равномерность

[Руст]

В связи с тем, что некоторые любители не понимают четкого смысла понятий типа плотности распределения (в теории чисел), решил изложить свое толкование этих вещей, как специалист в механике сплошных сред (я не математик). Некоторые из этих понятий напрямую связаны со статистической физикой, механикой сплошных сред (сплошная среда не является сплошной в буквальном смысле), как плотность и т.д. В теории чисел как и в физике мы не можем устремлять окрестность точки до нуля при подсчете плотности. Соответственно требуется несколько другие определения. Заметим, что все так называемые эвристические соображения из теории чисел, так или иначе связаны с равномерностью некоторой последовательности. Да и гипотезы основаны на нем. Поэтому важно иметь четкие определения равномерности.

Как конструктивист я признаю только перечислимые множества (континиумы, аксиомы выбора только терплю, когда встречаю). Соответственно морфизмы представляю как последовательности $x_n=f(n)$, заданные некоторой вычислимой функцией. Здесь (в теории чисел) рассмотрим функции только со значениями в числах, преимущественно действительных. Их у меня счетное количество и мощность тут не причем. Первый вопрос, что можно задать относительно $x_n=f(n)$ это вопрос об их количестве в некотором интервале с концами в $a$ и $b$. Обозначим это количество через $\pi(f,a,b)$. Если мы под интервалом мы понимали открытый $(a,b)$ интервал, когда концевые значения принимаются с весами 0,0 или закрытый интервал $[a,b]$ с весами для концов 1,1, то вообще говоря не выполнялось бы важное свойство аддитивности:

$$\pi(f,a,b)+\pi(f,b,c)=\pi(a,c)\eqno(1)$$

из-за того, что сумма весов концевых точек отлична от 1. Когда выполняется свойство аддитивности можно ввести $\pi_*(f,a)=\pi(f,-\infty,a)$ и $\pi(f,a,b)=\pi_*(f,b)-\pi_*(f,a)$ а так же некоторое подобие интегралов.
Поэтому в теории чисел под интервалами понимают $[a,b)$ или $(a,b]$ (чаще последнее) с весами для концевых значений 1,0 или 0,1. Мне удобнее использовать интервалы (не знаю как их обозначать), когда концевые значения имеют одинаковый вес $\frac{1}{2}$. Например, когда $f$ перечисляет простые числа, то $\pi(1,2)=\frac 12, \pi(2,3)=\frac 12 +\frac 12 =1.$
Вообще говоря $\pi(f,a,b)$ может оказаться бесконечным. Для того, чтобы избежать этого ограничим и интервал изменения $n$ $A\le n\le B$. Здесь опять при подсчете $\pi(f,a,b,A,B)$ веса краев надо считать равным $\frac 12$. При этом, если $n=A, f(n)=a$, то эта точка будет считаться с весом $\frac 12 *\frac 12 =\frac 14.$
Естественно нам хотелось бы упростить подсчет таких величин, учитывая аддитивность свести к вычислению некоторого интеграла. А для этого требуется равномерность о котором пойдет речь в продолжении.

[Oleg Zubelevich]

Руст в сообщении #617290 писал(а):

В связи с тем, что некоторые любители не понимают четкого смысла понятий типа плотности распределения (в теории чисел), решил изложить свое толкование этих вещей, как специалист в механике сплошных сред (я не математик)

Руст в сообщении #617290 писал(а):

я признаю только перечислимые множества (континиумы, аксиомы выбора только терплю, когда встречаю)

ржунимагу

[Апис]

Разве у вас есть формула для определения количества простых чисел на интервале (а,с) $\[\pi (a,c)\]$
Насколько мне известно есть формула для интервалов $\[\pi (0,a)\]$ $\[\pi (0,c)\]$ И только тогда находите для интервала (а,с) Или я не прав?

[Sonic86]

Есть это: topic21405.html , topic3553.html

[Руст]

Раз есть интерес, я продолжу (вечером). В формуле (1) в правой части я пропустил, $f$, точнее она имеет вид:

$$\pi(f,a,b)+\pi(f,b,c)=\pi(f,a,c)\eqno(1)$$

[Апис]

Руст в сообщении #618556 писал(а):

Раз есть интерес, я продолжу (вечером)

И пожалуйста, если можно, выкладки для всех интервалов (0,c) (0,a) (0,b) (a,b) (b,c) (a,c) и по плотности и с весами для концевых значений. Интересны изменения этих значений.

