равномерность

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #637245 писал(а):

Функция $1/\ln^k x$ является гладкой на бесконечности и не имеет точек прегиба. Значит простые k-кортежи равномерно распределены в среднем по любому модулю, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $1/\ln^k x$, что при любом взаимно простом с m вычете выполняется:

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\ln^k(m)} \int_2^x \ln^k(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей не превосходящих x?

нет конечно

[vicvolf]

Руст в сообщении #632580 писал(а):

vicvolf в сообщении #632461 писал(а):

Значит Вы утверждается, что для всех гладких нелинейных функций, если они не имеют точек перегиба, имеется равномерность в среднем?

Да.

Руст в сообщении #626015 писал(а):

vicvolf в сообщении #626010 писал(а):

А что скажете о такой формулировке равномерности расположения k-кортежей.
Простые k-кортежи равномерно распределены в среднем по любому модулю, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $\phi (x)$, что при любом взаимно простом с m вычете выполняется:

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x?

Это формулировка об их равномерности в среднем, если добавить, что $\phi(x)$ функция гладкая в бесконечности ($|\frac{x\phi'(x)}{x}|<const.$

Это продолжение нашего раговора с Рустом (специально сделаны ссылки на старые сообщения).
В своей теме "Оценка количества некоторых групп чисел......" я показал, что асимптотика средней плотности k-кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:
$P_{km}(x) \sim C_{km}/ \ln^k x$, где $C_{km}$ зависит от k и модуля ПСВ -m. Поэтому функция плотности взята не с потолка!
Далее я определяю число k-кортежей в ПСВ(m) -$\pi_{km}(x)$ интегрированием $P_{km}$ по Риману. Естественно при этом накапливается ошибка и важна точность оценки.
Руст в этой теме доказывает, что если функция плотности является гладкой на бесконечности и не имеет точек перегиба, то для нее выполняется равномерность в среднем.
Функция $P_{km}(x) \sim C_{km}/ \ln^k x$, является гладкой на бесконечности и не имеет точек прегиба. Значит при любом взаимно простом с m вычете выполняется равномерность в среднем, т.е.:

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{P_{km}(m)} \int_2^x P_{km}(t))dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей не превосходящих x?

[Руст]

vicvolf в сообщении #637636 писал(а):

А что скажете о такой формулировке равномерности расположения k-кортежей.
Простые k-кортежи равномерно распределены в среднем по любому модулю, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $\phi (x)$, что при любом взаимно простом с m вычете выполняется:

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x?Это формулировка об их равномерности в среднем, если добавить, что $\phi(x)$ функция гладкая в бесконечности ($|\frac{x\phi'(x)}{x}|<const.$

Я писал, что не умею даже доказывать, имеют ли ваши кортежи вычетов плотность. А вы уже говорите об их равномерности чуть ли ни как о доказанном факте.

Цитата:

Это продолжение нашего раговора с Рустом (специально сделаны ссылки на старые сообщения).
В своей теме "Оценка количества некоторых групп чисел......" я показал, что асимптотика средней плотности k-кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:
$P_{km}(x) \sim C_{km}/ \ln^k x$, где $C_{km}$ зависит от k и модуля ПСВ -m. Поэтому функция плотности взята не с потолка!

Нет, с потолка. Средняя плотность само по себе не имеет особого отношения к плотности. У вас к тому же эти множества с увеличением М меняются.

Цитата:

Далее я определяю число k-кортежей в ПСВ(m) -$\pi_{km}(x)$ интегрированием $P_{km}$ по Риману. Естественно при этом накапливается ошибка и важна точность оценки.
Руст в этой теме доказывает, что если функция плотности является гладкой на бесконечности и не имеет точек перегиба, то для нее выполняется равномерность в среднем.
Функция $P_{km}(x) \sim C_{km}/ \ln^k x$, является гладкой на бесконечности и не имеет точек прегиба.

Посмотрите еще раз. Я говорил там не о функции плотности, а о распределении дробных долей $\{\frac{1}{h_2}f(xh_1)\}$ для дваждой непрерывно дифференцируемой функции. Для них, как я уже говорил, плотность распределения 1 (тождественная). Речь идет только насколько дробные доли равномерно распределены.

[vicvolf]

Руст в сообщении #632789 писал(а):

Давайте не будем путать, плотность $\phi (x)$ , которую я ввел для определения равномерностей распределения последовательностей такого рода, как простые числа.
Здесь еще можно говорить о более сильных равномерностях. Однако, для их изучения мы пришли к равномерности распределения дробных долей функции $f(n)$.

А какая обратная связь между равномерностью в среднем распределением дробных долей функции и равномерностью. в среднем распределения последовательностей типа простых чисел?

-- 04.11.2012, 11:20 --

Цитата:

Средняя плотность само по себе не имеет особого отношения к плотности. У вас к тому же эти множества с увеличением М меняются.

