Анализ поведения материи на планковском масштабе

[aklimets]

myhand в сообщении #690266 писал(а):

А если не побояться и учесть, что - будет что-то иное?! Эта формула неверна не потому, что вы не учитываете "орбитального момента" - а потому, что вы рассматриваете релятивистские (и тем более ультра) частицы.

Неужто не понятно, что первая формула в этом приближении есть часть формулы из первого поста (положите в ней $m=0$ , пренебрегите моментом импульса). То есть это часть релятивистской формулы Гамильтона-Якоби.

myhand в сообщении #690266 писал(а):

А давайте - не побоимся и "подставим" из второго закона Ньютона, к примеру? "Получим" (точно как только что сделали вы) - совершенно бессмысленное и неверное соотношение, связывающее "силы", "ускорения" и вашу .

Рассуждения здесь качественные, в рамках оценки, поэтому не дурите головы с ускорениями.

myhand в сообщении #690266 писал(а):

Нет, не "аналогично" (подразумевая под энергией - тот бред, который вы получили). Ваша "энергия", к примеру, содержит при члене множитель, зависящий от .

Аналогично в смысле, что и там и там есть уравнение для полной энергии двух частиц, и там и там можно и нужно воспользоваться соотношением неопределенностей Гейзенберга. Не искажайте.

myhand в сообщении #690266 писал(а):

В сухом остатке - вы получили из допущенных вами констант (скорость света, гравитационная, постоянная Планка) - единственный параметр с размерностью длины. Вот и все.

Это понятно и без данной кучи бреда - просто из соображений размерностей. Вот и вся великая физика "планковской длины", вот почему этот масштаб встречается в теории струн, петлевой квантовой гравитации т.п. Нету других - этот факт еще тому самому Планку был известен.

Да нет, дорогой. Здесь планковская длина появляется естественным образом, из физики процесса, а у вас в теории струн из пальца, "руками". Тут соображений размерности недостаточно. Мало ли что кому было известно насчет масштаба. А вот теперь действительно известно. Так что не надо ля-ля.
Кстати, если кто-то не заметил. И в этих простых оценочных рассуждениях гравитационный радиус $r_g$ опять появился вместе с импульсом, т.е. $r_g=(2G/C^3)P$. Поэтому соотношение неопределенностей $\Delta r_g\Delta r\ge\ell^2_{pl}$ очень даже имеет место быть. Не забыли бы об этом упоминать при случае, кто автор.

[aklimets]

Чтобы не быть голословным по поводу так называемой "массы $p/c$" безмассовой частицы (например фотона) в системе из двух гравитационно взаимодействующих частиц, рассмотрим следующее. Известно, что масса покоя сложной системы определяется согласно формуле

$$M^2c^2=E^2/c^2-\vec P^2$$

где $E$ полная энергия системы, а $\vec P$ ее полный импульс. Пока частицы не взаимодействуют, энергия системы является суммой энергий частиц, образующих систему $E=\sum\epsilon_i$, то есть является аддитивной. Полный импульс системы векторно складывается из импульсов отдельных частиц и аддитивен всегда: $\vec P=\sum\epsilon_i$. Тогда первое уравнение можно записать в виде

$$M^2c^2=\frac{1}{c^2}\left (\sum\epsilon_i\right )^2-\left (\sum\vec p_i\right )^2$$

В системе отсчета, в которой полный импульс $\vec P$ равен нулю, получим $M=\frac{1}{c^2}\sum\epsilon_i$ Но энергию отдельной частицы всегда можно представить в виде суммы энергии покоя и кинетической энергии

$$\epsilon_i=m_ic^2+T_i$$

Тогда получим

$$M=\sum m_i+\frac{1}{c^2}\sum T_i$$

Отсюда следует, что масса покоя системы превосходит сумму масс покоя составляющих частиц (деленную на $c^2$) вычисленную в системе отсчета, где полный импульс $\vec P=0$.
Для системы, состоящей из безмассовых частиц, кинетическая энергия каждой частицы равна $p c$. Тогда из последнего уравнения получим

