Окружность касающаяся 3х других

[lenarskiy]

Dimoniada в интернете кроме этой ссылки ничего не нашел по этой теореме

[alcoholist]

lenarskiy в сообщении #674961 писал(а):

alcoholist поставил в ваше решение 3 варианта значений ни одно не совпало

тяжелый случай)))

пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$ (каждую по очереди), левый нижний угол -- в начале координат

уравнения окружностей
$x^2+y^2=r_1^2$, $(x-a)^2+y^2=r^2_2$, $(x-a)^2+(y-b)^2=r_3^2$

искомый центр красной окружности радиуса $R$ имеет координаты $(x;y)$, удовлетворяющие равенствам
$x^2+y^2=(R+r_1)^2$, $(x-a)^2+y^2=(R+r_2)^2$, $(x-a)^2+(y-b)^2=(R+r_3)^2$, $x^2+(y-b)^2=R^2$
складывая первое равенство с третьим и второе с четвертым, приравнивая, получим:

$$ (R+r_1)^2+(R+r_3)^2=(R+r_2)^2+R^2 $$

откуда и следует мое утверждение

[Алексей К.]

Три условия касания выглядят так:
\begin{align*} &r_1^2+2r_1r_4-2br_4\cos\tau=b^2,\\ &r_2^2+2r_2r_4-2r_4(a\sin\tau+b\cos\tau)=a^2+b^2,\\ &r_3^2+2r_3r_4-2ar_4\sin\tau=a^2, \end{align*}
(здесь $(\cos\tau,\sin\tau)^T$ --- наклон касательной к окружности в той четвёртой вершине).
Отсюда (первое уравнение плюс третье минус второе) тоже получается упомянутое alcoholist соотношение для радиусов.

[Dimoniada]

Вот как всё просто оказалось .
lenarskiy, бог с ней, с теоремой (существуют разные написания этого "Кези", поэтому путаница, но если хотите, то вот тут через "Кеззи")! Радиус найден, остались координаты центра.

[Алексей К.]

(это я как бы дописывал своё предыдущее собщение )
А задачка-то попроще, чем показалось сначала: надо подобрать $r_{1,2,3}$. вовсе не $r_4$. И $r_4$, и $\tau$ сразу заданы положением мышки. Три квадратненьких уравненьица.

-- 22 янв 2013, 17:22:39 --

И корни всегда имеются. Один положительный, один отрицательный. Отрицательный, наверное, про запас --- если мышка вылезет куда не надо.

-- 22 янв 2013, 17:27:25 --

(Dimoniada)

Типа nice to see you again.

[lenarskiy]

"Упомянутое" и "Вам уже ответ готовый дают" "А задачка-то попроще" имеется ввиду формула от alcoholist ? Почему тогда такая погрешность и это только в определении радиуса? Или я что то не понимаю подставляя свои радиусы из программы и получаю не тот радиус который должен получиться?

[Алексей К.]

lenarskiy в сообщении #674987 писал(а):

"А задачка-то попроще" имеется ввиду формула от alcoholist ?

Имеется в виду, что Вы, lenarskiy, дали злокачественную формулировку задачи.
Этой формулировкой Вы сбили с толку и меня, и, позволю себе предположить, участника alcoholist, и, вероятно, других, искавших и выписывавших жуткие формулы с радикалами, пока я вглядывался в жуткое соотношение, при котором построение красной окружности возможно.
Это всё эти дурацкие компьютеры, автокады и прочая хрень, от которой люди разучиваются правильно говорить словами, строить придаточные предложения и прочая... (Рекламный текст: "Теперь уже и в школе!")

Вот, погавкал, ща объясню подробнее. Если начальник слиняет. Ну и если надо.

-- 22 янв 2013, 17:46:04 --

Если чо, моя касательная (соответственно, угол $\tau$) предполагала положительную ориентацию красной окружности, т.е. вектор из её центра, повёрнутый на $\text{\Large\color{magenta}+}90^\circ.$ (это влияет на знак синуса-косинуса).

[lenarskiy]

Очень надо!!!
Возможно я не правильно поставил задачу, но для этого и скинул программку, чтобы понятней было что именно требуется, какие исходные данные и в каком формате есть, какой результат должен получиться в итоге, это думаю немного скомпенсировало некорректно поставленную задачу.

[Батороев]

alcoholist в сообщении #674937 писал(а):

Ну хорошо, если уж такие четыре окружности существуют, то искомый радиус красной окружности

$$ R=\frac{r_A^2-r_B^2-r_C^2}{2(r_B+r_C-r_A)} $$

($r_A$ -- радиус окружности с центром в правом нижнем углу)

Что-то по-видимому, не то, т.к. должно быть равенство сумм квадратов радиусов окружностей с центрами в диагональных вершинах прямоугольника (по теореме Пифагора).

-- 22 янв 2013 21:08 --

Кстати, это необходимое условие:

Батороев в сообщении #674896 писал(а):

Не знаю, сильно поможет или нет, но искомый центр является также точкой пересечения четырех окружностей с центрами в вершинах прямоугольника, одна из которых имеет радиус, равный искомой.

