2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение23.01.2013, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Батороев в сообщении #674995 писал(а):
т.к. должно быть равенство сумм квадратов радиусов окружностей с центрами в диагональных вершинах прямоугольника (по теореме Пифагора)

что такое диагональные вершины? где там теорема Пифагора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение23.01.2013, 04:20 


23/01/07
3497
Новосибирск
alcoholist
Дико извиняюсь! Не разобрался в Ваших обозначениях (думал, это радиусы окружностей с центрами в вершинах прямоугольника, имеющих общую точку пересечения (**)). :oops:

Теорему Пифагора можно использовать для получения Вашего выражения:
alcoholist в сообщении #674966 писал(а):
$$
(R+r_1)^2+(R+r_3)^2=(R+r_2)^2+R^2
$$

имея в виду, что для случая (**):

$R^2=a_1^2+b_1^2$, $(R+r_2)^2=a_2^2+b_2^2$, где $a_1,b_1;a_2,b_2$ - проекции $R$ и $(R+r_2)$ на стороны прямоугольника.

$(R+r_2)^2+R^2=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2=(R+r_1)^2+(R+r_3)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение23.01.2013, 07:38 


22/01/13
23
Попробовал решить задачу по другому по этому описанию:
Задача Аполлония Точка и две окружности (Задача 09. 2). Пусть требуется построить окружность, проходящую через данную точку A и касающуюся двух данных окружностей c1 и c2 внешним образом.
И тоже получилась погрешность в разных частях экрана (до 16)

Исходя из всего выше сказанного я понял что точных ожидаемых данных я не получу ни по какой из формул? Всегда будет какая то погрешность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение23.01.2013, 08:24 


14/01/11
3027
alcoholist в сообщении #674966 писал(а):
искомый центр красной окружности радиуса $R$ имеет координаты $(x;y)$, удовлетворяющие равенствам
$x^2+y^2=(R+r_1)^2$, $(x-a)^2+y^2=(R+r_2)^2$, $(x-a)^2+(y-b)^2=(R+r_3)^2$, $x^2+(y-b)^2=R^2$

Если вычесть из 1-го равенства 2-е, получим:
$2ax-a^2=(2R+r_1+r_2)(r_1-r_2)$, откуда $x=\frac{(2R+r_1+r_2)(r_1-r_2)+a^2}{2a}$.
Аналогично, вычтя из 1-го равенства 4-е, имеем:
$2yb-b^2=2Rr_1+r_1^2$, откуда $y=\frac{2Rr_1+r_1^2+b^2}{2b}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение23.01.2013, 09:46 


29/09/06
4552
Осталось подставить найденные икс и игрек в неиспользованное третье равенство и получить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение23.01.2013, 09:52 


14/01/11
3027
...условие, которому обязаны удовлетворять $a, b, r_1, r_2, r_3$.

 Профиль  
                  
 
 Приснилось...
Сообщение23.01.2013, 10:23 


29/09/06
4552
lenarskiy в сообщении #675260 писал(а):
Попробовал решить задачу по другому по этому описанию:
....
И тоже получилась погрешность в разных частях экрана (до 16)
Было бы странно, если бы другой (правильный) метод решения одной и той же задачи дал другой результат.

lenarskiy,

но тут нечему удивляться.
Вот Вы молчаливо исходите из некой простой модели изучаемого явления, в частности, из одинаковости и постоянства скорости этого сигнала, имеющего какую-то механическую подоплёку. А что --- если точка прикосновения будет на границе экрана, где что-то приклеено, скорость распространения вблизи стороны прямоугольника будет та же, что и через его центральную часть?

Простейшее изменение модели, например, зависимость скорости от пройденного расстояния, типа $v(s) = v_0-\mu s$, или, честнее, $v(s)=v_0e^{-\lambda s}$ (чтоб v не обнулялось), уже может сделать задачу решаемой точно. За счёт введения нового параметра модели. Или не сделать. И в любом случае --- на порядок сложнее. И вряд ли будут простые явные решения новых уравнений.

-- 23 янв 2013, 11:26:00 --

alcoholist в сообщении #674881 писал(а):
простор для исследования

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение23.01.2013, 12:43 


22/01/13
23
В данной задаче представлена идеальная модель, при которой все сигналы с датчиков срабатывают идеально, и даже при таких условиях получается какая то ошибка от 1 до 16 в определении координаты центра искомой окружности, далее на эту погрешность наложится погрешность датчиков, электроники ~4 пикселя итого будет до 20 пикселей, а хотелось бы максимум 5.
Я плохо помню математику, но эта задача - ее практическое применение и хотелось бы ее решить с минимальной погрешностью до 1, тот же самый автокад же как то находит правильно с ОЧЕНЬ маленькой погрешностью искомый круг

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение23.01.2013, 14:18 


22/01/13
23
Изначально alcoholist был прав со своей формулой, мне надо было просто ее разжевать на реальном примере с нахождением как радиуса так и искомого центра, чтобы я смог подставить в программу и проверить все значения. При расчете радиуса погрешность местами большая, а ошибка в определении точки центра окружности (а именно это и необходимо было в итоге) в пределах допустимого --1.

Всем участникам темы БОЛЬШОЕ спасибо за время, уделенное моему вопросу!

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение07.02.2013, 14:08 


22/01/13
23
И снова про окружности...
А как будет выглядеть решение если условие будет следующим:
Дан произвольный треугольник (возможно равносторонний или равнобедренный если это облегчит решение) на вершинах которого окружности известного радиуса, опять же необходимо найти центр третьей окружности, проходящей через третью вершину треугольника и касающуюся 2х других окружностей?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение07.02.2013, 21:39 


29/09/06
4552
Испортил сообщение --- вечером постараюсь восстановить.
Нехорошо делать такие штуки тайком в рабочее время.


Восстанавливать не стал, переписал по-человечески ниже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение08.02.2013, 07:45 


23/01/07
3497
Новосибирск
Для равнобедренных и равносторониих треугольников искомый радиус можно найти по теореме косинусов из треугольника, вершинами которого являются: центр искомой окружности, вершина треугольника, принадлежащая искомой окружности, и одна из вершин основания треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение08.02.2013, 08:11 


22/01/13
23
Батороев Почему в вашем предложении не участвует второй радиус?
Алексей К. Не могли бы вы полностью написать уравнение и привести пример решения с числами, очень надо!

-- 08.02.2013, 10:57 --

Не могли бы вы привести уравнение к такому виду, чтобы можно было подставлять значения например в в онлайн калькулятор ссылка1 или ссылка2 или ссылка3

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение08.02.2013, 09:29 


23/01/07
3497
Новосибирск
lenarskiy в сообщении #681388 писал(а):
Батороев Почему в вашем предложении не участвует второй радиус?

Я исходил из Вашего рисунка, считая заданные радиусы одинаковыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность касающаяся 3х других
Сообщение08.02.2013, 09:38 


22/01/13
23
Нет радиусы разные, но возможен случай когда они будут одинаковыми

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 63 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group