Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.

[Mik Dmitro]

Sonic 86
У меня $f(x)=4x^2+1$ ,а не $f(x)=x^2+1$ , потому, что $x$ должен быть четным числом.

Vorvalm
Это доказательство на существование, а формула (9) показывает количество пар простых чисел близнецов не делящимися простыми числами меньшеми или равными $p_{m+}$ .
Полная версия статьи о простых числах на Re: Гипотезы о простых числах.topic59672-30.html

[Sonic86]

Mik Dmitro в сообщении #683508 писал(а):

Sonic 86
У меня $f(x)=4x^2+1$ ,а не $f(x)=x^2+1$ , потому, что $x$ должен быть четным числом.

Попробуйте подумать. Вы просто слепо применяете решето Эратосфена (а его применяют все кому не лень), не обращая внимания на детали. Вы не видите появляющуюся погрешность, из-за того, что теряете функцию целой части (это очень важно). Вы также не видите, что если сравнение $4x^2+1\equiv 0\pmod p$ имеет решение, то оно имеет $2$ (два, а не одно) решение (это мелочь, но существенная). Соответственно, асимптотически доля чисел вида $4x^2+1$, кратных $p$, равна $\frac{2}{p}$, а не $\frac{1}{p}$, как это у Вас написано.
Соответственно, дальше читать неинтересно совсем.

[vorvalm]

Mik Dmitro
В формуле (9) какое число означает $p_1$?

[Mik Dmitro]

Sonic86
Внимательно читайте статью между формулами(13) и (14).

vorvalm
Формула(9) - $p_1$ найменьшее простое число,которое делит числа $am-b$ и $am+b$ .

[Sonic86]

Mik Dmitro в сообщении #684055 писал(а):

Sonic86
Внимательно читайте статью между формулами(13) и (14).

Ага, ладно.

Как насчет предыдущего вопроса, т.е. того, что в формулах

Mik Dmitro в сообщении #682564 писал(а):

Применяя способ решета Эратосфена, мы увидим, что каждое простое число $p_{j}$ c (2) выбивает с ряда чисел (1) $\frac {t}{p_{j}}$часть, а на все остальные простые числа останется $1- \frac {t}{p_{j}} = \frac {(p{j}- t)}{p{j}} $ часть чисел (1).

Вы игнорируете погрешность округления. Решето отсеивает всегда целое число чисел, а дробь $ \frac {t}{p_j}$ - не всегда целая. Тем более не всегда целая дробь, построенная формулой включения-исключения.
Там в (1), (2) формул я не вижу. Конкретный пример ниже (хотя по сути тот же):

Mik Dmitro в сообщении #682564 писал(а):

С учетом формулы (3) мы получим, что все простые числа (12) от 5 до $p_k$ выбивают

$$\frac{2}{5}+\frac{2(5-2)}{5\cdot 13}+\frac{2(5-2)(13-2)}{5\cdot13\cdot17}+...+\frac{2(5-2)(13-2)...(p_{k-1}-2)}{5\cdot13\cdot17...p_{k-1}\cdot p_k}$$

(14)

при $x=1;2$, $f(x)=5;17$. $p_k$ у Вас там не указано, реально получается $p_k\leqslant 5$ и тогда решетом просеивает одно из двух чисел, доля просеянных чисел равна $\frac{1}{2}$, а по Вашей формуле она получается равной $\frac{2}{5}$. Т.е. формула неверна, дальше смысла читать нет.

[Mik Dmitro]

Sonic86
Рекомендовал бы Вам читать статю внимательно и до конца.Посмотрите статью о многочлене второй степени до формулы(12),и Вы увидите , что простые числа меньше пяти-ни причем.
Что касается дробных частей, так они здесь не играют никакого значения. Нам важно, что бы было больше единицы.
Если Вы хотите целых чисел, посчитайте все в области до $p_k!$ - факториал.

[Sonic86]

Mik Dmitro в сообщении #684562 писал(а):

Рекомендовал бы Вам читать статю внимательно и до конца.

А что ее читать? Вы пишите стандартную конструкцию, которую знают все: берете $x$ значений многочлена и пытаетесь выполнить над ними процедуру решета Эратосфена. Чисто интуитивно Вы выписываете среднюю плотность невычеркнутых чисел, которая получается при $k=\operatorname{const}, x\to\infty$. Потом Вы ее умножаете на число чисел $x$ в последовательности и говорите "Вот, мол, получили величину больше $1$, значит простых чисел такого-то типа бесконечно много". Подобных баянов у нас много:
topic35268.html
topic62088.html
topic46245.html
topic35326.html
дальше не искал, там много вариаций.
Этой конструкцией просто так нельзя доказать ни теорему Дирихле, ни тем более бесконечность простых вида $4n^2+1$. Это связано, например, с трудностью оценки отклонения от приведенного произведения $x\cdot\prod\limits_{p^2\leqslant f(x)}\left(1-\frac{\omega(p)}{p}\right), \ \omega(p)=N(f(x)\equiv 0\pmod p, 0\leqslant x<p)$. И я вижу, Вы даже не осознаете тот факт, что таковое отклонение имеется, поскольку Вы пишите

Mik Dmitro в сообщении #684562 писал(а):

Что касается дробных частей, так они здесь не играют никакого значения.

