2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 09:06 
Keter в сообщении #658914 писал(а):
$p(x)$ - квадратный трехчлен с действительными корнями.
Только сейчас это заметил. Да уж ... Накладывать такое условие --- явное извращение. Зачем портить хорошую задачу?

Возможно, это опечатка при переписывании задачи 3 отсюда topic65719.html

-- Вс дек 16, 2012 13:21:35 --

gris в сообщении #658993 писал(а):
И спрашивается о неравенстве с краю, а не на всём отрезке.
Ну, максимум производной всегда будет на краю. Для многочленов 2-й степени это очевидно, поскольку производная линейна.
gris в сообщении #658993 писал(а):
Наиболее естественный вариант удовлетворяет, а никаких способов увеличить значение производной не получается.
Так и есть, но нужно доказывать.

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 16:39 
Да, условие должно быть иным:
$p(x)$ - квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. $\forall x \in [0; 1] \quad |p(x)| \le 1.$ Доказать, что $|p'(0)| \le 8.$

Пусть дан многочлен $p_n(x).$ $M=\max_{[\alpha; \beta]} |p_n(x)|,$ тогда $|p'_n(x)| \le \dfrac{2Mn^2}{\beta-\alpha}.$
$n=2, \alpha=0, \beta=1,$ тогда $|p'(x)| \le 8M.$ Как оценить $M$? Где можно ознакомиться с доказательством неравенства Маркова?

Я сразу понял, что главная задача - оценить коэффициент $a$. Но до сих пор не понимаю как это сделать. Можно выделить 4 случая расположения параболы относительно отезка $[0; 1]:$
1) $b<0, a>0, x_0>0, p(x)<0,$
2) $b>0, a>0, x_0<0, p(x)<0,$
3) $a<0, b>0, x_0>0, p(x)>0,$
4) $a<0, b<0, x_0<0, p(x)>0.$

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 17:18 
Keter в сообщении #659235 писал(а):
Как оценить $M$
Дано: $|p(x)| \leqslant 1$ для всех $x \in [0;1]$. Как оценить $M$?
Keter в сообщении #659235 писал(а):
Где можно ознакомиться с доказательством неравенства Маркова?
Это потом. Сначала решите задачу. Тем самым Вы докажете неравенство Маркова для $n=2$.
Keter в сообщении #659235 писал(а):
Я сразу понял, что главная задача - оценить коэффициент $a$. Но до сих пор не понимаю как это сделать.
Вообще-то оценка старшего коэффициента --- это и есть задача Чебышёва о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля. Ссылки на статьи в "Кванте", где эта задача обсуждается, дам позже. Сейчас попробуйте сами оценить $a$ --- при $n=2$ есть совершенно сермяжный подход.
Keter в сообщении #659235 писал(а):
Можно выделить 4 случая расположения параболы относительно отезка $[0; 1]:$
1) $b<0, a>0, x_0>0, p(x)<0,$
2) $b>0, a>0, x_0<0, p(x)<0,$
3) $a<0, b>0, x_0>0, p(x)>0,$
4) $a<0, b<0, x_0<0, p(x)>0.$
Ничего не понял. $x_0$ --- это что? Если абсцисса вершины параболы, то Вам нужно рассмотреть два случая: $x_0 \in (0;1)$ и противоположный $x_0 \not\in (0;1)$. Коэффициент $a$ можно сразу считать положительным (почему?).

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 20:57 
nnosipov в сообщении #659268 писал(а):
Коэффициент $a$ можно сразу считать положительным

Из-за модуля?

nnosipov в сообщении #659268 писал(а):
Вам нужно рассмотреть два случая:

Тут единственное чего я не понимаю: что мне дает рассмотрение этих случаев?
$x_0 \in (0; 1)$ - на что я должен обратить внимание?

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 22:09 
Keter в сообщении #659439 писал(а):
Из-за модуля?
Да.
Keter в сообщении #659439 писал(а):
Тут единственное чего я не понимаю: что мне дает рассмотрение этих случаев? - на что я должен обратить внимание?
Условие $|p(x)| \leqslant 1$ для всех $x \in [0;1]$ означает, что максимум $|p(x)|$ на отрезке $[0;1]$ не превосходит единицы. Этот максимум находится по-разному, в зависимости от расположения $x_0$ по отнощению к этому отрезку. Попробуйте получить систему неравенств на коэффициенты $p(x)$, эквивалентную условию $|p(x)| \leqslant 1$ для всех $x \in [0;1]$.

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение16.12.2012, 22:48 
Не получается составить систему... Какое третье? $|c| \le 1, -1-c \le a+b \le 1-c.$
Что такое уклонение от нуля? Получается на отрезке $[0; 1]$ уклонение будет $1$?
А если $x \in [-5; 3]$, то уклонение $5$? И тогда $|p(x)| \le 5$?

 
 
 
 Re: Функция, квадратный трёхчлен
Сообщение17.12.2012, 09:21 
Keter в сообщении #659507 писал(а):
Не получается составить систему... Какое третье?
Во-первых, это зависит от случая: при $x_0 \in (0;1)$ оно будет, а при $x_0 \not\in (0;1)$ его не будет. Во-вторых, вспомните, в каких точках функция (в частности, квадратичная функция), заданная на отрезке, может принимать максимум. В-третьих, сами условия $x_0 \in (0;1)$ и $x_0 \not\in (0;1)$ тоже сводятся к некоторым неравенствам, которые нужно будет учесть.
Keter в сообщении #659507 писал(а):
Что такое уклонение от нуля?
Так называют $\max_{x \in [\alpha;\beta]}{|f(x)|}$ (уклонение от нуля функции $f(x)$ на отрезке $[\alpha;\beta]$).

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group