Фильтрация фантомных решений

[ananova]

Ontt в сообщении #692149 писал(а):

ananova в сообщении #692139 писал(а):

Когда x+y-z=0, то непонятно почему больше нуля:

$$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y}$$

Потому что оно не больше нуля, оно равно нулю (если $x+y-z=0$ и $x^3+y^3-z^3=0$, то $xyz=0$).

Никак не могу поймать Вашу мысль. По-моему, уравнение (1)

$$x+y-z = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y} \equal(1)$$

должно выполняться для любых чисел. Например, при $x=2.6, y=3$, а $z = \sqrt[3]{x^3+y^3}$. В этом случае $ xyz$ не равно нулю.

Извините, вроде я разобрался.. (возможно).. это я Вас запутал. Уравнение (3) подходит для другого уравнения, включающего новую переменную - $m$:

Пусть $x^9+y^9=m^9$, тогда

$$x^3+y^3-m^3=\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z^3-y^3} \cdot \sqrt[3]{z^3-x^3} \cdot \sqrt[3]{x^3+y^3}$$

$$x^3+y^3-m^3 = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{y^3} \cdot \sqrt[3]{z^3}$$

$$x^3+y^3-m^3 = \sqrt[3]{3} xyz \eqno(3)$$

но не совсем уверен в правильности использования $(z^3-y^3)$ и $(z^3-x^3)$. Возможно, что правильней :
$(m^3-y^3)$ и $(m^3-x^3)$, при учете, что $x$ и $y $ являются решением уравнения $ x^3+y^3=z^3$

[Ontt]

ananova в сообщении #692166 писал(а):

Например, при $x=2.6, y=3$, а $z = \sqrt[3]{x^3+y^3}$. В этом случае $ xyz$ не равно нулю.

Всё верно. Но, заметьте, если $x=2.6, y=3$, а $z = \sqrt[3]{x^3+y^3}$, то $x+y-z \ne 0$.
Поэтому, как только мы к уравнению (1) добавляем уравнение $x+y-z=0$, система уравнений уже не выполняется для любых $x, y$.

[ananova]

Ontt

Я откорректировал свою мысль ;) - вроде разобрался в своих заблуждениях.

-- Чт мар 07, 2013 14:30:14 --

Перепишу по другому. Пусть $x$ и $y $ являются решением уравнения $ x^3+y^3=z^3$


Тогда $x^9+y^9=m^9$.
m, s, t - новые переменные (не целые числа).

Просматривается связь с решениями "мнимого уравнения Ферма":

$$x^3+y^3-m^3=\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{m^3-y^3} \cdot \sqrt[3]{m^3-x^3} \cdot \sqrt[3]{x^3+y^3}$$

$$x^3+y^3-m^3 = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{s^3} \cdot \sqrt[3]{t^3} \cdot \sqrt[3]{z^3}$$

$$x^3+y^3-m^3 = \sqrt[3]{3} stz \eqno(3)$$

$$z^3-m^3 = \sqrt[3]{3} stz \eqno(4)$$

$$x^3+y^3=z^3 = \sqrt[3]{3} stz + m^3 \eqno(5)$$

[ishhan]

Ontt в сообщении #692149 писал(а):

P. S. Кстати, видно, что это контрпример к формулировке гипотезы, а не к самой гипотезе.

Ontt!
Спасибо за контрпример, честно говоря я и сам так думал, что придётся для $S^p(x,y,z)$ и $W^p(x,y,z) $ сделать оговорки по поводу того, что это целочисленные формы"содержания единица".
С окончательной формулировкой гипотезы надо разбираться.

[Belfegor]

"..Пикантность ВТФ состоит в том, что Пьер Ферма вырвал маленький кусочек из тождества разложения формы "Ноль Характеристики n от трёх переменных" который лишил левую часть тождества свойства инвариантности отрицательной суммы переменных , но при этом инвариантность отрицательной суммы переменных осталась в правой части тождества..."
Уважаемый ishhan! Ферма это сделал ненароком, или пытался запутать коллег по своему хобби?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #692444 писал(а):

..Пикантность ВТФ состоит в том, что Пьер Ферма вырвал маленький кусочек из тождества разложения формы "Ноль Характеристики n от трёх переменных" который лишил левую часть тождества свойства инвариантности отрицательной суммы переменных , но при этом инвариантность отрицательной суммы переменных осталась в правой части тождества..."
Уважаемый ishhan! Ферма это сделал ненароком, или пытался запутать коллег по своему хобби?