$$M=\frac{1}{c^2}\sum p_ic=\sum \frac{p_i}{c}$$

то есть в системе, где полный импульс $\vec P=0$, "массу" каждого фотона можно определить как $p/c$. Согласно этому определению приведенная "масса" системы из двух фотонов определяется так

$$\frac{(p/c)(p/c)}{p/c+p/c}=p/2c$$

О чем все это говорит. О том, что в системе, состоящей из безмассовых частиц, с величинами $p/c$ можно работать как с обычными массами, в том числе и подставлять их в формулу для энергии гравитационного взаимодействия. Что и требовалось доказать.

[Утундрий]

aklimets в сообщении #690438 писал(а):

О чем все это говорит.

О том, что набором произвольных постулатов можно "доказать" что угодно.

[aklimets]

Конечно, нужно учитывать векторный характер импульсов фотонов, но в системе 2-х взаимодействующих частиц импульсы частиц всегда направлены в противоположные стороны, поэтому все ок.

[myhand]

aklimets в сообщении #690311 писал(а):

То есть это часть релятивистской формулы Гамильтона-Якоби.

Нет. Это обрывки знаний из ньютоновской физики, что вдолбили в вас, видимо, в рамках еще школьной программы. Для ультрарелятивистских частиц все выписанное - бред.

aklimets в сообщении #690311 писал(а):

Рассуждения здесь качественные, в рамках оценки

"В рамках оценки" - здесь "качественным" является только довод размерностей. И то, его привели не вы.

Все остальное - безграмотная чепуха в решете.

aklimets в сообщении #690311 писал(а):

Аналогично в смысле, что и там и там есть уравнение для полной энергии двух частиц

Вам объясняют - гамильтониан системы совершенно другой. Он у вас принципиально иначе устроен. Вы поломали нерелятивистское уравнение Шредингера, с помощью которого можно строго обосновать метод получения той оценки, которой вас обучили в какой-то популярной книжке и которую вы тупо пытаетесь применить к данному случаю.

aklimets в сообщении #690311 писал(а):

Здесь планковская длина появляется естественным образом, из физики процесса

Беда в том, что "физику процесса" вы не знаете совсем. А "естественным образом" у вас появляется только новая порция безграмотного бреда.

aklimets в сообщении #690311 писал(а):

Тут соображений размерности недостаточно.

Более чем достаточно. Нет другого характерного масштаба, который можно построить из имеющихся констант, которые относятся к данному кругу явлений.

aklimets в сообщении #690438 писал(а):

... Отсюда следует, что масса покоя системы превосходит сумму масс покоя составляющих частиц (деленную на $c^2$) вычисленную в системе отсчета, где полный импульс $\vec P=0$.

На этом месте закончился более-менее разумный копипаст из какого-то учебника.

Дальше идет лабуда:

aklimets в сообщении #690438 писал(а):

Для системы, состоящей из безмассовых частиц, кинетическая энергия каждой частицы равна $p c$. Тогда из последнего уравнения получим

$$M=\frac{1}{c^2}\sum p_ic=\sum \frac{p_i}{c}$$

то есть в системе, где полный импульс $\vec P=0$, "массу" каждого фотона можно определить как $p/c$.

Вы сначала определили $p_i c$ - как кинетическую энергию фотона. Т.е. это был ваш $T_i$ в системе отсчета, где полный импульс 0. Из формулы $M=\frac{1}{c^2}\sum p_ic$ следует, что $m_i=0$, как и положено для масс покоя. Затем, ничтоже сумняшеся, "доопределили" еще $m_i = p_i/c$. Но тогда из этой же самой формулы будет следовать, что $T_i$ у вас равны 0.

