ИгорЪ,
Векторы - это просто элементы векторного пространства, т.е. множества наделенного алгебраическими операциями сложения и умножения на элементы некоторого поля, удовлетворяющими известным (поэтому не привожу их здесь) аксиомам. (Заметьте, что
ни о каких свойствах векторов при каких-либо "преобразованиях координат" в этом определении даже речи нет. А потому нет и понятий "полярных" или "аксиальных" векторов, если мы говорим просто о векторных пространствах и векторах, без каких бы то ни было дополнительных структур.) То есть чтобы определить векторное пространство надо:
(1) указать множество,
(2) определить в нем две алгебраические операции,
(3) проверить выполнены ли аксиомы.
Сложение векторов - это операция,
входящая в определение векторного пространства (а значит, никак не зависящая ни от каких "преобразований координат"). По-детски выражаясь, векторы из одного векторного пространства всегда можно складывать между собой, но никогда нельзя складывать ни с чем иным. Если у Вас есть два разных трехмерных пространства
и
, то к вектору из
нельзя "прибавить" вектор из
. В этих векторных пространствах можно задать базисы и записывать векторы как тройки чисел. Покомпонентное сложение троек, представляющих векторы одного векторного пространства имеет смысл (по определению этого пространства). Покомпонентное (т.е. при помощи тех же формул) сложение троек, представляющих векторы разных векторных пространств, не имеет смысла.
Поскольку в определении векторного пространства нет даже упоминания о каких-либо "преобразованиях координат" (и потому не имеет смысла говорить о "полярных" или "аксиальных" векторах), то и вопрос о возможности сложения "полярных" или "аксиальных" векторов бессмыслен. Если два вектора принадлежат одному пространству, складывать их можно, если разным - нельзя. И все. Точка.
Возможность сложения векторов просто не имеет отношения к их "аксиальности" или "полярности" (понятия "аксиальности" или "полярности" имеют смысл тогда, когда
в дополнение к структуре векторного пространства рассматривается какая-то векторно-значная функция, зависящая от ориентации пространства).
casualvisitor Я правильно ли понимаю, вы предлагаете писать не
а
?
Если
и
- элементы одного и того же векторного пространства, а знак минус соответствует алгебраическим операциям, фигурирующим
в определении этого пространства, то зачем вводить какие-то новые обозначения? ... Просто складывайте вектора да вычитайте ...
Если же
и
не являются элементами одного и того же векторного пространства, или если знак минус означает что-то другое, то ответ зависит от того, хотите ли Вы образовать из двух данных векторных пространств новое векторное пространство (элементами которого являются упорядоченные пары векторов исходных пространств).