Уважаемый Belfegor !
Ферма специально мог направить по ложному пути своих последователей . Он любил подшутить над своими друзьями подсовывая им неразрешимые задачки (читал в популярной литературе в журнале "Квант" номер не помню, автор статьи женщина)
Может быть даже при помощи той самой записи на полях арифметики Диофанта в которой речь идёт "чудесной идее".
Если допустить, что в "чудесную идею" входило знание о разложение формы $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n$ на множители при нечётном$ n $,а так же её свойства инвариантности переменных, то для закрытия вопроса по ВТФ нужно было доказать только случай $n=4$, что и было сделано Пьером Ферма.
При помощи гипотезы о неразрешимости диофантовых уравнений в следствии различной инвариантности алгебраической записи правой и левой части хочется зацепиться за как можно больший кусок
После примеров уважаемого Ontt становится ясно, что класс таких неразрешимых уравнений ограничен и состоит, как минимум, из однородных симметрических форм $S^p(x,y,z)$ и $W^p(x,y,z)$ содержания единица как в левой, так и в правой части уравнения:
$S^p(x,y,z)=W^p(x,y,z)$
Где $x,y,z$- попарно простые целые числа.
Остальные требования те же, редакция гипотезы продолжается, спасибо всем за участие и с праздником Весны .

[Belfegor]

ishhan в сообщении #692513 писал(а):

Если допустить, что в "чудесную идею" входило знание о разложение формы $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n$ на множители при нечётном$ n $,а так же её свойства инвариантности переменных, то для закрытия вопроса по ВТФ нужно было доказать только случай $n=4$, что и было сделано Пьером Ферма.

Уважаемый ishhan! Идеальная развязка этой запутанной истории! Ждём окончательной редакции Вашей гипотезы!

[ananova]

В одной из тем - http://dxdy.ru/post295018.html#p295018
я привел уравнение 5a) .

5a) (для случая p=3)
$3(x+y)(xy-zs)=s^3$

Здесь $x+y-z=s$

Приведу все подобные уравнения (с учетом инвариантности):

$$3(x+y)(xy-zs)=s^3 \eqno(5a)$$

$$3(z-x)(zx-ys)=s^3 \eqno(5b)$$

$$3(z-y)(zy-xs)=s^3 \eqno(5c)$$

Для Случая 2 ВТФ в уравнении (5a) - необходимо чтобы $x+y$ был кратен 9.
Для Случая 2 ВТФ в уравнении (5b) и (5с) - необходимо чтобы $z$ и $s$, были кратны $3^k$.

Вот при любом $k$ получается, что нет решений?

(Оффтоп)

Все подобные формы инвариантности для других степеней можно получить из уравнения 4a)

[ananova]

Хотя, если рассмотреть случай, когда $z=3z_1z_2$, $y=y_1y_2$, $x=x_1x_2$, а $s=x+y-z=3z_1y_1x_1$, то уравнение (5b) можно переписать так:

$$9z_1(z-x)(z_2x-yy_1x_1) = s^3$$

$$9z_1x_1(z-x)(z_2x_2-yy_1) = s^3$$

и, если разобраться, то $(z-x)=y_1^3$, приходим к

$$9z_1x_1y_1^3(z_2x_2-yy_1) = s^3$$

Как результат: $(z_2x_2-y_1^2y_2) =3z_1^2x_1^2$ , т.е. тождество и ничего нового.

[ishhan]

ananova в сообщении #693027 писал(а):

Приведу все подобные уравнения (с учетом инвариантности):

