А мне всегда казалось, что ответ на изначальный вопрос такой: вот пусть мы в
![$\mathbb R^3$ $\mathbb R^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/3/2f307f963ae9f215c4b3859d7a2a5be982.png)
, и пусть у нас есть метрика (т. е. задан изоморфизм между векторными полями и 1-формами). Тогда скаляры --- это 0-формы, векторы --- 1-формы, псевдовекторы --- 2-формы, псевдоскаляры --- 3-формы.
Векторы можно отождествить со псевдовекторами, а скаляры с псевдоскалярами с помощью оператора Ходжа, но он как раз зависит от ориентации.
Я проглядел тему по диагонали и, может быть, не заметил, что кого-то повторяю.
-- 09.02.2013, 17:14 --Т. е., например, такой пример. Есть трехмерный векторный потенциал
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, это 1-форма. Можно рассмотреть магнитное поле
![$B=dA$ $B=dA$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/8/91816f911aedceff9d47a9e7eeb6c3da82.png)
. Это 2-форма. У обоих объектов 3 компоненты, и физически есть желание и то, и другое отождествить с тройками чисел, т. е. с трехмерными векторными полями. Но понятно, что они на самом деле преобразуются немного по-разному, если преобразование координат меняет ориентацию.