Естественно, так как количество k-кортежей в ПСВ зависит от модуля m.

[Руст]

vicvolf в сообщении #639855 писал(а):

А какая обратная связь между равномерностью в среднем распределением дробных долей функции и равномерностью. в среднем распределения последовательностей типа простых чисел?

Связь есть. Например, если при любом n и b дробные доли $\{\ln p+b\}$ для простых $e^{n}<p<e^{n+1}$ равномерно распределены, то простые числа равномерно распределены как числовая последовательность с плотностью $\frac{1}{\ln x}$ .

[vicvolf]

Руст в сообщении #639882 писал(а):

Связь есть. Например, если при любом n и b дробные доли $\{\ln p+b\}$ для простых $e^{n}<p<e^{n+1}$ равномерно распределены, то простые числа равномерно распределены как числовая последовательность с плотностью $\frac{1}{\ln x}$ .

Это частный случай, а как записывается эта связь в общем случае?

[vicvolf]

Руст писал(а):

Нет. Это меня особо не волновало. Если последовательность типа $p_k$ распределено равномерно в числовой оси с плотностью $\phi(x)$ , то дробные доли $\frac{1}{\phi (p_k)}$ должны быть равномерно распределены между целыми уровнями.

Наверно справедливо и обратное утверждение. Если дробные доли $\frac{1}{\phi (p_k)}$ равномерно распределены между целыми уровнями, то последовательность типа $p_k$ распределена равномерно в числовой оси с плотностью $\phi(x)$, т.е это необходимо и достаточно. Под равномерностью распределения Вы имеете в виду равномерность в среднем?

Руст писал(а):

Пока этим не интересовался. Насколько мне подсказывает интуиция, обратное может быть не верно, если слишком разреженная плотность. Для плотностей, для которых $\frac{1}{\phi(x)}=O(x^{\epsilon}) \forall \epsilon >0$ это должно быть верно.

По-моему это вопрос очень важен! Зачем тогда теория g-сумм? Ведь Вы сами в начале темы писали:

-- 08.11.2012, 09:33 --

Руст в сообщении #617290 писал(а):

Первый вопрос, что можно задать относительно $x_n=f(n)$ это вопрос об их количестве в некотором интервале с концами в $a$ и $b$. Обозначим это количество через $\pi(f,a,b)$. ...
Естественно нам хотелось бы упростить подсчет таких величин, учитывая аддитивность свести к вычислению некоторого интеграла. А для этого требуется равномерность.

-- 08.11.2012, 09:36 --

Руст в сообщении #618891 писал(а):

Мы хотим получить формулы типа

$$\pi(f,a,b)=\int_a^b r(y)dy +R.\eqno (2)$$

Здесь $r(y)$ плотность распределения вблизи значения $y$, число $R$ - ошибка вычисления точного количества через интеграл. На плотность $r(y)$ имеются естественные требования. Она должна слабо зависит от $y$. Точнее это относится к случаю, когда значения устремляются к бесконечности и тогда должно быть

$$|\frac{yr'(y)}{r(y)}|<C\eqno (3)$$

начиная с некоторого $y>y_0$.

-- 08.11.2012, 09:44 --

Руст в сообщении #623083 писал(а):

Все это приводит к родственным с рассмотренными, задачам об распределении количества целых точек в области, при устремлении шага сетки к нулю.

Ведь теория g-сумм эта прикладная теория, которая должна быть использована по назначению, а не сама для себя? И тут естественен вопрос о справедливости обратного утверждения.

-- 08.11.2012, 10:03 --

Руст в сообщении #637682 писал(а):

Средняя плотность само по себе не имеет особого отношения к плотности.

-- 08.11.2012, 10:06 --

А разве здесь Вы не находите среднюю плотность на интервале.

Руст в сообщении #618891 писал(а):

Заметим, что понятие плотности исходит здесь из механики как и анализ бесконечно малых Ньютона-Лейбница (скорости). Разница только в том, что мы здесь строим некое подобие бесконечно больших. Соответственно вычисляя отношение

$$\frac{\pi(f,a,b,A,B)}{B-A}$$

находим "вероятность попадания" величины в интервал $\{a,b\}$, а деля это выражение на $b-a$ находим оценку плотности этой величины для заданного интервала.

[vicvolf]

Руст в сообщении #618891 писал(а):

Мы хотим получить формулы типа

$$\pi(f,a,b)=\int_a^b r(y)dy +R.\eqno (2)$$

Здесь $r(y)$ плотность распределения вблизи значения $y$, число $R$ - ошибка вычисления точного количества через интеграл.

У Вас здесь равенство, а у меня асимптотическое равенство, которое в принципе равенством вообще не является. Поэтому это не мой случай.