Фильтрация фантомных решений

[TR63]

ishhan, я предположила: результат не может быть разрывным (т. к. в данном случае теорема Ферма непрерывна). Здесь этого достаточно. Может, эта схема имеет отношение к общему случаю? Признаюсь, мне разбираться в деталях лень. Если Вы и авторитеты в данном вопросе уверенны, то мне этого достаточно (я многого не знаю и не понимаю; увы).

[ishhan]

Ontt в сообщении #691733 писал(а):

ishhan в сообщении #691698 писал(а):

Гипотеза применима не только к уравнению Ферма, но только для уравнений с тремя или двумя переменными для нечётных (не обязательно простых и тогда в разложении не будет множителя $n$ ) степеней $n$

Тогда вынужден констатировать: мы уходим на новый круг. Вы так и не доработали гипотезу, чтобы бы она учитывала:
1) наличие у "уравнения Ферма" множества решений в целых числах вида $xyz=0$;
2) наличие контрпримеров, например уравнения $(x+y)^3=3xy(y+x)$, имеющего множество решений в целых числах.

Пардоньте, но с этого же условия $xyz\ne{0}$ начинается признанное
доказательство Уайлза.
Вот и приведите пожалуйста это множество решений уравнения: $(x+y)^3=3xy(y+x)$
Тогда все увидят, что речь идёт о тривиальных решениях, которые описываются этой алгебраической записью на уровне делителей нуля.

[Ontt]

ishhan в сообщении #691735 писал(а):

речь идёт о тривиальных решениях

Именно. А Ваша гипотеза утверждает, что у нуля могут быть делители.

-- 06.03.2013, 15:39 --

(Оффтоп)

ishhan в сообщении #691735 писал(а):

Пардоньте, но с этого же условия $xyz\ne{0}$ начинается признанное
доказательство Уайлза.

Мне кажется, что Вы сейчас путаете свою гипотезу с признанным доказательством Уайлза.

[ishhan]

Ontt в сообщении #691750 писал(а):

Именно. А Ваша гипотеза утверждает, что у нуля могут быть делители.

К сведениию.
Форма: $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n$ в "Алгебре" у Ван Дер Вардена называется "ноль характеристики $n$ от трёх переменных".
И она разлагается на множители, поэтому у "нуля от трёх переменных" есть делители

[Ontt]

ishhan в сообщении #691774 писал(а):

К сведениию.
Форма: $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n$ в "Алгебре" у Ван Дер Вардена называется "ноль характеристики $n$ от трёх переменных".
И она разлагается на множители, поэтому у "нуля от трёх переменных" есть делители

Я спешу напомнить Вам, что мы рассматриваем не "Алгебру" ван дер Вардена, а Вашу гипотезу. Которая гласит:

ishhan в сообщении #691679 писал(а):

целое число записанное при помощи формы $W^p(x,y,z) $имеет дополнительные делители

Нуль - целое число, которое я могу записать с помощью формы $W^p(x,y,z) $. Однако в соответствии с гипотезой у этого нуля будут какие-то "дополнительные делители". Я затрудняюсь назвать даже один делитель, не то что дополнительные.

[ishhan]

Ontt в сообщении #691796 писал(а):

Нуль - целое число, которое я могу записать с помощью формы $W^p(x,y,z) $

Правильно будет "нуль по модулю $q$".
И как вы справедливо заметили, дополнительным делителем вида W будет по крайней мере один делитель, и,возможно не взаимно простой с делителями вида S.
Численные примеры приведу позже.

[Ontt]

ishhan в сообщении #691679 писал(а):

целое число записанное при помощи формы $W^p(x,y,z) $

ishhan в сообщении #691818 писал(а):

Правильно будет "нуль по модулю $q$".

Ну и как Вас понимать?
Очень неудобно, что отсутствует однозначная формулировка гипотезы, и приходится задавать уточняющие вопросы и догадываться, что имелось ввиду. Можно Вас попросить записать гипотезу целиком в явном виде?

[ishhan]

Ontt!
Уточняю гипотезу таким образом, что бы отсечь тривиальные решения.
Пусть:
1) $x,y,z$ попарно простые целые числа.

