2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение15.12.2012, 23:50 
$f(x)$ - периодическая $T=1$, $\forall x \in [0; 1) \quad f(x)=x^2.$ Решить уравнение $f(2x+5)+2f(x)=1.$

Я чего-то не понимаю? Тут есть решения? Я так понимаю на каждом из промежутков вида $[n; 1+n)$ функция $\varphi (x) = f(2x+5)+2f(x)$ будет принимать минимальное значение $25$. Или нет?
_____________________

$p(x)$ - квадратный трехчлен с действительными корнями. $\forall x \in [0; 1] \quad |p(x)| \le 1.$ Доказать, что $|p'(0)| \le 8$.

$p(x)=ax^2+bx+c, p'(0)=b, |c| \le 1, |a+b+c| \le 1, b^2 \ge 4ac, b^2 \ge |4a|.$ Как мыслить?

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение15.12.2012, 23:56 
Аватара пользователя
1. А какой период у функции $f(2x)$?

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение15.12.2012, 23:58 
gris, $T/2$ ?

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:04 
Аватара пользователя
Ну да, $1/2$.
Первый шаг: что делать с пятёркой.
Второй: рассмотеть уравнение на двух отрезках.

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:08 
gris, с 5 - ничего наверное, вроде не должно же на период влиять..

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:22 
Аватара пользователя
Ну а на что она вообще влияет? Напримен,

$\sin (2x+10\pi)=\sin(??)$

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:26 
gris, $...=\sin(2x)$, то есть $f(2x+5)=f(2x)$

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:33 
Аватара пользователя
Теперь пункт 2.
Уравнение же можно решать на интервале $[0,1)$, а потом к решению добавить что? Но беда, что у функции $f(2x)$ период меньше.

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:37 
gris, эта часть мне понятна, с периодами конечно я не подумал. Ответы получились $x=\dfrac{1}{\sqrt6}+n, x=\dfrac{2}{3}+n$.

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:41 
Аватара пользователя
правильно.

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:44 

(Оффтоп)

gris, а что на счет лс? или многочлена p(x), всегда с многочленами проблемы были. Не понимал задач и все, хотя зачем оно надо :-)

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 00:56 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

лучше завтра, а то уже поздно, ещё ночью приснится опять, что экзамен сдаю :-)

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 01:34 

(Оффтоп)

gris, постоянно кошмары какие-то типа вывода сумм через комплексные $\sum \sin n \varphi$ :-)

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 08:37 
Keter в сообщении #658914 писал(а):
$p(x)$ - квадратный трехчлен с действительными корнями. $\forall x \in [0; 1] \quad |p(x)| \le 1.$ Доказать, что $|p'(0)| \le 8$.
Здесь есть по крайней мере два способа решения, один из них совершенно школьный. Кстати, если в условии задачи заменить отрезок $[0;1]$ на отрезок $[-1;1]$, станет интересней. Вообще, подобные экстремальные задачи решаются в рамках конструктивной теории функций, которая занимается вопросами наилучшего приближения функций многочленами. Примером классической задачи является задача о многочлене, наименее уклоняющегося от нуля на данном отрезке. Таким многочленом оказывается многочлен Чебышёва $T_n(x)$, который обладает и рядом других экстремальных свойств. Задача об оценке для $p'(0)$ является частным случаем неравенства А.А. Маркова для производной многочлена.
Keter в сообщении #658914 писал(а):
Как мыслить?
Прежде всего, не спешить. Откуда взялись неравенства $b^2 \geqslant 4ac$ и $b^2 \geqslant 4a$? Школьный способ решения предполагает получение оценки для коэффициента $a$, после чего оценивается сам коэффициент $b$. При этом рассматриваются оба случая расположения параболы относительно отрезка $[0;1]$ (подумайте, какие).

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 08:48 
Аватара пользователя
А я вот немного не понял, зачем дано условие существования корней? И спрашивается о неравенстве с краю, а не на всём отрезке.
Я во сне :-) увидел, как в прямоугольник пытаются втиснуть параболу. Наиболее естественный вариант удовлетворяет, а никаких способов увеличить значение производной не получается.
Но это так, на первый взгляд, наверное.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group