Кому-то еще смешно от этого? Честно говоря, мне данный кретинизм уже поднадоел.

aklimets в сообщении #690438 писал(а):

Согласно этому определению приведенная "масса" системы из двух фотонов определяется так

$$\frac{(p/c)(p/c)}{p/c+p/c}=p/2c$$

Вам же уже объясняли, что "приведенная масса" - понятие ньютоновской физики. В релятивистской оно бесполезно.

aklimets в сообщении #690462 писал(а):

Конечно, нужно учитывать векторный характер импульсов фотонов

Извините, вы упертый баран.

aklimets в сообщении #690462 писал(а):

в системе 2-х взаимодействующих частиц импульсы частиц всегда направлены в противоположные стороны

И даже это - неверно. Неверно в реальной классической гравитации для релятивистских частиц. Неверно в электродинамике.

[aklimets]

Не могу понять, к чему это упорное сопротивление очевидному. Ради защиты надуманной теории струн? Так повторюсь. В теории струн исходная посылка была неверной. В этом суть. А вся остальная математика, какой бы красивой она не была - для физики хлам. Жаль, конечно, напрасный труд армии физиков. Но истина в другом. Повторю рассуждения еще раз. Вот здесь уже придраться будет к не к чему (конечно, на качественном уровне).
Исходим из анализа размерностей. Гравитационное поле совершает нулевые колебания. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится не похожей на евклидову. Степень отклонения $\eta$ геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала $\Phi$ и квадрата скорости света $c$:

$$\eta = \frac{\Phi}{c^2}$$

Когда $\eta\ll 1$, геометрия близка к евклидовой; при $\eta=1$ всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба $l$ равна

$$E=h\,v=\frac{h\,c}{l}$$

Здесь $c/l$ - порядок частоты колебаний, $h$ -- постоянная Планка. Гравитационный потенциал $\Phi$, создаваемый массой $m$, на такой длине есть

$$\Phi=\frac{G\,m}{l}$$

где $G$ -- постоянная всемирного тяготения.
Вместо $m$ следует подставить массу, которой соответствует энергия $E\,(m=E/c^2)$. Получаем

$$\Phi=\frac{G}{c^2}\frac{E}{l}= \frac{G\,h}{c\,l^2}$$

Разделив это выражение на $c^2$, получим величину $\eta$

$$ \eta=\frac{\Phi}{c^2}=\frac{G\,h}{c^3\,l^2}=\frac{l^2_{pl}}{l^2}$$

Ясно, что

$$\eta=\frac{\Phi}{c^2}=\frac{r_{g}}{r}$$

Поэтому при качественном анализе при переходе к планковскому масштабу вместо отношения $r_g/r$ подставляем отношение $\ell^2_{pl}/r^2$.
Далее. Исходя из вышеизложенного, обратимся к метрике ОТО для центрально-симметричного поля и к уравнению Гамильтона-Якоби, но уже применительно к планковскому масштабу (смотрите мой первый пост).
При качественном анализе мы можем подставить в эти уравнения вместо величины $r_g/r$ величину $\ell^2_{pl}/r^2$, вместо импульса $P_r$ величину $n\,\hbar/r$ (исходя из условия квантования момента Бора), вместо момента импульса $M^2$ величину $\hbar^2l(l+1)$, где $n,l=0,1,2,\dots$, $n$ -- главное квантовое число, $l$ -- орбитальное квантовое число. Получим

$$dS^2=\left( 1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ 1-{\ell^2_{pl}}/{r^2}}-r^2(d\Omega^2+\sin^2\Omega d\varphi^2)$$

$$E(r)^2=\left (1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right)^2 \frac{\hbar^2c^2}{r^2}n^2+\left (1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right) \frac{\hbar^2c^2}{r^2}l(l+1)+\left (1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right)m^2c^4$$

Вот и все. Какие Вам еще нужны доказательства? Исследуйте эти уравнения, хотя бы графически. Проанализируйте функцию $E(r)$. И Вы многое поймете. Проверьте ее в многомерных пространствах, как это сделал Эренфест. А ловить у меня блох можно, но это не отменяет главного. Вот такой качественный подход - это и есть физика (ну точно, как у Бора в его первой статье по квантовой физике). А математика появится позже, когда-нибудь. Для этого есть физики, специализирующиеся на математической физике. Главное здесь понять физику процесса. А она заключается в следующем. Нельзя увеличивать энергию взаимодействия до бесконечности. При таком увеличении будут нарастать гравитационные эффекты, которые в конце концов приведут к коллапсу материи на каком-то масштабе энергий. И действительно, таким масштабом оказался планковский масштаб. На таком масштабе материя не может находиться в несколлапсированном состоянии, в том числе и Ваши гипотетические струны. Или Вы будете упорно настаивать на своем?

