Уральский федеральный университет. Олимпиада по математике.
25 ноября 2012г.
Часть А (физико-математические специальности)
На решение 4 часа.
1. (Г.Л. Ходак) Две прямые заданы уравнениями:

На прямой

взята точка

;

-её проекция на прямую

;

— проекция

на прямую

;

— проекция

на прямую

и т.д. Найдите

и

2. (Е.В. Смирнова) Все элементы матрицы

размера

- целые числа. Известно, что у 92-х из этих чисел остаток от деления на 3 равен 1. Найдите остаток от деления

на 3.
3. (В.Т. Шевалдин) Пусть

- квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами. Известно, что

для всех

. Доказать, что

.
4. (Л.П. Мохрачева) Может ли для сходящегося знакочередующегося ряда оценка остатка

быть неверной для всех

? Ответ обосновать.
5. (Б.М. Веретенников)

- члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите наибольшую возможною разность этой прогрессии.
6. (Е.В. Смирнова) Дано взаимно однозначное отображение

. Доказать, что найдутся натуральные числа

и

такие, что

и

7. (Л.П. Мохрачева) В точках

и

(

) неподвижно находятся планеты с равными массами

. В створ между планетами по прямой, перпендикулярной отрезку

и проходящей через его середину, влетает комета с массой

. В начальный момент времени комета находится на расстоянии

от середины отверзка

и имеет скорость

. При каких значениях начальной скорости

возможен захват кометы системой планет и какова амплитуда колебаний захваченной кометы (планеты и комету считать материальными точками, влиянием кометы на положение планет пренебречь)?
8. (С.Н. Васильев) Верно ли, что любое целое число от

до

можно представить в виде

, где

и

- некоторые натуральные числа? Ответ обосновать.
9. (Е.В. Смирнова) Пусть

- периодическая функция с периодом 1, такая, что

при

. Решите уравнение

10. (Л.П. Мохрачева) Найдите радиус шара, вписанного в область, ограниченную поверхностями

,

,

,

,

,

,

.