Прочитав эту запись задался вопросом: в каком смысле ananova учитывает инвариантность и что она означает упомянутая в таком контексте.
На всякий случай проверим гипотезу о неразрешимости для всех подобных уравнений с показателем $p=3$ и участием форм $S$ и $W$ содержания единица.
Я конечно сморозил глупость в формулировке гипотезы, когда не упомянул о наличии скалярного множителя "вшитого" во все слагаемые формы $S$.
Скорее всего формы $S^p_{i,j,k}(x,y,z)$ однозначно определены значением индексов $i,j,k,$ и степенью$ p=i+j+k$
Так для p=3 это $S^3_{3,0,0}(x,y,z)=x^3+y^3+z^3$ далее
$S^3_{2,1,0}(x,y,z)=x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+z^2y+zy^2$
и последняя форма $S^3_{1,1,1}(x,y,z)=xyz$
Короче говоря S входят в триноминальное разложение в качестве "элементарных кирпичиков"
Так как для показателя$p=3 $имеем всего лишь одну единственную форму $W^3(x,y,z)$ с свойством инвариантности обратной суммы переменных:
$W^3(x,y,z)=W^3(s,y,z)=W^3(x,s,z)=W^3(x,y,s)$
Где $s=-x-y-z$

$$W^3(x,y,z)=(x+y)(x+z)(y+z)$$

То для проверки гипотезы следует рассмотреть разрешимость уравнений :

$$x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+z^2y+zy^2=(x+y)(x+z)(y+z)$$

$$x^3+y^3+z^3=(x+y)(x+z)(y+z) $$

$$xyz=(x+y)(x+z)(y+z) $$

$x,y,z$ -попарно простые целые (положительные и отрицательные)
Пошёл проверять

[Ontt]

ishhan в сообщении #693484 писал(а):

Скорее всего формы $S^p_{i,j,k}(x,y,z)$ однозначно определены значением индексов $i,j,k,$ и степенью$ p=i+j+k$

А как определить через $S^p_{i,j,k}(x,y,z)$ такую форму, как $S^3(x,y,z)=x^3+3 x^2 y+3 x^2 z+3 x y^2+6 x y z+3 x z^2+y^3+3 y^2 z+3 y z^2+z^3$?

[ishhan]

Ontt в сообщении #693625 писал(а):

А как определить через $S^p_{i,j,k}(x,y,z)$ такую форму, как $S^3(x,y,z)=x^3+3 x^2 y+3 x^2 z+3 x y^2+6 x y z+3 x z^2+y^3+3 y^2 z+3 y z^2+z^3$?

Согласен, нехорошо получается, так как не участвует сам трином и его степени. Тогда к "кирпичикам" $S^p_{i,j,k}$ из которых составлен трином степени $p$ нужно добавить ещё много чего.
На примере $p=3$ к уравнениям, которые нужно проверить на разрешимость, добавятся:

$$(x+y+z)(xy+zy+zx)=(x+y)(x+z)(y+z)$$

$$(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z) $$

В итоге формы$ S^p(x,y,z)$ будут представлять собой произведения степеней тринома меньших чем $p$ и степеней $(S^n_{i,j,k})^m$... все это пока слишком сыро и, к сожалению, мало похоже на правду.
Нужно поискать другую формулировку гипотезы.
Может быть получится связать формулировку с числом делителей форм $S$ и $W$.
Скорее всего, неразрешимость мнимого уравнения Ферма в следствии того, что его правая и левая часть имеют различные свойства инвариантности переменных относится только к триному.
Нужны численные исследования и эксперименты.
Однако, факт отличия свойств инвариантности правой и левой части мнимого уравнения Ферма остаётся фактом, которому хотелось бы найти современное объяснение.

[TR63]