[myhand]

aklimets в сообщении #691139 писал(а):

В теории струн исходная посылка была неверной.

Не удостоите нас чести рассказать о сей "исходной" посылке?

aklimets в сообщении #691139 писал(а):

А вся остальная математика, какой бы красивой она не была - для физики хлам.

Крайне опрометчиво называть "хламом" то, в чем вы, мягко говоря, не бум-бум.

aklimets в сообщении #691139 писал(а):

ну точно, как у Бора в его первой статье по квантовой физике

Классик в гробу переворачивается...

aklimets в сообщении #691139 писал(а):

Степень отклонения $\eta$ геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала $\Phi$ и квадрата скорости света $c$

В реальной физики - нет такой "степени". Этому соотношению можно придать физический смысл, но вы просто взяли нечто в очередной раз, с потолка.

Дальнейший хлам - страдает все теми же "болезнями", что и остальные ваши "доказательства". "Подставим вместо константы $m$ - отношения силы к ускорению"...

Для начала, аккуратно проведите процедуру квантования "по-Бору" (на самом деле, по Бору-Зоммерфельду) механической системы с таким хитрым гамильтонианом (буде оно вообще возможно, что не факт). Ваш "результат" $E(r)$ - совершенно бессмысленный. Это не уровни энергии частицы в гравитационном поле, какая-то зависимость от $r$ - это вообще невесть что. А если рассматривать это как спектр уровней - результат неверный, он элементарно не удовлетворяет принципу соответствия (ЗВТ Ньютона даст совершенно другой спектр).

aklimets в сообщении #691139 писал(а):

На таком масштабе материя не может находиться в несколлапсированном состоянии, в том числе и Ваши гипотетические струны.

Я честно признаю, что о том что происходит на этом масштабе - могу строить только догадки. Все, что строго следует из известных фактов - существующие параметры физических теорий позволяют построить такую характерную "длину".

[aklimets]

myhand в сообщении #691154 писал(а):

Для начала, аккуратно проведите процедуру квантования "по-Бору" (на самом деле, по Бору-Зоммерфельду) механической системы с таким хитрым гамильтонианом (буде оно вообще возможно, что не факт). Ваш "результат" - совершенно бессмысленный. Это не уровни энергии частицы в гравитационном поле, какая-то зависимость от - это вообще невесть что. А если рассматривать это как спектр уровней - результат неверный, он элементарно не удовлетворяет принципу соответствия (ЗВТ Ньютона даст совершенно другой спектр).

Не, ну сразу было сказано, рассмотрение качественное, важен лишь порядок величин. Возьмите $n=1; l=1$, об уровнях можно будет что-то говорить при точной теории.

myhand в сообщении #691154 писал(а):

Я честно признаю, что о том что происходит на этом масштабе - могу строить только догадки. Все, что строго следует из известных фактов - существующие параметры физических теорий позволяют построить такую характерную "длину".

Вот, уже теплее.
Тем не менее в теории струн характерная длина не строится, а просто вводится "руками".
А исходной посылкой в теории струн является понятие одномерной струны с характерной длиной.
А принцип соответствия - положите $r_g/r=\ell^2_{pl}/r^2=0$ и получите обычное релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби (ЛЛ,с. 50). Переход к предельному случаю классической механики там же и указан. Т.е. при $c$ стремится к бесконечности оно переходит в классическое уравнение Гамильтона-Якоби.

[myhand]

aklimets в сообщении #691269 писал(а):

Не, ну сразу было сказано, рассмотрение качественное, важен лишь порядок величин.

