Окружность касающаяся 3х других

[alcoholist]

Батороев в сообщении #674995 писал(а):

т.к. должно быть равенство сумм квадратов радиусов окружностей с центрами в диагональных вершинах прямоугольника (по теореме Пифагора)

что такое диагональные вершины? где там теорема Пифагора?

[Батороев]

alcoholist
Дико извиняюсь! Не разобрался в Ваших обозначениях (думал, это радиусы окружностей с центрами в вершинах прямоугольника, имеющих общую точку пересечения (**)).

Теорему Пифагора можно использовать для получения Вашего выражения:

alcoholist в сообщении #674966 писал(а):

$$ (R+r_1)^2+(R+r_3)^2=(R+r_2)^2+R^2 $$

имея в виду, что для случая (**):

$R^2=a_1^2+b_1^2$, $(R+r_2)^2=a_2^2+b_2^2$, где $a_1,b_1;a_2,b_2$ - проекции $R$ и $(R+r_2)$ на стороны прямоугольника.

$(R+r_2)^2+R^2=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2=(R+r_1)^2+(R+r_3)^2$

[lenarskiy]

Попробовал решить задачу по другому по этому описанию:
Задача Аполлония Точка и две окружности (Задача 09. 2). Пусть требуется построить окружность, проходящую через данную точку A и касающуюся двух данных окружностей c1 и c2 внешним образом.
И тоже получилась погрешность в разных частях экрана (до 16)

Исходя из всего выше сказанного я понял что точных ожидаемых данных я не получу ни по какой из формул? Всегда будет какая то погрешность?

[Sender]

alcoholist в сообщении #674966 писал(а):

искомый центр красной окружности радиуса $R$ имеет координаты $(x;y)$, удовлетворяющие равенствам
$x^2+y^2=(R+r_1)^2$, $(x-a)^2+y^2=(R+r_2)^2$, $(x-a)^2+(y-b)^2=(R+r_3)^2$, $x^2+(y-b)^2=R^2$

Если вычесть из 1-го равенства 2-е, получим:
$2ax-a^2=(2R+r_1+r_2)(r_1-r_2)$, откуда $x=\frac{(2R+r_1+r_2)(r_1-r_2)+a^2}{2a}$.
Аналогично, вычтя из 1-го равенства 4-е, имеем:
$2yb-b^2=2Rr_1+r_1^2$, откуда $y=\frac{2Rr_1+r_1^2+b^2}{2b}$.

[Алексей К.]

Осталось подставить найденные икс и игрек в неиспользованное третье равенство и получить...

[Sender]

...условие, которому обязаны удовлетворять $a, b, r_1, r_2, r_3$.

[Алексей К.]

lenarskiy в сообщении #675260 писал(а):

Попробовал решить задачу по другому по этому описанию:
....
И тоже получилась погрешность в разных частях экрана (до 16)

Было бы странно, если бы другой (правильный) метод решения одной и той же задачи дал другой результат.

lenarskiy,

но тут нечему удивляться.
Вот Вы молчаливо исходите из некой простой модели изучаемого явления, в частности, из одинаковости и постоянства скорости этого сигнала, имеющего какую-то механическую подоплёку. А что --- если точка прикосновения будет на границе экрана, где что-то приклеено, скорость распространения вблизи стороны прямоугольника будет та же, что и через его центральную часть?

Простейшее изменение модели, например, зависимость скорости от пройденного расстояния, типа $v(s) = v_0-\mu s$, или, честнее, $v(s)=v_0e^{-\lambda s}$ (чтоб v не обнулялось), уже может сделать задачу решаемой точно. За счёт введения нового параметра модели. Или не сделать. И в любом случае --- на порядок сложнее. И вряд ли будут простые явные решения новых уравнений.

-- 23 янв 2013, 11:26:00 --

alcoholist в сообщении #674881 писал(а):

простор для исследования

[lenarskiy]

В данной задаче представлена идеальная модель, при которой все сигналы с датчиков срабатывают идеально, и даже при таких условиях получается какая то ошибка от 1 до 16 в определении координаты центра искомой окружности, далее на эту погрешность наложится погрешность датчиков, электроники ~4 пикселя итого будет до 20 пикселей, а хотелось бы максимум 5.
Я плохо помню математику, но эта задача - ее практическое применение и хотелось бы ее решить с минимальной погрешностью до 1, тот же самый автокад же как то находит правильно с ОЧЕНЬ маленькой погрешностью искомый круг

[lenarskiy]

Изначально alcoholist был прав со своей формулой, мне надо было просто ее разжевать на реальном примере с нахождением как радиуса так и искомого центра, чтобы я смог подставить в программу и проверить все значения. При расчете радиуса погрешность местами большая, а ошибка в определении точки центра окружности (а именно это и необходимо было в итоге) в пределах допустимого --1.

Всем участникам темы БОЛЬШОЕ спасибо за время, уделенное моему вопросу!

[lenarskiy]

И снова про окружности...
А как будет выглядеть решение если условие будет следующим:
Дан произвольный треугольник (возможно равносторонний или равнобедренный если это облегчит решение) на вершинах которого окружности известного радиуса, опять же необходимо найти центр третьей окружности, проходящей через третью вершину треугольника и касающуюся 2х других окружностей?

[Алексей К.]

Испортил сообщение --- вечером постараюсь восстановить.
Нехорошо делать такие штуки тайком в рабочее время.

Восстанавливать не стал, переписал по-человечески ниже.

[Батороев]

Для равнобедренных и равносторониих треугольников искомый радиус можно найти по теореме косинусов из треугольника, вершинами которого являются: центр искомой окружности, вершина треугольника, принадлежащая искомой окружности, и одна из вершин основания треугольника.

[lenarskiy]

Батороев Почему в вашем предложении не участвует второй радиус?
Алексей К. Не могли бы вы полностью написать уравнение и привести пример решения с числами, очень надо!

-- 08.02.2013, 10:57 --

Не могли бы вы привести уравнение к такому виду, чтобы можно было подставлять значения например в в онлайн калькулятор ссылка1 или ссылка2 или ссылка3

[Батороев]

lenarskiy в сообщении #681388 писал(а):

Батороев Почему в вашем предложении не участвует второй радиус?

Я исходил из Вашего рисунка, считая заданные радиусы одинаковыми.

[lenarskiy]

Нет радиусы разные, но возможен случай когда они будут одинаковыми