Теорема о порядке: в случайном процессе порядок не нарастает

[epros]

pc20b писал(а):

В чем странность этого выражения (*)? Во-первых, если его проинтегрировать, то получим, что за конечное (и небольшое) время таким образом можно энтропию нагревающегося слоя планеты вообще "откачать" до нуля при конечной его температуре, что, естественно, абсурдно.

Конечно абсурдно, потому что это не учитывает возможность генерации энтропии в системе. В стационарном процессе эта генерация всегда компенсирует дефицит энтропии. В случае, когда генерация энтропии затруднена:
а) либо порядок в системе повышается до тех пор, пока процессы разрушения возникших упорядоченных структур, являющиеся генераторами энтропии, не создадут достаточный поток энтропии (пример: нарастание биомассы)
б) либо отток энтропии в космос снижается сравнительно с максимально возможным значением (пример: амазонскую сельву вырубили и высушили до состояния бесплодной пустыни. Поверхность такой пустыни будет днём очень сильно прогреваться, а ночью - сильно охлаждаться, в итоге - средний поток исходящей энтропии станет заметно меньше своего максимально возможного значения).

pc20b писал(а):

Во-вторых, правая часть его записана просто некорректно : первый член применен к входящему излучению (использованы его мощность $P_s$ и температура $T_s$), а второй - к самой поверхности, через границу которой идет поток энергии

Второй член применён к исходящему тепловому излучению Земли, а не "к самой поверхности".

pc20b писал(а):

(1)

$$dS=\frac {dQ}{T}$$

,

... все величины должны быть отнесены к одному объекту

Величины должны быть отнесены к тому объекту, для которого рассчитывается поток энтропии. Для входного потока энтропии таковым объектом является солнечное излучение, а для выходного - тепловое излучение Земли.

Между прочим, если приложить горячий кирпич к холодному, то поток энтропии из горячего кирпича в холодный определится как отношение потока тепла к температуре, установившейся в точке контакта.

[pc20b]

epros
Можно пошутить?

Цитата:

Между прочим, если приложить горячий кирпич к холодному, то поток энтропии из горячего кирпича в холодный определится как отношение потока тепла к температуре, установившейся в точке контакта.

А что будет, если холодный кирпич упадет на горячую голову?

[mzmz]

epros,

Цитата:

Между прочим, если приложить горячий кирпич к холодному, то поток энтропии из горячего кирпича в холодный определится как отношение потока тепла к температуре, установившейся в точке контакта.

Вы неправы, это очень легко показать.

Исходя из Ваших рассуждений получается, что суммарная энтропия двух контактирующих кирпичей не должна меняться. Действительно, т.к. энтропия определяется температурой контактирующей поверхности, поток тепла, выходящий из горячего кирпича, равен потоку тепла, приходящему в холодный кирпич, то сколько энтропии вышло из первого кирпича, столько должно прийти во второй.

Но в действительности суммарная энтропия двух кирпичей возрастет. Это легко показать, исходя из интегральных соображений.

Пусть кирпичи имеют одинаковые массы (для упрощения задачи, это не принципиально). Внутренняя энергия одного кирпича равна $U=c_VmT$, где $c_V$ удельная теплоемкость кирпича при постоянном объеме, $m$ - его масса, $T$ - температура. Энтропия кирпича (она является функцией состояния)

$$S=m(s^o+c_Vln\frac{T}{T^o})$$

, где $s^o$ - удельная энтропия кирпича при стандартных условиях, $T^o$ - стандартная температура. По закону сохранения энергии

$$c_Vm(T_1+T_2)=c_V2mT$$

, где $T_1$ - начальная температура первого кирпича, $T_2$ - начальная температура второго кирпича, $T$ - общая конечная температура обоих кирпичей. Следовательно,

$$T=\frac{T_1+T_2}{2}$$

, т.е. конечная температура является средним арифметическим начальных температур. Начальная суммарная энтропия кирпичей

$$S_0=2c_Vms^o+c_Vmln\frac{T_1T_2}{T^o^2}$$

. Конечная

$$S=2c_Vms^0+c_V2mln\frac{T}{T^o}=2c_Vms^0+c_Vmln\frac{T^2}{T^o^2}$$

. Известно, что среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому. Следовательно,

$$\sqrt{T_1T_2}<\frac{T_1+T_2}{2}$$

. Следовательно, конечная суммарная энтропия должна быть больше начальной суммарной энтропии. А у Вас она не меняется.