и только сейчас

Mik Dmitro в сообщении #684562 писал(а):

Если Вы хотите целых чисел, посчитайте все в области до $p_k!$ - факториал.

т.е. имеется ввиду взять $x=p_k!$, однако это невозможно для достаточно больших $x$ ввиду неравенства $p_k^2\leqslant f(x)$: $p_k^2$ растет гораздо медленнее, чем $f({x})$: $f(x)=f({p_k}!)\geqslant p_k!>>p_k^2$.
На всякий случай напишу популярно: Вы не сможете подобрать такое $t\leqslant x$, что все числа $\frac{t}{p_i}$ будут целые.
Откройте Прахара хоть, прочтите в нем хотя бы 30 страниц - этого вполне достаточно будет.

Кроме всего прочего, что тоже связано с отклонением от средней плотности невычеркнутых простых, в доказательстве для $f(x)=4x^2+1$ Вы не использовали неприводимость $f(x)$. Т.е. Ваше псевдорассуждение проходит и для многочлена $f(x)=4x^2-1$, например. Там точно такая же плотность получается.

[vorvalm]

Sonic86
Вы забыли упаминуть Батороева "Распределение взаимно простых чисел в примориалах"
(стр.6)

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #684932 писал(а):

Sonic86
Вы забыли упаминуть Батороева "Распределение взаимно простых чисел в примориалах"
(стр.6)

Да, наверное, тоже можно. Если Mik Dmitro заинтересуется, могу найти ссылку, просто думаю, это второстепенно.

[Mik Dmitro]

Sonic86
Формулы (3), (8) и (14) - это, как бы процентное отношение, если их умножить на 100, но никакая не плотность.

[Sonic86]

Понятно, следовательно, дальнейшие объяснения бессмысленны.
Популярное объяснение: доказательства у Вас нет.

[Mik Dmitro]

Sonic86
1. Что до факториала. Если формулы (3), (8) и (14) умножить на $p_k!$,тогда вы получите целые числа-количество выбитых чисел на этом промежутке.
2. Популярно объясняю.Суть моего такова.Если имеется пирог (1) и какое то количество гостей (2) и если каждый следующий гость будет откусывать какую то часть от оставшегося пирога так, что бы еще другим осталось, а не съест оставшийся кусок целиком, тогда для того, что бы съесть весь пирог , нужно бесконечное количество гостей.Если гости будут кусать по два раза(случай с близнецами), но стем же условием-не съедать полностью оставшийся кусок, результат будет таким же.Как видите проблему близнецов можно решить и без формул, но в других случаях без них не обойтись.

[Sonic86]

Mik Dmitro в сообщении #685898 писал(а):

1. Что до факториала. Если формулы (3), (8) и (14) умножить на $p_k!$,тогда вы получите целые числа-количество выбитых чисел на этом промежутке.

Вы даже до факториала не дойдете, потому что доля чисел из $t$ подряд идущих, кратных $p$ будет не $\frac{t}{p}$, а $\left[\frac{t+r_p}{p}\right]$ для линейной функции и $\left[\frac{t+a_p}{p}\right]+\left[\frac{t+p-a_p}{p}\right]$ для $f(x)=4x^2+1$.
Или опять не дошло?

Mik Dmitro в сообщении #685898 писал(а):

2. Популярно объясняю.

Популярно объясняете ложные утверждения?

[Mik Dmitro]

Sonic86
По вашему выходит, что число 2 из 100 первых чисел выбивает не 50чисел, а число 5 не 20 чисел?

[Sonic86]

Mik Dmitro в сообщении #686391 писал(а):

По вашему выходит, что число 2 из 100 первых чисел выбивает не 50чисел, а число 5 не 20 чисел?

Из 100 каких чисел? Из 100 подряд идущих чисел вида $4x^2+1$ на $2$ делится не $50$, а $0$ чисел.
Кроме того, Вы взяли $2,5,100$ так, чтобы $2|100, 5|100$. Вы возьмите $3$ или $7$. По-Вашему, из $100$ подряд идущих чисел (опять же - каких чисел?) на $3$ делится $33+\frac{1}{3}$?
Кроме того, в интервале от $50$ до $100$ находится примерно $20$ простых чисел. Сколько чисел делятся на каждое из них? - то ли $0$, то ли $1$. А они вносят свою долю как в результат, так и в его отклонение от средней плотности.