Для чего в физике вводится понятие псевдовектора

[arseniiv]

ИгорЪ в сообщении #627483 писал(а):

Всё это так, но речь идет не об истории, а о корректности использования сомнительного для математиков объекта $V-A$.

Почему сомнительного? Разве нельзя рассматривать такие суммы формально? Обязательно их отображать в только векторы/псевдовекторы?

В математике для таких формальных сумм, по крайней мере, куча подходящих алгебр имеется. Алгебры Клиффорда, например.

[ИгорЪ]

Да, конечно, имеются, но не в нашем контексте. Рассматриваемый объект имеет одно плохое свойство, в одном базисе он может быть равен нулю, а в другом нет! Это гадкое свойство физики то и эксплуатируют для описания нарушения четности.

[arseniiv]

Как формальная сумма, это не может быть равно нулю, если $V\ne0\ne A$, т. к. вектор и псевдовектор не смешиваются.

[g______d]

А мне всегда казалось, что ответ на изначальный вопрос такой: вот пусть мы в $\mathbb R^3$, и пусть у нас есть метрика (т. е. задан изоморфизм между векторными полями и 1-формами). Тогда скаляры --- это 0-формы, векторы --- 1-формы, псевдовекторы --- 2-формы, псевдоскаляры --- 3-формы.

Векторы можно отождествить со псевдовекторами, а скаляры с псевдоскалярами с помощью оператора Ходжа, но он как раз зависит от ориентации.

Я проглядел тему по диагонали и, может быть, не заметил, что кого-то повторяю.

-- 09.02.2013, 17:14 --

Т. е., например, такой пример. Есть трехмерный векторный потенциал $A$, это 1-форма. Можно рассмотреть магнитное поле $B=dA$. Это 2-форма. У обоих объектов 3 компоненты, и физически есть желание и то, и другое отождествить с тройками чисел, т. е. с трехмерными векторными полями. Но понятно, что они на самом деле преобразуются немного по-разному, если преобразование координат меняет ориентацию.

[Oleg Zubelevich]

еще можно добавить такую употребительную вещь как плотность $\rho$, плотность вещества не является функцией, она является певдотензором
вот я не разбираюсь в уравнениях Максвелла, но судя по тому, что туда входит rot, там тоже фигурируют псевдовекторы

[myhand]

Oleg Zubelevich в сообщении #681870 писал(а):

плотность вещества не является функцией, она является певдотензором

На самом деле, она является компонентой тензора (вектора плотности тока).

А в трехмерном пространстве - это просто скаляр, никакой не псеводоскаляр. В уравнениях Максвелла нет магнитных зарядов.

[Oleg Zubelevich]

myhand в сообщении #681884 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #681870 писал(а):

плотность вещества не является функцией, она является певдотензором

На самом деле, она является компонентой тензора (вектора плотности тока).

под плотностью вещества я подразумеваю следующее. Имеется сплошная среда (газ) с плотностью $\rho(x)$ тогда масса этой среды сосредоточенная в объеме $V$ вычисляется по формуле
$$m=\int_V\rho(x)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$ ,здесь $\rho$ это псевдотензор.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #681870 писал(а):

плотность вещества не является функцией, она является певдотензором

А чо, функция уже не может быть псевдотензором?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #681895 писал(а):

А чо, функция уже не может быть псевдотензором?

я привык к тому, что функцией называют скаляр т.е. тензор типа (0,0)

[myhand]

Oleg Zubelevich в сообщении #681888 писал(а):

это псевдотензор

Ну почему псеводскаляр-то? Вы что, в зеркале видите совсем другие законы электродинамики?

[Oleg Zubelevich]

myhand в сообщении #681902 писал(а):

Вы что, в зеркале видите совсем другие законы электродинамики?

а где Вы здесь увидели электродинамику:

Oleg Zubelevich в сообщении #681888 писал(а):

под плотностью вещества я подразумеваю следующее. Имеется сплошная среда (газ) с плотностью $\rho(x)$ тогда масса этой среды сосредоточенная в объеме $V$ вычисляется по формуле
$$m=\int_V\rho(x)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$ ,здесь $\rho$ это псевдотензор.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #681896 писал(а):

я привык к тому, что функцией называют скаляр

Ну так это не везде так. Спасибо, что уточнили.

-- 09.02.2013 20:02:10 --

myhand в сообщении #681902 писал(а):

Вы что, в зеркале видите совсем другие законы электродинамики?

А вы не другие? Там магнитное поле направлено в противоположную сторону, против уравнений Максвелла :-)

[Letov]

(Оффтоп)

Конечно, как и в физике понятие радиус-вектора совершенно аполитично, так и в математике псевдовектор носит совершенно аполитический характер. Так скажем, при определении произведения векторов в виде псевдовектора практически ничего нам не говорит о существовании действительных векторов этого произведения.

[ИгорЪ]

arseniiv в сообщении #681843 писал(а):

Как формальная сумма, это не может быть равно нулю, если $V\ne0\ne A$, т. к. вектор и псевдовектор не смешиваются.

Что значит не смешиваются? Вот выражение $e_1+[e_2,e_3]$, которое при преобразовании отражения равно нулю.

[arseniiv]

Рассматривайте векторы как элементы вида $(V, 0)$, псевдовекторы — вида $(0, A)$, а суммы пусть будут покомпонентные: $V - A = (V, -A)$. Введём на таких парах всё нужное, всякие произведения и норму (не знаю, будет ли она нормой, но пусть хотя бы поназывается так в этом сообщении) — и всё. И если при каком-то преобразовании норма элемента вдруг станет не такая, как была, это ничего не значит — не повезло ей со свойствами, вот и всё.

Неужели я говорю что-то совершенно неестественное?