2) Симметрические формы $W^p(x,y,z)$ и $S^p(x,y,z)$ от двух или трёх переменных не равные нулю тождественно.

3)$S^p(x,y,z)$-не меняются при любых перестановках переменных $x,y,z$
$W^p(x,y,z)$ - не меняются при любых перестановках переменных $x,y,z $ и кроме того не меняются при замене одного из переменных на обратную сумму всех остальных$ W^p(x,y,z) =W^p(s,y,z) =W^p(x,s,z) =W^p(x,y,s) $, где $s=-x-y-z$

4)Показатель степени $p$ любое целое число не обязательно простое или нечётное.

Если все пункты 1-4 выполняются , то равенство значений этих форм в целых числах невозможно $W^p(x,y,z)\ne{S^p(x,y,z)}$
Такая вот новая редакция.
Буду очень благодарен и всячески признателен тому, кто найдёт контрпример
P.S. Насчёт показателя степени засомневался, может быть существует связь с числом переменных.
Прошу строго не судить, так как моя гипотеза основано только на эмпирических математических наблюдениях.

[ananova]

Ontt в сообщении #691796 писал(а):

ishhan в сообщении #691774 писал(а):

К сведениию.
Форма: $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n$ в "Алгебре" у Ван Дер Вардена называется "ноль характеристики $n$ от трёх переменных".
И она разлагается на множители, поэтому у "нуля от трёх переменных" есть делители

Я спешу напомнить Вам, что мы рассматриваем не "Алгебру" ван дер Вардена, а Вашу гипотезу. Которая гласит:

ishhan в сообщении #691679 писал(а):

целое число записанное при помощи формы $W^p(x,y,z) $имеет дополнительные делители

Нуль - целое число, которое я могу записать с помощью формы $W^p(x,y,z) $. Однако в соответствии с гипотезой у этого нуля будут какие-то "дополнительные делители". Я затрудняюсь назвать даже один делитель, не то что дополнительные.

Про мнимые делители нуля - мне любопытно, т.к. какое-то время я потратил в попытках найти логику в нижеследующем.

Пусть $x+y>z$, тогда

$$x+y=z+ \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y} \eqno(1)$$

Как вычислить предел, когда $ \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y} $ стремиться к нулю? Поясню. При $x+y=z$, имеем согласно (1):

$$x+y=z+ (0=\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y}) \eqno(2)$$

Пусть $x^3+y^3=z^3$, тогда

$$x^3+y^3=z^3+ (0= \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z^3-y^3} \cdot \sqrt[3]{z^3-x^3} \cdot \sqrt[3]{x^3+y^3})$$

$$x^3+y^3=z^3 + (0=\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{y^3} \cdot \sqrt[3]{z^3})$$

$$x^3+y^3=z^3+ (0= \sqrt[3]{3} xyz) \eqno(3)$$

Особенно интересен случай для действительных чисел.

[Ontt]

ishhan в сообщении #692036 писал(а):

Буду очень благодарен и всячески признателен тому, кто найдёт контрпример

1) $x=1,y=2,z=3$ - взаимно простые числа.
2) Симметрические формы $S^3(x,y,z)=216-x^3-y^3-z^3$ и $W^3(x,y,z)=3(x+y)(y+z)(z+x)$; $S^3(x,y,z) \not \equiv 0$, $W^3(x,y,z) \not \equiv 0$.
3) $S^3(x,y,z)=216-x^3-y^3-z^3$ не меняется при любых перестановках переменных $x,y,z$ (но меняется при замене одного из переменных на обратную сумму всех остальных: $216-1^3-2^3-3^3 \ne 216-(-6)^3-2^3-3^3$);
$W^3(x,y,z)=3(x+y)(y+z)(z+x)$ не меняются при любых перестановках переменных $x,y,z$ и, кроме того, не меняются при замене одного из переменных на обратную сумму всех остальных.
4) $p=3$ - целое простое нечетное число.

Пункты 1-4 выполнены, однако $W^3(x,y,z) = S^3(x,y,z)$ ($3 \cdot (1+2) \cdot (2+3) \cdot (3+1) = 216-1^3-2^3-3^3 = 180$).