Я вам уже который раз пытаюсь объяснить: все "качественное" в вашем "рассмотрении" - сводится к теории размерностей.

Все остальное - ковыряние в носу и ошибка на ошибке.

aklimets в сообщении #691269 писал(а):

Тем не менее в теории струн характерная длина не строится, а просто вводится "руками".

Почему вы продолжаете с таким апломбом рассуждать о том, в чем не разбираетесь?

aklimets в сообщении #691269 писал(а):

А принцип соответствия - положите $r_g/r=\ell^2_{pl}/r^2=0$ и получите обычное релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби (ЛЛ,с. 50).

Какое "уравнение Гамильтона-Якоби", когда вас тычут носом, извините, в совершенно бредовое уравнение для "спектра". Ваша $E(r)$ - не имеет ни малейшего смысла в этом пределе. Как минимум, вычисления, путем которых она получена - неверны.

[aklimets]

myhand в сообщении #691286 писал(а):

Какое "уравнение Гамильтона-Якоби", когда вас тычут носом, извините, в совершенно бредовое уравнение для "спектра". Ваша - не имеет ни малейшего смысла в этом пределе. Как минимум, вычисления, путем которых она получена - неверны.

Да, гамильтониан (см. 1-й пост, взят из ЛЛ) немного сложнее, чем для атома водорода, методом разделения переменных не решить, пока можно только исследовать качественно, т.е. графически. Чтобы упростить понимание, разложите этот гамильтониан в ряд по $1/r$. Во втором приближении получим

$$E\approx P_rc\left (1-r_g/r+\dots\right )$$

Вместо $r_g/r$ подставьте $\ell^2_{pl}/r^2$. Теперь понятнее, почему энергия ограничена сверху.

[aklimets]

И вообще, вопрос был поставлен совсем по другому. А именно, ограничен ли масштаб расстояний снизу, а энергия взаимодействий сверху и почему. Потому что длина неких "струн" такая, или есть иная причина? Какой там существует "спектр", как-то мало интересно. Отбросим все догадки, как будет выглядеть выражение для импульса, момента. Достаточно в выражение для метрики центрально-сисмметричного поля и в выражение для гамильтониана для этого случая вместо выражения $(1-r_g/r)$ подставить выражение $(1-\ell^2_{pl}/r^2)$, как все становится ясно. Масштаб снизу ограничен планковской длиной, а энергия сверху планковской энергией. Что тут еще непонятного? Почему? Потому что при $r=\ell_{pl}$ отношение $\ell^2_{pl}/r^2 =1$, т.е. происходит коллапс, образуется черная дыра. Все, точка.

[myhand]

aklimets в сообщении #691323 писал(а):

Да, гамильтониан (см. 1-й пост, взят из ЛЛ) немного сложнее, чем для атома водорода, методом разделения переменных не решить

Все уже давно решили (в классическом случае, конечно), и качественно и количественно. Это интегрируемая модель. Вместо того, чтобы об этом узнать или решить задачу самостоятельно - вы городите очередной бред. Про квантование по-Бору вам уже написали.

Что хоть $E(r)$ у вас такое? Если это спектр энергий - какая, к черту, зависимость от $r$? Если что-то иное, то объясните что. Т.к. применяя процедуру квантования Бора-Зоммерфельда - такую порнографию не получить.

aklimets в сообщении #691323 писал(а):

Теперь понятнее, почему энергия ограничена сверху.

Нет. Но совершено еще одно бессмысленное действо.

[aklimets]

myhand в сообщении #691340 писал(а):

Нет. Но совершено еще одно бессмысленное действо.