но не достаточное.
Получить пересечение четырех окружностей с центрами в вершинах прямоугольника можно всегда, а выполнение условия исходной задачи - нет.

[nikvic]

lenarskiy в сообщении #674892 писал(а):

Есть экран по краям которого установлены 4 датчика, при соприкосновении с экраном от точки соприкосновения распространяется сигнал и доходит он первым до одного из датчиков, запускается счетчик времени и считается время до остальных 3х датчиков. Задача найти точку прикосновения...

В этих условиях, понятно, данными являются три "дискретных" числа и должны появиться три близкие точки от пересечения трёх гипербол. Видится какой-то вариант МНК, приспособленный к целочисленной сетке...

Задачку можно обратить - точка прикосновения получает сигналы о времени с четырёх спутников (хотя достаточно и трёх ).

[Алексей К.]

lenarskiy в сообщении #674993 писал(а):

Возможно я не правильно поставил задачу, но для этого и скинул программку,

Уж не знаю, что меня подвигло её скачать. Больно невероятным казалось существование красной окружности. Но по программке и понял, о чём речь.

Ваше сообщение было понято (не только мной) так: даны три зелёненьких окружности (даны=фиксированы), Построить красненькую, и чтоб касалась всех (таких по Аполлонию может быть 0, 2, 4, (6?), 8). Да ещё чтоб через заданную точку проходила. Не бывает (кроме, кончено, спец-случаев)! Всё, что можно, --- составить условие на $a,b,r_{1,2,3}$, при которых такое случается.

У Вас всё тривиально:
Мышка определяет положение центра красной окружности.
Четвёртая вершина определяет радиус и, тем самым, всю красную окружность.
На плоскости имеются ещё какие-то точки. Плевать, что их три. Плевать, что они там, вместе с уже использованной точкой, прямоугольник образуют. Пусть это будет хоть 17-угольник.
В любой из них, взятой как центр, тривиально строится зелёная окружность, касающаяся той единственной заданной красной окружности.

Так я понял Вашу программку. Сигналы пока так и не обдумал.

[lenarskiy]

Вы поняли не совсем правильно, это программа дает возможность рассмотреть все возможные варианты прихода сигналов с датчиков - радиусов зеленых окружностей, построенных исходя из положения мышки. Красная окружность отображается верно т.к. программа изначально знает положение мышки, а значит и радиус и положение верные.
А требуется получив радиусы трех окружностей вычислить положение центра четвертой окружности и ее радиус, для этого подставив данные из программы в какую то формулу мы должны получить то что написано в программе под словами "Результат должен быть:"

[Алексей К.]

Ну, про сигналы попробую вечером перечитать, понять их, и понять Ваши возражения-уточнения. Я пока только на геометрию смотрел.

Ранее мною сказанное может быть другими словами изложено так: если на рисунке в Вашем первом сообщении одну зелёную окружность малость укоротить-уширить (оставив две другие как были), то красная уже не построится.

[lenarskiy]

Да верно, не построится т.к. такие данные уже не верные.
Если это поможет в решении, то если все зеленые радиусы равны 0 (а такое может быть) тогда радиус окружности будет равен диагонали прямоугольника а ее центр будет в центре прямоугольника, а это не учитывается в предыдущей формуле

[Алексей К.]

С сигналами разобрался.

lenarskiy в сообщении #674882 писал(а):

Если это фантастика тогда как автокад находит эту окружность?

И Автокад, и Вы в Вашей программе решали наверняка другую задачу, ту, которую я обозвал тривиальной.

lenarskiy в сообщении #674888 писал(а):

Нет исходя из данных соответствующих условию задачи

У Вас, как мне кажется, имеется некое непонимание проблемы.
Примерно так: Вы измеряете, допустим, три стороны некоторого треугольника и угол между меньшими сторонами --- $(a,b,c,\gamma)$ . И просите чего-то там про этот треугольник сосчитать, ну там типа центр вписанной окружности.
И вот в результате измерений получаютя $(3,4,5,88^\circ)$ или $(11.20, 11.31, 11.46, 60.01^\circ)$, и в тупик уходим. Не бывает таких треугольников! А Вы в Автокаде нам демонстрируете "фантастику" --- треугольники $(3,4,5,90^\circ)$ или $(11.20, 11.20, 11.20, 60^\circ),$ со вписанными окружностями, и называете это данными, "соответствующими условию задачи". Так наши данные --- результаты измерений! Они никогда не будут соответствовать!
Дело не в "плохих" данных: задача, очевидно, "плохая" (переопределённая). Вот, снова:

lenarskiy в сообщении #675027 писал(а):

Да верно, не построится т.к. такие данные уже не верные.

"Верных" данных в измерениях не бывает. Для проверки закона Ома берут 100 токов и 100 напряжений, и получают 100 разных (приблизительно одинаковых, если закон Ома верен) коэффициентов-сопротивлений для одной и той же чушки.

Простейшее предложение --- получить искомую "точку прикосновения" по данным с датчиков 1 и 2. Потом с 1 и 3. Потом с 2 и 3. Получим ТРИ варианта решения. Взять ли просто среднее, или одну точку, наиболее удалённую от двух других отбросить, --- это уж Вам решать, по результатам опытов.