[Руст]

Мы хотим получить формулы типа

$$\pi(f,a,b)=\int_a^b r(y)dy +R.\eqno (2)$$

Здесь $r(y)$ плотность распределения вблизи значения $y$, число $R$ - ошибка вычисления точного количества через интеграл. На плотность $r(y)$ имеются естественные требования. Она должна слабо зависит от $y$. Точнее это относится к случаю, когда значения устремляются к бесконечности и тогда должно быть

$$|\frac{yr'(y)}{r(y)}|<C\eqno (3)$$

начиная с некоторого $y>y_0$.
Можно требовать стремление к нулю этой величины при стремлении $y$ к бесконечности. Такие функции назовем гладкими в бесконечности. Заметим, что гладкие в бесконечности в смысле ТФКП (через $\frac{1}{z}$ удовлетворяют этому условию, только они определяют более узкий класс, примерно как аналитические среди дифференцируемых в смысле действительного анализа. Я пока сосредоточусь только в случае, когда значения устремляются к бесконечности (для любого А, все значения начиная с некоторого больше А) как в случае простых чисел. В этом случае мотивом для условия (3) является то, что позиционирование в точке будет определяться отношением $\frac{b-a}{y}, a<y<b.$ Соответственно, взяв интервалы $(y-l,y], [y,y+l)$ получаем, что значения средней плотности $\frac{\pi(f,y-l,y)}{l},\frac{\pi,y,y+l)}{l}$ должны представлять одно и то же число $r(y)$, когда $\frac{y}{l}$ мало. Это приводит к малой зависимости $r(y)$ от аргумента как в случае (3). Здесь необходимо дать уточнение об $R$. Чтобы плотность была определена однозначно, необходимо, чтобы $R$ была малой по отношению к главному члену интегралу. Но эта малость зависит от интервала и для этого случая, когда определено понятие плотности будем говорить, что $f(n)$ распределена равномерно в среднем, если в (2) выполняется

$$|R|<C(\epsilon)(1+\sqrt{I})B^{\epsilon}, I=\int_a^br(y)dy$$

, когда $B-A>\epsilon B$. Если оценка для $R$ выполняется при любых интервалах $A<B$, то будем говорить, что $f$ распределено строго равномерно.

Можно рассмотреть более общие ситуации, рассматривая отношения

$$r(a,b)=\frac{\pi(f,a,b,A,B)}{(b-a)(B-A)}. $$

Однако единое рассмотрение всех ситуаций определения плотности скорее всего только запутает читателя и пока стоит ограничиться на отдельных случаях.

Заметим, что понятие плотности исходит здесь из механики как и анализ бесконечно малых Ньютона-Лейбница (скорости). Разница только в том, что мы здесь строим некое подобие бесконечно больших. Соответственно вычисляя отношение

$$\frac{\pi(f,a,b,A,B)}{B-A}$$

находим "вероятность попадания" величины в интервал $\{a,b\}$, а деля это выражение на $b-a$ находим оценку плотности этой величины для заданного интервала.

[Апис]

У вас три составляющие в работе
Интервал(a,b)
Число(y) $\frac{b-a}{y}, a<y<b.$
число $R$ - ошибка вычисления точного количества через интеграл
В последней составляющей, два если (если в (2) выполняется

$$|R|<C(\epsilon)(1+\sqrt{I})B^{\epsilon}, I=\int_a^br(y)dy$$

, когда $B-A>\epsilon B$. Если оценка для $R$ выполняется при любых интервалах $A<B$, то будем говорить, что $f$ распределено строго равномерно)
Сразу вопрос, а если не выполняется?
Мне кажется нужно изменить постановку задачи, например: Вокруг каждого числа (y) $\frac{b-a}{y}, a<y<b.$ Есть определённая окрестность в которой равномерная плотность простых чисел. И размеры этой окрестности зависят от величины числа $R$ - ошибка вычисления точного количества через интеграл.
Я попробую похожее доказать, но своим методом. Для каждого числа (еy)

[Руст]

Апис в сообщении #619364 писал(а):

У вас три составляющие в работе
Интервал(a,b)
Число(y) $\frac{b-a}{y}, a<y<b.$
число $R$ - ошибка вычисления точного количества через интеграл