ishhan,
Вы утверждаете, что доказано: система состоит из двух эквивалентных уравнений. При $n=2$ мне это понятно (подтверждается практикой). Допустим, что Ваше утверждение верно при $n=3$. Т. е. на практике проверено некоторое свойство, дающее, как я понимаю, непрерывный сигнал относительно "правды", "лжи". Тогда сигнал от утверждения $W^p=S^p$ будет непрерывным и его достаточно проверить в одной точке. Это сделал Ontt. Моя гипотеза (предварительная; без учёта количества операций (а это важный момент)) заключается в непрерывности этого сигнала. Т.е. он- либо "непрерывная правда", либо "непрерывная ложь". Чтобы опровергнуть мою гипотезу, достаточно привести контрпример, нарушающий непрерывность этого сигнала.
С другой стороны, что означает эквивалентность двух уравнений. Я полагаю, что это эквивалентность набора качеств. Например: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3)... .Т.к. первое уравнение является тождеством, то обладает качеством непрерывности сигнала. Второе уравнение, в силу эквивалентности, тоже обладает качеством непрерывности сигнала. Является это относительно "правды" или "лжи" достаточно проверить в одной точке. Проверка элементарна: подставляте любой набор чисел из области определения и получаете ответ. Т. е. из эквивалентности двух уравнений следует, что имеем доказательство теоремы Ферма для конкретного $p=3$. Т.к. эквивалентность (ishhan) доказана для любого $p$, то можно считать, что теорема Ферма непрерывна для любого $p$. Тогда её достаточно проверить в одной точке (раз, уж, она непрерывна). Получаем, что доказана теорема Ферма. Где ошибка? (Я, думаю, результат ещё зависит от того, что ограничен или нет набор качеств .)
Я считаю, что логического доказательства эквивалентности двух уравнений для любого $p$, вероятно, нет. Возможно, есть для любого конечного, но это не означает, что для любого. Т.к., возможно, существует бесконечное $p$, существование которого нельзя подтвердить практикой, а несуществование опровергнуть логически.
Belfegor,
действительно, всё так запутано. Но, как Вы заметили, выход есть.

-- 11.03.2013, 13:03 --

(Пропустила абзац)
Мы имеем дело с системой уравнений, которая состоит либо из не эквивалентных уравнений однозначно, либо имеет место неоднозначность этого факта (порочный круг). Из этого следует наличие контрпримера к гипотезе ishhan.

[ishhan]

TR63 в сообщении #694023 писал(а):

С другой стороны, что означает эквивалентность двух уравнений. Я полагаю, что это эквивалентность набора качеств. Например: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3)... .Т.к. первое уравнение является тождеством, то обладает качеством непрерывности сигнала. Второе уравнение, в силу эквивалентности, тоже обладает качеством непрерывности сигнала. Является это относительно "правды" или "лжи" достаточно проверить в одной точке. Проверка элементарна: подставляте любой набор чисел из области определения и получаете ответ. Т. е. из эквивалентности двух уравнений следует, что имеем доказательство теоремы Ферма для конкретного $p=3$. Т.к. эквивалентность (ishhan) доказана для любого $p$, то можно считать, что теорема Ферма непрерывна для любого $p$. Тогда её достаточно проверить в одной точке (раз, уж, она непрерывна). Получаем, что доказана теорема Ферма. Где ошибка? (Я, думаю, результат ещё зависит от того, что ограничен или нет набор качеств .)

Поздравляю вас TR63 с продолжающимся праздником весны!
То что вы написали, сразу не понял, но всё равно очень круто получилось, мне понравилось особенно про набор качеств и непрерывность.
В этом суждении содержится что-то скорее философское нежели строгое математическое.

TR63 в сообщении #694023 писал(а):

Пропустила абзац)
Мы имеем дело с системой уравнений, которая состоит либо из не эквивалентных уравнений однозначно, либо имеет место неоднозначность этого факта (порочный круг). Из этого следует наличие контрпримера к гипотезе ishhan.

Тут я с вами согласен.
Контрпример очень надёжная вещь.
Контрпример Ontt основан на добавлении в левую часть уравнения дополнительного множителя $d$:
$d\cdot{ S^3(x,y,z)}=W^3(x,y,z)$
тех делителей $d $
которые не может содержать форма $S^3(1,2,3)=1^3+2^3+3^3$
но которые содержатся в форме $ W^3(1,2,3)=(1+2)(1+3)(2+3) $
благодаря её свойствам инвариантности.
Этот приём легко читается и говорит только в пользу того, что форма $S^p(x,y,z)$ содержит меньшее число делителей чем $W^p(x,y,z)$, которыми Ontt прошивает форму $S^p(x,y,z)$ и доводит до состава делителей более "сложной" в плане инвариантности формы, $W^p(x,y,z)$

[TR63]

ishhan,
за поздравление спасибо.

Я (и Ontt)
подразумевала, что $S^p=(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$ и рассматривала старую гипотезу.

Если устоявшиеся теории опровергаются с помощью философии, то я за философию. Здесь я имею в виду теорию устойчивости, т.к. в ней я применила именно такую (ну, почти) философию. Я не хочу сказать, что опровергаю нечто в этой теме. Просто, делюсь мыслями. Может они не верны. В этом надо разобраться (отделить зёрна от плевел).