[epros]

mzmz писал(а):

Исходя из Ваших рассуждений получается, что суммарная энтропия двух контактирующих кирпичей не должна меняться. Действительно, т.к. энтропия определяется температурой контактирующей поверхности, поток тепла, выходящий из горячего кирпича, равен потоку тепла, приходящему в холодный кирпич, то сколько энтропии вышло из первого кирпича, столько должно прийти во второй.

Ничего подобного в моих рассуждениях нет. Есть:
1. поток энтропии из горячего кирпича в холодный,
2. генерация энтропии в горячем кирпиче,
3. генерация энтропии в холодном кирпиче.

За счёт генерации суммарная энтропия кирпичей увеличивается. А за счёт потока она перераспределяется так, что в итоге энтропия бывшего горячего кирпича уменьшается, а бывшего холодного - увеличивается.

[mzmz]

epros писал(а):

mzmz писал(а):

Исходя из Ваших рассуждений получается, что суммарная энтропия двух контактирующих кирпичей не должна меняться. Действительно, т.к. энтропия определяется температурой контактирующей поверхности, поток тепла, выходящий из горячего кирпича, равен потоку тепла, приходящему в холодный кирпич, то сколько энтропии вышло из первого кирпича, столько должно прийти во второй.

Ничего подобного в моих рассуждениях нет. Есть:
1. поток энтропии из горячего кирпича в холодный,
2. генерация энтропии в горячем кирпиче,
3. генерация энтропии в холодном кирпиче.

За счёт генерации суммарная энтропия кирпичей увеличивается. А за счёт потока она перераспределяется так, что в итоге энтропия бывшего горячего кирпича уменьшается, а бывшего холодного - увеличивается.

Скажите пожалуйста, за счет каких процессов происходит генерация энтропии в горячем и холодном кирпичах?

[pc20b]

Большая просьба не отклоняться от красной нити дискуссии. Было показано, почему установившиеся представления о насосе ошибочны. И была изложена новая, как доказывается, правильная модель. Дальше неплохо бы предложить аргументы, опровергающие или (и) то, или (и) другое. Либо согласиться. Вопрос о температуре падающего излучения и его спектре - отдельный.

[epros]

mzmz писал(а):

Скажите пожалуйста, за счет каких процессов происходит генерация энтропии в горячем и холодном кирпичах?

За счёт процессов теплообмена. Различные части кирпича нагреты не одинаково, постепенное выравнивание температур приводит к генерации энтропии. Сначала этот процесс идёт очень интенсивно только в ближней зоне контакта, потом постепенно "расползается" в стороны от неё.

pc20b писал(а):

Было показано, почему установившиеся представления о насосе ошибочны. И была изложена новая, как доказывается, правильная модель. Дальше неплохо бы предложить аргументы, опровергающие или (и) то, или (и) другое. Либо согласиться. Вопрос о температуре падающего излучения и его спектре - отдельный.

Представления о "насосе" правильные, и в этом можно убедиться, если не игнорировать вопрос о температуре падающего излучения.

Я Вам ранее предложил рассмотреть вариант с фокусировкой всего падающего солнечного излучения в одной небольшой области поверхности Земли, которая вследствие этого будет нагрета до 6000К. Если Вы обратите на него внимание, то может быть поймёте, почему входящий поток энтропии в 20 раз меньше исходящего (не прибегая к понятию энтропии самого излучения).

[mzmz]

epros,

Скажите, если поднести холодный кирпич к горячей лампочке, энтропия кирпича будет уменьшаться?

[epros]

mzmz писал(а):

epros,

Скажите, если поднести холодный кирпич к горячей лампочке, энтропия кирпича будет уменьшаться?

Пока нагревается будет увеличиваться.

[mzmz]

Хорошо, нагрелся до предельной температуры. Дальше энтропия будет уменьшаться?

[epros]

mzmz писал(а):

Хорошо, нагрелся до предельной температуры. Дальше энтропия будет уменьшаться?

Нет. Останется неизменной.

[Someone]

pc20b писал(а):

Температура в фокусе не может быть больше температуры источника излучения.

Каким образом это можно доказать в Вашей теории?

В общепринятой всё просто: тепловое излучение не может нагреть тело до более высокой температуры, чем температура этого самого излучения, поскольку тепло не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому; при этом температура излучения равна температуре источника, то есть, излучение "помнит" температуру своего источника, как бы это излучение ни рассеивалось или концентрировалось.

В Вашей же теории излучение не помнит температуру источника, охлаждается при рассеянии и нагревается при концентрации (фокусировке). Почему, концентрируя излучение, нельзя получить температуру, превышающую температуру источника?