Да, точка y, точка где позиционируется определенное значение плотности, из-за требования гладкости в бесконечности для функции плотности эта плотность не должна существенно зависит от окаймляющего интервала (a,b) при условии что он большой (больше $y\epsilon$). Вообще здесь при определении плотности в точке у лучше надо было взять другие буквы для окаймляющего интервала. R - ошибка при вычислении количества через интеграл от плотности. В отличии от исчисления бесконечно малых, здесь оно необходимо и всегда возникает. Плотность необходим для выражения количества попавших в некоторый интервал через интеграл так, чтобы ошибка была мала по сравнению с самим интегралом (иначе нет смысла введения плотности). Однако эта малость (по сравнению с интегралом) имеет место только для достаточно презентативных интервалов. Насколько мала и для каких интервалов определяется степенью равномерности распределения. Если только для больших интервалов (АВ), когда А порядка В, то равномерность слабая и в среднем. Когда R для таких интервалов аппоксимируется примерно как квадратный корень от интеграла равномерность умеренная и я назвал это равномерностью в среднем, оно встречается чаще всего. Для простых чисел гипотеза Римана эквивалентно равномерности распределения простых в среднем. Доказательство равномерности в среднем для простых решает многие задачи, но для других - распределение близнецов (вообще кортежей), бинарная проблема Гольдбаха-Эйлера и т.д. для своего решения требуют доказательства более строгой равномерности.

Цитата:

В последней составляющей, два если (если в (2) выполняется

$$|R|<C(\epsilon)(1+\sqrt{I})B^{\epsilon}, I=\int_a^br(y)dy$$

, когда $B-A>\epsilon B$. Если оценка для $R$ выполняется при любых интервалах $A<B$, то будем говорить, что $f$ распределено строго равномерно)
Сразу вопрос, а если не выполняется?

Значит пока мы не можем решить задачи трбующие строгую равномерность для своего решения.

Цитата:

Мне кажется нужно изменить постановку задачи, например: Вокруг каждого числа (y) $\frac{b-a}{y}, a<y<b.$ Есть определённая окрестность в которой равномерная плотность простых чисел. И размеры этой окрестности зависят от величины числа $R$ - ошибка вычисления точного количества через интеграл.
Я попробую похожее доказать, но своим методом. Для каждого числа (еy)

Это учитывается уже в самом определении, для малых интервалов даже при наличии строгой равномерности ошибка R может быть больше самого интеграла. Именно поэтому, перенесение средней плотности к малым интервалам как для ПСВ порядка степени от логарифма модуля абсолютно бессмысленно даже если мы доказали их (ПСВ) строгую равномерность. На самом деле можно показать, что существует интервалы примерно таких длин, куда не попадет не одно из ПСВ. Мало того, не доказано, что ПСВ имеет плотность, а уже используется для оценки простых в интервале $(p_r,p_r^2)$ с единой средней плотностью. При этом и сами простые имеют в этом интервале разные плотности примерно в два раза меньше у правого конца по сравнению с плотностью у левого конца. Именно с целью разъяснения таких нелепостей я открыл эту тему. Я считаю ПСВ тупиковым путем для изучения распределения простых чисел и тем более для распределения простых кортежей.

Основная цель введения понятий плотности - это подсчет количества членов через интегралы, так что чем больше интервал тем меньше была относительная погрешность. Естественно, что распределение мы определяем через конечные интервалы (можно по некоторому модулю). При этом у нас должен быть параметр, который устремляясь к бесконечности дает соответствующие оценки количества и погрешности.

Подсчет через плотность близок к вычислению вероятности попадания случайной величины в интервал, разница только в нормировке- первая величина не нормирована и она часто используется в теории чисел как вероятностные методы. Для плотностей так же имеется теорема, аналогичная выражению распределения $f(X)$, через распределение $X$. Но при этом требуется выполнение дополнительных требований к функции, что $f(X)$ так же была равномерной величиной.

Сама теория обслуживает в первую очередь распределение простых чисел, или простых чисел, удовлетворяющих определенным условиям. Я уже сказал, что метод ПСВ абсолютно бесперспективна. Спрашивается, что тогда делать? На мой взгляд единственно перспективный путь изучать распределения $f(n)$ оценить разницу $R$ таких сумм от аппроксимирующего через интеграл от плотности и доказать их равномерность. Далее оценить такие суммы, распространенные только на простые числа. Когда функция мультипликативна, появляются дополнительные удобства для оценки таких сумм только по простым. Доказав равномерность таких величин, из упомянутой выше теоремы, приходим к способу доказательства равномерности самих простых чисел. В дальнейшем я более подробно ознакомлю этим методом. Только у меня на предстоящей неделе предстоит поездка в Севастополь и надо еще готовится. Продолжу, когда вернусь - через неделю.

[vicvolf]

Руст в сообщении #619719 писал(а):

Основная цель введения понятий плотности - это подсчет количества членов через интегралы, так что чем больше интервал тем меньше была относительная погрешность. Естественно, что распределение мы определяем через конечные интервалы (можно по некоторому модулю). При этом у нас должен быть параметр, который устремляясь к бесконечности дает соответствующие оценки количества и погрешности.

