Как и обещал, отправляю доказательство бесконечности простых чисел второй степени.Для многочленов третьей и больше степеней метод не работает.
Авторское право 1999 года.
Для удобства пользования посылаю с повторением начала статьи.
УДК 511.313 Мик Д.Ф.
Способ доказательства бесконечности количества некоторых видов простых чисел
Греческий ученый Евклид еще в ІІІ веке до нашей эры доказал, что количество простых чисел- бесконечено.
Теорема Дирихле утверждает, что в некоторой арифметической прогрессии, которая состоит с натуральных чисел, количество простых чисел, или 0, или 1, или или бесконечность. Это значит, если

, тогда значения многочлена первой степени будут простыми числами при замене бесконечного количества целых чисел.
Уже о многочленах второй и о большей степени этого нельзя было сказать. Ниже мы рассмотрим способ, с помощью которого можно решить часть этих проблем.
Рассмотрим многочлен

который при значениях

от 1 до

, дает бесконечный ряд натуральных чисел

(1)
А также рассмотрим ряд простых чисел

(2)
некоторого типа, о котором известно, что он бесконечен.
Пусть простые числа (2) делят числа (1) и некоторые числа (2) совпадают с некоторыми числами (1). Применяя способ решета Эратосфена, мы увидим, что каждое простое число

c (2) выбивает с ряда чисел (1)

часть, а на все остальные простые числа останется

часть чисел (1).
Если

выбивает

, то

выбьет еще

часть чисел (1)
с тех, что осталась, а вместе они выбьют

часть чисел(1).
Для всех остальных простых чисел останется
часть чисел (1)
Третье простое число

выбьет еще

часть, а вместе они выбьют

часть чисел (1). На все оставшиеся простые числа с (2) останется

часть чисел (1)
Продолжая ми получим, что простые числа
выбивают

(3)
часть чисел (1) , а на оставшиеся простые числа останется

(4)
часть чисел (1)
Используем тот факт, что простые числа от 2 до

выбивают все сложные числа в интервале от

до

.
Пусть

наибольшее простое число с (2) совпадающее с

последовательности (1). Для того чтобы выяснить, есть ли еще простые числа в последовательности (1) больше за

достаточно формулу (4) умножить на число

-количество чисел (1) на промежутке от

до

. И если

(5)
значит, там еще есть простые числа больше

и меньше

.
РАССМОТРИМ ПРОБЛЕМУ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ-БЛИЗНЕЦОВ
Пусть многочлен первой степени

,где

,дает простые числа –близнецы. Требуется доказать, что их количество бесконечно. Запишем все пары чисел

,

,

,

(6)

,

,

,

Легко показать, что каждое простое число

выбивает по две пары таких чисел, то есть

часть.
Пусть

(7)

последняя известная нам пара простых чисел-близнецов этого вида. Используя формулы (3) мы увидим, что все простые числа от 2 до

выбивают

(8)
часть чисел (6). А , используя формулу (4) мы получим , что на все остальные простые числа останется

(9)
часть чисел (6).
Для того, чтобы выяснить есть ли еще другие пары простых чисел-близнецов в последовательности (6) больше за (7), достаточно исследовать формулу (9) на промежутке до

.
Если

(10)
где А-количество пар чисел (6) на промежутке от

до

,тогда на этом промежутке есть еще хотя бы одна пара простых чисел-близнецов данного вида
Так как

тогда последнее число вида (7) меньше

, которое будет делиться простыми числами меньшими за

, будет число

С учетом этого формула (10) примет вид

,
где видно, что левая часть больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов бесконечно.
Для примера рассмотрим простые числа-близнецы вида

.
Пусть

наибольшая пара таких чисел. Так как числа такого вида нечетные, значит,

не принимает участия. Выражение (10) для данного случая примет вид

Где очевидно, что оно больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов вида

бесконечно.
Таким же способом можно рассматривать и более сложные многочлены первой степени. Очень легко доказывается и теорема Чебышева, Гольдбаха-Эйлера, гипотезы Лежандра, Брокадра и проблема простых чисел в многочленах второй степени.
Рассмотрим многочлен второй степени

(11)
Делителями его будут [1] простые числа вида

(12)
Подставляя в (11) значения

от 1 до

, получим ряд чисел

13)
Пускай

наибольшее простое число вида

.
Требуется доказать что есть еще простые числа вида

больше за

.
Каждое простое число (12) выбивает с последовательности (13)

часть чисел. С учетом формулы (3) мы получим, что все простые числа (12) от 5 до

выбивают

(14)
часть чисел с последовательности (13) На остальные простые числа вида

останется с учетом формулы (4)
![$$\frac{(5-2)(13-2)(17-2)...(p_{n-1}-2)[(4k^2+1)-2]}{5\cdot13\cdot17\cdot...\cdot p_{n-1}(4k^2+1)}$$ $$\frac{(5-2)(13-2)(17-2)...(p_{n-1}-2)[(4k^2+1)-2]}{5\cdot13\cdot17\cdot...\cdot p_{n-1}(4k^2+1)}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/b/21b335cf2bbd6cb1ac1f673f74ba206582.png)
(15)
часть чисел последовательности (13).
Так как

, тогда последнее число вида

меньше

, которое будет делиться простыми числами вида

меньшим за

, будет число

.
Для того, чтобы доказать есть ли еще простые числа

(16)
достаточно выражение (15) умножить на количество чисел (11) до

, то есть на

,получим выражение

(17)
и если оно больше единицы тогда утверждение, количество простых чисел вида

бесконечно-верно.
Для чего выражение (17), принимая

, запишем по-другому

(18)
Рассматривая (18), видим, что оно больше за единицу. Это значит что количество простых чисел вида

бесконечно.
1.МАЛАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ Э.ФРИД , И.ПАСТОР, И.РЕЙМАН, П.РЕВЕС, И.РУЖА, AKADEMIAI KIADO,ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК ВЕНГРИИ,БУДАПЕШТ 1976.
2.ВИКИПЕНДИЯ 2012г.