтобы $z$ и $s$, были кратны $3^k$.

Вот при любом $k$ получается, что нет решений?

(Оффтоп)

Все подобные формы инвариантности для других степеней можно получить из уравнения 4a)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение09.03.2013, 17:46 


15/12/05
754
Хотя, если рассмотреть случай, когда $z=3z_1z_2$, $y=y_1y_2$, $x=x_1x_2$, а $s=x+y-z=3z_1y_1x_1$, то уравнение (5b) можно переписать так: $$9z_1(z-x)(z_2x-yy_1x_1) = s^3$$
$$9z_1x_1(z-x)(z_2x_2-yy_1) = s^3$$ и, если разобраться, то $(z-x)=y_1^3$, приходим к $$9z_1x_1y_1^3(z_2x_2-yy_1) = s^3$$
Как результат: $(z_2x_2-y_1^2y_2) =3z_1^2x_1^2$ , т.е. тождество и ничего нового.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение10.03.2013, 08:59 


21/11/10
546
ananova в сообщении #693027 писал(а):
Приведу все подобные уравнения (с учетом инвариантности):


Прочитав эту запись задался вопросом: в каком смысле ananova учитывает инвариантность и что она означает упомянутая в таком контексте.
На всякий случай проверим гипотезу о неразрешимости для всех подобных уравнений с показателем $p=3$ и участием форм $S$ и $W$ содержания единица.
Я конечно сморозил глупость в формулировке гипотезы, когда не упомянул о наличии скалярного множителя "вшитого" во все слагаемые формы $S$.
Скорее всего формы $S^p_{i,j,k}(x,y,z)$ однозначно определены значением индексов $i,j,k,$ и степенью$ p=i+j+k$
Так для p=3 это $S^3_{3,0,0}(x,y,z)=x^3+y^3+z^3$ далее
$S^3_{2,1,0}(x,y,z)=x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+z^2y+zy^2$
и последняя форма $S^3_{1,1,1}(x,y,z)=xyz$
Короче говоря S входят в триноминальное разложение в качестве "элементарных кирпичиков"
Так как для показателя$p=3 $имеем всего лишь одну единственную форму $W^3(x,y,z)$ с свойством инвариантности обратной суммы переменных:
$W^3(x,y,z)=W^3(s,y,z)=W^3(x,s,z)=W^3(x,y,s)$
Где $s=-x-y-z$
$$W^3(x,y,z)=(x+y)(x+z)(y+z)$$
То для проверки гипотезы следует рассмотреть разрешимость уравнений :
$$x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+z^2y+zy^2=(x+y)(x+z)(y+z)$$
$$x^3+y^3+z^3=(x+y)(x+z)(y+z) $$
$$xyz=(x+y)(x+z)(y+z) $$
$x,y,z$ -попарно простые целые (положительные и отрицательные)
Пошёл проверять :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение10.03.2013, 15:19 


06/02/13
325
ishhan в сообщении #693484 писал(а):
Скорее всего формы $S^p_{i,j,k}(x,y,z)$ однозначно определены значением индексов $i,j,k,$ и степенью$ p=i+j+k$
А как определить через $S^p_{i,j,k}(x,y,z)$ такую форму, как $S^3(x,y,z)=x^3+3 x^2 y+3 x^2 z+3 x y^2+6 x y z+3 x z^2+y^3+3 y^2 z+3 y z^2+z^3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение11.03.2013, 08:42 


21/11/10
546
Ontt в сообщении #693625 писал(а):
А как определить через $S^p_{i,j,k}(x,y,z)$ такую форму, как $S^3(x,y,z)=x^3+3 x^2 y+3 x^2 z+3 x y^2+6 x y z+3 x z^2+y^3+3 y^2 z+3 y z^2+z^3$?


Согласен, нехорошо получается, так как не участвует сам трином и его степени. Тогда к "кирпичикам" $S^p_{i,j,k}$ из которых составлен трином степени $p$ нужно добавить ещё много чего.
На примере $p=3$ к уравнениям, которые нужно проверить на разрешимость, добавятся:
$$(x+y+z)(xy+zy+zx)=(x+y)(x+z)(y+z)$$
$$(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z) $$
В итоге формы$ S^p(x,y,z)$ будут представлять собой произведения степеней тринома меньших чем $p$ и степеней $(S^n_{i,j,k})^m$... все это пока слишком сыро и, к сожалению, мало похоже на правду.
Нужно поискать другую формулировку гипотезы.
Может быть получится связать формулировку с числом делителей форм $S$ и $W$.
Скорее всего, неразрешимость мнимого уравнения Ферма в следствии того, что его правая и левая часть имеют различные свойства инвариантности переменных относится только к триному.
Нужны численные исследования и эксперименты.
Однако, факт отличия свойств инвариантности правой и левой части мнимого уравнения Ферма остаётся фактом, которому хотелось бы найти современное объяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение11.03.2013, 11:49 