Вы, вообще-то, старательно игнорируете мои замечания насчёт спектра излучения. Почему, если излучение охлаждается, его спектр не меняется? Спектр излучения абсолютно чёрного тела однозначно связан с его температурой.

pc20b писал(а):

Важно в этом Вашем примере лишь то, что факт плавления пластинки в планетарии не противоречит тому, что температура теплового потока солнечного излучения, падающего на Землю, может быть меньше температуры на поверхности Солнца.

Противоречит. Увеличение температуры излучения при фокусировке противоречит тому, что тепловая энергия не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому. Поскольку фокусирующие зеркала или линзы никакой работы над излучением не совершают, повышению температуры взяться неоткуда.

pc20b писал(а):

Согласно нашей формуле, полученной из уравнений Максвелла,

$$T_s=T_{s0}(\frac {R_s}{R})^{1/2}$$

Не следует она из уравнений Максвелла. Она следует из законов теплового излучения и требования равенства поглощённой и излучённой энергии. И она у Вас не учитывает некоторых факторов, например, того, что часть излучения отражается поверхностью планеты в космическое пространство. Причём, $T_s$, на самом деле, не температура падающего излучения (она равна $T_{s0}$), а температура подсолнечной точки поверхности (в предположении, что планета вращается очень медленно), а также температура излучения планеты в этой точке.

pc20b писал(а):

Согласно Вашему представлению о постоянстве температуры теплового потока от Солнца на любом расстоянии от него, температура на солнечной стороне Меркурия должна быть равна $5800K$.

Не приписывайте мне собственные глупости. Из того, что температура падающего излучения равна 5800 K, никак не следует, что и температура поверхности планеты должна быть такой же. Я ведь рекомендовал Вам популярную книжку для школьников, в которой объясняется, как рассчитать равновесную температуру поверхности планеты, и почему реальная температура может отличаться от рассчитанной:

А.В.Бялко. Наша планета - Земля. Москва, "Наука", 1983.

В частности, для обсуждаемого выше случая получается формула

$$T_s=T_{s0}\left(\frac{R_s}{R}\right)^{\frac 12}(1-A)^{\frac 14}\text{,}$$

где $A$ - альбедо поверхности (для Меркурия $A=0.06$). По этой формуле для подсолнечной точки Меркурия получается $T_s=620 K$.

pc20b писал(а):

Более того, температура на поверхности любой планеты, находящейся в состоянии термодинамического равновесия со средой (когда действие регулярного фактора - вращения - мало), скажем, Плутона, тоже должна быть по-Вашему равной $5800K$.

Ещё раз повторяю: это не по-моему, а по-Вашему. Мне такие глупости в голову никогда не приходили.

[mzmz]

epros писал(а):

mzmz писал(а):

Хорошо, нагрелся до предельной температуры. Дальше энтропия будет уменьшаться?

Нет. Останется неизменной.

Как же так. "Что положено Юпитеру, не положено быку", так, что ли. На кирпич падает излучение лампочки. Температура излучения больше температуры кирпича. Кирпич излучает при своей температуре. Энтропия, согласно Вашим рассуждениям относительно Земли, должна уменьшаться. Признавайтесь, где Вы ошибаетесь, в случае с кирпичом, или в случае с планетой.

[pc20b]

Someone

Цитата:

Вы, вообще-то, старательно игнорируете мои замечания насчёт спектра излучения. Почему, если излучение охлаждается, его спектр не меняется? Спектр излучения абсолютно чёрного тела однозначно связан с его температурой.

Ладно, извините. По просьбе трудящихся давайте поставим точку в этом вопросе.

Спектральная и энергетическая температуры теплового излучения

Т.к. уравнение эйконала для световых лучей не зависит явно от мирового времени, то частота монохроматической плоской волны будет сохраняться постоянной вдоль направления распространения, к которому касателен волновой световой вектор (ЛЛ, II, 1962, с.304). Поэтому спектр излучения будет сохраняться при распространении излучения в вакууме.

Если излучение источника было равновесным чернотельным, то оно всюду имеет планковский спектр с одним параметром - температурой $T_{s0}$ на поверхности источника. Поэтому, когда удаленный наблюдатель меряет спектр приходящего от какого-то тела излучения (звезды, планеты, топки паровоза), то, предполагая, что оно носит равновесный характер, он по этому спектру (по частоте максимума спектральной плотности излучения) может однозначно определить равновесную температуру на поверхности источника излучения.Назовем её спектральной температурой.