Ну как это не понятно. Разложили гамильтониан в ряд. Получили во втором приближении

$$E\approx P_rc\left (1-r_g/r\right )$$

Рассматриваем качественно. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, вместо $P_r$ подставляем $\hbar/r$, вместо $r_g/r$ подставляем $\ell^2_{pl}/r^2$. Получаем

$$E\approx \frac{\hbar c}{r}\left (1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right )$$

Строим график $E(r)$. Из него видно, что для "прощупывания" все меньшего масштаба требуется все большая энергия. Но есть предел. При почти планковском масштабе отрицательная гравитационная составляющая начинает преобладать, потом появляется пик полной энергии, полная энергия системы $E(r)$ начинает уменьшаться и на планковском масштабе (горизонте событий) она становится равной нулю. Система коллапсирует.

[m_еugene]

Осилил все 8 страниц темы, занятно.
.
Народ развлекается.

Автор темы высказывает свой взгляд и приводит формулы по интересующему его вопросу, надеясь на конструктивную критику, ему в ответ

бла-бла-
"это бред" или

иди туда не знаю куда, в смысле
почитай у того-то где-то там у него что-то есть об этом.

Я прочёл поток мыслей автора темы, и не согласен с ними, но ведь критиковать неплохо бы предметно,
а не так, чтобы
"Ваши выводы противоречат выводам того-то, значит, у Вас неверно".
.
По существу темы.

Вот автор сходу начинает с соотношения неопределённостей,
и здесь я хотел бы сообщить ему об истоках самой постановки задачи этого соотношения.

1. Для некоторых событий возможно определить координаты точки, в которой это событие произошло.

2. Для некоторых событий невозможно определить координаты точки, в которой это событие произошло.

События из второго пункта, например, те, которые связаны с перемещением во времени из одной точки в другую.

Если хотим указать с наибольшей точностью скорость некоего тела,
то с необходимостью измеряем эту скорость на большом пространственном интервале.

И наоборот -
хотим указать с наибольшей точностью пространственные координаты тела -
будет большая погрешность в указании скорости его.

И истоки этого лежат не в наших грубых способах определения координат и скорости, это проистекает из математики.
Например, напомню об интегральных преобразованиях, в частности преобразовании Фурье.

Теперь о формулах, которые привёл автор.

Одну из них он привёл не полностью.
Эта формула состоит из двух частей, первая приведена.



И далее у автора тот самый поток мысли.

aklimets в сообщении #686728 писал(а):

Чтобы использовать это выражение на планковском масштабе, будем рассматривать величины и , входящие в него, как неопределенности соответственно гравитационного радиуса и координаты частицы.

а вторую часть почему-то утаил

Но я вторую часть всё-же приведу.

$ r_g = \frac{2km}{c^2} $

Что неопределённого в формуле для гравитационного радиуса?

И как это можно соотнести с Вашим



Особенно интересует применение второго знака равенства.

И я так и не "въехал в Ваше

aklimets в сообщении #686728 писал(а):

где - $r_g$гравитационный радиус частицы, $r$- ее координата

О чего отсчитывается это $r$? От центра частицы, или где?

Всё остальное Ваше читал с кривой ухмылкой.

До того места, где Вы привели минимальную энергию для существования чёрной дыры в различных измерениях.

И что для трёх измерений эта энергия минимальна.

Это Ваше я запомню.

Насколько я понял из Вашего первого сообщения, Вашей целью было показать, что,

применяя Принцип неопределённостей,
гипотеза "струн, бран" никуда не годится.

Вы ломитесь в открытую дверь,
никто здесь и не держит те гипотезы за основу мироздания.
.

[myhand]

aklimets в сообщении #691389 писал(а):

Строим график $E(r)$.

Что это за порнография? Если это спектр энергий - никакого $r$ там быть не должно. Если это что-то другое - ответьте определенно, что.

aklimets в сообщении #691389 писал(а):

Из него видно, что для "прощупывания" все меньшего масштаба требуется все большая энергия.

Ничего подобного не видно. Продолжается бред уровня "заменим массы на нулевые компоненты импульса".

m_еugene в сообщении #691450 писал(а):

Я прочёл поток мыслей автора темы, и не согласен с ними, но ведь критиковать неплохо бы предметно

Что вам непредметного в тыкании на формулу $E(r)$ и подробном объяснении почему она не имеет никакого разумного смысла?