Функция, квадратный трёхчлен

[nnosipov]

Keter в сообщении #658914 писал(а):

$p(x)$ - квадратный трехчлен с действительными корнями.

Только сейчас это заметил. Да уж ... Накладывать такое условие --- явное извращение. Зачем портить хорошую задачу?

Возможно, это опечатка при переписывании задачи 3 отсюда topic65719.html

-- Вс дек 16, 2012 13:21:35 --

gris в сообщении #658993 писал(а):

И спрашивается о неравенстве с краю, а не на всём отрезке.

Ну, максимум производной всегда будет на краю. Для многочленов 2-й степени это очевидно, поскольку производная линейна.

gris в сообщении #658993 писал(а):

Наиболее естественный вариант удовлетворяет, а никаких способов увеличить значение производной не получается.

Так и есть, но нужно доказывать.

[Keter]

Да, условие должно быть иным:
$p(x)$ - квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. $\forall x \in [0; 1] \quad |p(x)| \le 1.$ Доказать, что $|p'(0)| \le 8.$

Пусть дан многочлен $p_n(x).$ $M=\max_{[\alpha; \beta]} |p_n(x)|,$ тогда $|p'_n(x)| \le \dfrac{2Mn^2}{\beta-\alpha}.$
$n=2, \alpha=0, \beta=1,$ тогда $|p'(x)| \le 8M.$ Как оценить $M$? Где можно ознакомиться с доказательством неравенства Маркова?

Я сразу понял, что главная задача - оценить коэффициент $a$. Но до сих пор не понимаю как это сделать. Можно выделить 4 случая расположения параболы относительно отезка $[0; 1]:$
1) $b<0, a>0, x_0>0, p(x)<0,$
2) $b>0, a>0, x_0<0, p(x)<0,$
3) $a<0, b>0, x_0>0, p(x)>0,$
4) $a<0, b<0, x_0<0, p(x)>0.$

[nnosipov]

Keter в сообщении #659235 писал(а):

Как оценить $M$

Дано: $|p(x)| \leqslant 1$ для всех $x \in [0;1]$. Как оценить $M$?

Keter в сообщении #659235 писал(а):

Где можно ознакомиться с доказательством неравенства Маркова?

Это потом. Сначала решите задачу. Тем самым Вы докажете неравенство Маркова для $n=2$.

Keter в сообщении #659235 писал(а):

Я сразу понял, что главная задача - оценить коэффициент $a$. Но до сих пор не понимаю как это сделать.

Вообще-то оценка старшего коэффициента --- это и есть задача Чебышёва о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля. Ссылки на статьи в "Кванте", где эта задача обсуждается, дам позже. Сейчас попробуйте сами оценить $a$ --- при $n=2$ есть совершенно сермяжный подход.

Keter в сообщении #659235 писал(а):

Можно выделить 4 случая расположения параболы относительно отезка $[0; 1]:$
1) $b<0, a>0, x_0>0, p(x)<0,$
2) $b>0, a>0, x_0<0, p(x)<0,$
3) $a<0, b>0, x_0>0, p(x)>0,$
4) $a<0, b<0, x_0<0, p(x)>0.$

Ничего не понял. $x_0$ --- это что? Если абсцисса вершины параболы, то Вам нужно рассмотреть два случая: $x_0 \in (0;1)$ и противоположный $x_0 \not\in (0;1)$. Коэффициент $a$ можно сразу считать положительным (почему?).

[Keter]

nnosipov в сообщении #659268 писал(а):

Коэффициент $a$ можно сразу считать положительным

Из-за модуля?

nnosipov в сообщении #659268 писал(а):

Вам нужно рассмотреть два случая:

Тут единственное чего я не понимаю: что мне дает рассмотрение этих случаев?
$x_0 \in (0; 1)$ - на что я должен обратить внимание?

[nnosipov]

Keter в сообщении #659439 писал(а):

Из-за модуля?

Да.

Keter в сообщении #659439 писал(а):

Тут единственное чего я не понимаю: что мне дает рассмотрение этих случаев? - на что я должен обратить внимание?

Условие $|p(x)| \leqslant 1$ для всех $x \in [0;1]$ означает, что максимум $|p(x)|$ на отрезке $[0;1]$ не превосходит единицы. Этот максимум находится по-разному, в зависимости от расположения $x_0$ по отнощению к этому отрезку. Попробуйте получить систему неравенств на коэффициенты $p(x)$, эквивалентную условию $|p(x)| \leqslant 1$ для всех $x \in [0;1]$.

[Keter]

Не получается составить систему... Какое третье? $|c| \le 1, -1-c \le a+b \le 1-c.$
Что такое уклонение от нуля? Получается на отрезке $[0; 1]$ уклонение будет $1$?
А если $x \in [-5; 3]$, то уклонение $5$? И тогда $|p(x)| \le 5$?

[nnosipov]

Keter в сообщении #659507 писал(а):

Не получается составить систему... Какое третье?

Во-первых, это зависит от случая: при $x_0 \in (0;1)$ оно будет, а при $x_0 \not\in (0;1)$ его не будет. Во-вторых, вспомните, в каких точках функция (в частности, квадратичная функция), заданная на отрезке, может принимать максимум. В-третьих, сами условия $x_0 \in (0;1)$ и $x_0 \not\in (0;1)$ тоже сводятся к некоторым неравенствам, которые нужно будет учесть.

Keter в сообщении #659507 писал(а):

Что такое уклонение от нуля?

Так называют $\max_{x \in [\alpha;\beta]}{|f(x)|}$ (уклонение от нуля функции $f(x)$ на отрезке $[\alpha;\beta]$).