03/03/12
1380
ishhan,
Вы утверждаете, что доказано: система состоит из двух эквивалентных уравнений. При $n=2$ мне это понятно (подтверждается практикой). Допустим, что Ваше утверждение верно при $n=3$. Т. е. на практике проверено некоторое свойство, дающее, как я понимаю, непрерывный сигнал относительно "правды", "лжи". Тогда сигнал от утверждения $W^p=S^p$ будет непрерывным и его достаточно проверить в одной точке. Это сделал Ontt. Моя гипотеза (предварительная; без учёта количества операций (а это важный момент)) заключается в непрерывности этого сигнала. Т.е. он- либо "непрерывная правда", либо "непрерывная ложь". Чтобы опровергнуть мою гипотезу, достаточно привести контрпример, нарушающий непрерывность этого сигнала.
С другой стороны, что означает эквивалентность двух уравнений. Я полагаю, что это эквивалентность набора качеств. Например: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3)... .Т.к. первое уравнение является тождеством, то обладает качеством непрерывности сигнала. Второе уравнение, в силу эквивалентности, тоже обладает качеством непрерывности сигнала. Является это относительно "правды" или "лжи" достаточно проверить в одной точке. Проверка элементарна: подставляте любой набор чисел из области определения и получаете ответ. Т. е. из эквивалентности двух уравнений следует, что имеем доказательство теоремы Ферма для конкретного $p=3$. Т.к. эквивалентность (ishhan) доказана для любого $p$, то можно считать, что теорема Ферма непрерывна для любого $p$. Тогда её достаточно проверить в одной точке (раз, уж, она непрерывна). Получаем, что доказана теорема Ферма. Где ошибка? (Я, думаю, результат ещё зависит от того, что ограничен или нет набор качеств .)
Я считаю, что логического доказательства эквивалентности двух уравнений для любого $p$, вероятно, нет. Возможно, есть для любого конечного, но это не означает, что для любого. Т.к., возможно, существует бесконечное $p$, существование которого нельзя подтвердить практикой, а несуществование опровергнуть логически.
Belfegor,
действительно, всё так запутано. Но, как Вы заметили, выход есть.

-- 11.03.2013, 13:03 --

(Пропустила абзац)
Мы имеем дело с системой уравнений, которая состоит либо из не эквивалентных уравнений однозначно, либо имеет место неоднозначность этого факта (порочный круг). Из этого следует наличие контрпримера к гипотезе ishhan.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение11.03.2013, 12:50 


21/11/10
546
TR63 в сообщении #694023 писал(а):
С другой стороны, что означает эквивалентность двух уравнений. Я полагаю, что это эквивалентность набора качеств. Например: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3)... .Т.к. первое уравнение является тождеством, то обладает качеством непрерывности сигнала. Второе уравнение, в силу эквивалентности, тоже обладает качеством непрерывности сигнала. Является это относительно "правды" или "лжи" достаточно проверить в одной точке. Проверка элементарна: подставляте любой набор чисел из области определения и получаете ответ. Т. е. из эквивалентности двух уравнений следует, что имеем доказательство теоремы Ферма для конкретного $p=3$. Т.к. эквивалентность (ishhan) доказана для любого $p$, то можно считать, что теорема Ферма непрерывна для любого $p$. Тогда её достаточно проверить в одной точке (раз, уж, она непрерывна). Получаем, что доказана теорема Ферма. Где ошибка? (Я, думаю, результат ещё зависит от того, что ограничен или нет набор качеств .)


Поздравляю вас TR63 с продолжающимся праздником весны!
То что вы написали, сразу не понял, но всё равно очень круто получилось, мне понравилось особенно про набор качеств и непрерывность.
В этом суждении содержится что-то скорее философское нежели строгое математическое.
TR63 в сообщении #694023 писал(а):
Пропустила абзац)
Мы имеем дело с системой уравнений, которая состоит либо из не эквивалентных уравнений однозначно, либо имеет место неоднозначность этого факта (порочный круг). Из этого следует наличие контрпримера к гипотезе ishhan.

Тут я с вами согласен.
Контрпример очень надёжная вещь.
Контрпример Ontt основан на добавлении в левую часть уравнения дополнительного множителя $d$:
$d\cdot{ S^3(x,y,z)}=W^3(x,y,z)$
тех делителей $d $
которые не может содержать форма $S^3(1,2,3)=1^3+2^3+3^3$
но которые содержатся в форме $ W^3(1,2,3)=(1+2)(1+3)(2+3) $
благодаря её свойствам инвариантности.
Этот приём легко читается и говорит только в пользу того, что форма $S^p(x,y,z)$ содержит меньшее число делителей чем $W^p(x,y,z)$, которыми Ontt прошивает форму $S^p(x,y,z)$ и доводит до состава делителей более "сложной" в плане инвариантности формы, $W^p(x,y,z)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение11.03.2013, 14:41 


03/03/12
1380
ishhan,
за поздравление спасибо.

Я (и Ontt)
подразумевала, что $S^p=(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$ и рассматривала старую гипотезу.

Если устоявшиеся теории опровергаются с помощью философии, то я за философию. Здесь я имею в виду теорию устойчивости, т.к. в ней я применила именно такую (ну, почти) философию. Я не хочу сказать, что опровергаю нечто в этой теме. Просто, делюсь мыслями. Может они не верны. В этом надо разобраться (отделить зёрна от плевел).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group