[ishhan]

ananova в сообщении #692078 писал(а):

Про мнимые делители нуля - мне любопытно, т.к. какое-то время я потратил в попытках найти логику в нижеследующем.

Пусть $x+y>z$, тогда

$$x+y=z+ \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y} \eqno(1)$$

Немного подправлю, так речь идёт не о мнимых делителях, а о мнимом уравнении Ферма

$$(x+y-z)^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$$

Вы приводите "мнимое уравнение Ферма" в очень странном виде.

$$x+y=z+ \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y} \eqno(1)$$

Форма это алгебраическая запись со свойством однородности:$S^3(ax,ay,az)=a^3S^3(x,y,z)$

Ontt в сообщении #692084 писал(а):

Симметрические формы $S^3(x,y,z)=216-x^3-y^3-z^3$ и

Это алгебраическая запись не обладает свойством однородности.
Привожу простейшие формы со свойством W:
$x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz $
$(x+y)(x+z)(y+z)$
И со свойством S
$xy+xz+zy$
$x^2+y^2+z^2$
$(x+y+z)^3$

[Ontt]

ishhan в сообщении #692088 писал(а):

Форма это алгебраическая запись со свойством однородности

Да, спасибо. Поспешил с контрпримером.

[ananova]

ishhan в сообщении #692088 писал(а):

Немного подправлю, так речь идёт не о мнимых делителях, а о мнимом уравнении Ферма

$$(x+y-z)^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$$

Вы приводите "мнимое уравнение Ферма" в очень странном виде.

$$x+y=z+ \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y} \eqno(1)$$

Я просто извлек кубический корень из "мнимого уравнения Ферма".

$$x+y-z=\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y} \eqno(1)$$

(Не надо "пугаться" $\sqrt[3]{3}$, т.к. множитель $\sqrt[3]{3^2}$ может присутствовать в одном из множителей.)

[ananova]

$$x+y-z=\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y} \eqno(1)$$

Когда x+y-z=0, то непонятно почему больше нуля:

$$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y}$$

[Ontt]

ananova в сообщении #692139 писал(а):

Когда x+y-z=0, то непонятно почему больше нуля:

$$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{z-y} \cdot \sqrt[3]{z-x} \cdot \sqrt[3]{x+y}$$

Потому что оно не больше нуля, оно равно нулю (если $x+y-z=0$ и $x^3+y^3-z^3=0$, то $xyz=0$).

-- 07.03.2013, 13:12 --

ishhan в сообщении #692036 писал(а):

Буду очень благодарен и всячески признателен тому, кто найдёт контрпример

Попытка номер два.

1) $x=1,y=2,z=3$ - взаимно простые числа.
2) Симметрические формы $S^3(x,y,z)=5x^3+5y^3+5z^3$ и $W^3(x,y,z)=3(x+y)(y+z)(z+x)$ однородны ($p=3$); $S^3(x,y,z) \not \equiv 0$, $W^3(x,y,z) \not \equiv 0$.
3) $S^3(x,y,z)=5x^3+5y^3+5z^3$ не меняется при любых перестановках переменных $x,y,z$ (но меняется при замене одного из переменных на обратную сумму всех остальных: $5 \cdot 1^3+5 \cdot 2^3+5 \cdot 3^3 \ne 5 \cdot (-6)^3+5 \cdot 2^3+5 \cdot 3^3$);
$W^3(x,y,z)=3(x+y)(y+z)(z+x)$ не меняются при любых перестановках переменных $x,y,z$ и, кроме того, не меняются при замене одного из переменных на обратную сумму всех остальных.
4) $p=3$ - целое простое нечетное число.

Пункты 1-4 выполнены, однако $W^3(x,y,z) = S^3(x,y,z)$ ($3 \cdot (1+2) \cdot (2+3) \cdot (3+1) = 5 \cdot 1^3+5 \cdot 2^3+5 \cdot 3^3 = 180$).

-- 07.03.2013, 13:15 --

P. S. Кстати, видно, что это контрпример к формулировке гипотезы, а не к самой гипотезе.