Если же падающий на поверхность какого-то тела поток теплового излучения от удаленного источника тоже характеризовать (равновесной) температурой $T_s$, то она, естественно, будет меньше $T_{s0}$. Почему? При сохранении полного потока энергии излучения, равного мощности излучения с поверхности источника радиуса $R_{s0}$, плотность его потока (модуль вектора Пойнтинга) будет уменьшаться обратно пропорционально квадрату расстояния $R_s$ до источника (при сферической симметрии). С другой стороны, плотность потока энергии с поверхности источника, равная интегралу по всем частотам от спектральной плотности, для черного тела равна, как известно,

$$\sigma T_{so}^4$$

. Следовательно, если считать падающий на какое-то тело поток излучения по-прежнему равновесным, его плотность потока, равная

$$\sigma T_s^4$$

, будет, естественно меньше и будет соответствовать меньшей температуре :

(***)

$$T_s=T_{s0}(\frac {R_{s0}}{R_s})^{1/2}$$

.

Эту температуру $T_s$ назовем энергетической температурой теплового потока. В чем её смысл? Если излучение на расстоянии $R_s$ от источника (солнца) встречает какое-то тело (планету), то оно будет его нагревать, при этом тело также начнет излучать тепловой поток в вакуум. Если время нагрева достаточно велико, и тело не вращается (эффектами вращения можно пренебречь), то установится термодинамическое равновесие, при котором падающий и переизлученный потоки с поверхности сравняются. Если пренебречь также уменьшением падающего теплового потока за счет его рассеяния и отражения от поверхности тела (альбедо), то спектральная температура поверхности этого нового "черного тела" в точности будет равна $T_s$.

Что мы и наблюдаем экспериментально : cпектральная температура фотосферы Солнца $T_{s0}=5800K$, расчетная энергетическая температура его излучения, падающего, скажем, на Плутон (у которого, вследствие его удаленности от Солнца, колебания температуры из-за вращения несущественны, а также отсутствует отражающая атмосфера) по формуле (***) равна $T_s=60K$, а экспериментальная спектральная температура его поверхности, измеренная с Земли, равна примерно $50K$.

То же самое у Меркурия : из-за большой длительности его суток и отсутствия атмосферы на солнечной стороне у него измеренная с Земли спектральная температура лежит в диапазоне $500-700K$, рассчитанная по формуле (***) энергетическая температура солнечного излучения на его поверхности $T_s=630K$, и она же равна рассчитанной температуре $T_1=630K$ на его солнечной стороне в модели, учитывающей регуляризирующую роль вращения, приводящего к снижению температуры поверхности планеты и её энтропии. Т.е. излучение Меркурия с поверхности практически чернотельное ****

**** Приведенная Вами поправка с учетом альбедо $A=0.06$, уменьшающая эту температуру до $620K$, право, несущественна.

С учетом данного разъяснения становится понятным изоморфизм тех величин, которые мы используем в задаче выяснения причин уменьшения беспорядка в термодинамических системах, с Вашими :

Цитата:

Причём, $T_s$, на самом деле, не температура падающего излучения (она равна $T_{s0}$), а температура подсолнечной точки поверхности (в предположении, что планета вращается очень медленно), а также температура излучения планеты в этой точке.

Да, $T_{s0}$ равна спектральной температуре падающего излучения, т.е. температуре на поверхности Солнца, а наша энергетическая температура $T_s$ равна Вашей "температуре подсолнечной точки поверхности" и она совпала бы со спектральной температурой поверхности планеты, если бы у неё была возможность придти в равновесие с падающим излучением.

P.S. Именно по этим соображениям, когда в литературе в неправильную формулу для "отсоса энтропии" уходящим излучением с поверхности планеты, имеющим температуру около $300K$, подставляли температуру падающего теплового солнечного излучения, равную спектральной, $5800K$, т.е. температурe излучения на поверхности Солнца,

$$\frac {dS}{dt}=P(\frac {1}{5800}-\frac {1}{300})$$

,

то это лишь усугубляло недоразумение.

[epros]

mzmz писал(а):

Как же так. "Что положено Юпитеру, не положено быку", так, что ли. На кирпич падает излучение лампочки. Температура излучения больше температуры кирпича. Кирпич излучает при своей температуре. Энтропия, согласно Вашим рассуждениям относительно Земли, должна уменьшаться. Признавайтесь, где Вы ошибаетесь, в случае с кирпичом, или в случае с планетой.

Где я говорил о том, что энтропия Земли уменьшается? Будьте внимательнее. Я говорил о том, что исходящий поток энтропии больше входящего. В стационарной задаче это означает, что поток энтропии, соответствующий разнице, генерируется на Земле. Кирпича это тоже касается. Большей частью энтропия генерируется непосредственно при поглощении света лампочки менее горячей поверхностью кирпича.