Подсчет через плотность близок к вычислению вероятности попадания случайной величины в интервал, разница только в нормировке- первая величина не нормирована и она часто используется в теории чисел как вероятностные методы. Для плотностей так же имеется теорема, аналогичная выражению распределения $f(X)$, через распределение $X$. Но при этом требуется выполнение дополнительных требований к функции, что $f(X)$ так же была равномерной величиной.

Сама теория обслуживает в первую очередь распределение простых чисел, или простых чисел, удовлетворяющих определенным условиям. Я уже сказал, что метод ПСВ абсолютно бесперспективна. Спрашивается, что тогда делать? На мой взгляд единственно перспективный путь изучать распределения $f(n)$ оценить разницу $R$ таких сумм от аппроксимирующего через интеграл от плотности и доказать их равномерность. Далее оценить такие суммы, распространенные только на простые числа. Когда функция мультипликативна, появляются дополнительные удобства для оценки таких сумм только по простым. Доказав равномерность таких величин, из упомянутой выше теоремы, приходим к способу доказательства равномерности самих простых чисел. В дальнейшем я более подробно ознакомлю этим методом. Т

Когда начинаем говорим о равномерности, то возникает вопрос о равномерности чего? Ведь существует понятие равномерной сходимости последовательности. Поэтому надо пояснить. что разговор в данном случае идет о равномерности средней плотности.
Плотность на каком-либо интервале может быть только средней, так как это частное от деления количества чисел на интервале, удовлетворяющих определенным требованиям, к длине интервала.
Понятие равномерности средней плотности в теории чисел означает равное количество чисел, удовлетворяющих определенным требованиям, на равных интервалах. например, таким свойством обладают арифметические прогрессии.
Если плотность равномерная, то количество чисел, удовлетворяющих определенным свойством, на любом интервале находится просто - как произведение плотности на длину интервала.
Количество простых чисел на равных интервалах не равны, поэтому простые числа не обладают свойством равномерной средней плотности.
Для нахождения количества чисел, удолетворяющих определенным требованиям, и не обладающим равномерной средней плотности служит определенный интеграл от функции средней плотности по нужному интервалу. в этом случае, произведения средних плотностей на длину интервала суммируются при стремлении длин интервалов к нулю (из определения данного интеграла).
При этом ошибка не возникает, если выполняется свойство асимптотичности. В этом случае справедлива лемма.
Лемма
Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty$, $\lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).

Доказательство
Рассмотрим (6.1). Числитель и знаменатель данного выражения являются функциями верхнего предела интегрирования, поэтому на основании теоремы о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу производная от такой функции существует и равна подынтегральной функции, где в качестве переменной находится верхний предел.
Так как $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty$, $\lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty$ и производная и числителя и знаменателя существуют, то найдем (6.1) по правилу Лопиталя:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {(\int_{a}^{x}{f(t)dt})'_x} {(\int_{a}^{x}{g(t)dt})'_x}}=lim \limits_{x \to \infty} {\frac {f(x)} {g(t)}}$.
На основании $f(x) \sim g(x)$ следует, что $lim \limits_{x \to \infty} {\frac {f(x)} {g(t)}}=1$.
Следовательно, \lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1 (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$.

[Апис]

vicvolf в сообщении #621032 писал(а):

Поэтому надо пояснить. что разговор в данном случае идет о равномерности средней плотности.
Плотность на каком-либо интервале может быть только средней,

А может быть и просто плотностью, при равномерном распределении простых чисел на интервале. Например интервал (2,6) плотность разве средняя. Насколько я понял, тоже самое в окрестностях точки (y)

[vicvolf]

А может быть и просто плотностью, при равномерном распределении простых чисел на интервале. Например интервал (2,6) плотность разве средняя. Насколько я понял, тоже самое в окрестностях точки (y)[/quote]
Да, конечно средняя плотность на большом интервале отличаеттся от плотности на меньшем подинтевале. Например, можно указать любой конечный подинтевал натуральных чисел, где нет ни одного простого числа. Однако это не мешает делать средние интегральные оценки количества простых чисел на любом подинтевале. При этом ошибка оценки конечно зависит от длины подинтервала. Но я говорю не о конечном, а о бесконечном интервале, т.е. имею в виду асимтотические оценки. Может быть я не совсем доходчиво изложил мысль в своем сообщении. Лемма, приведенная в сообщении, как раз об асимтотических оценках. В частном случае функции f(x) и g(x) являются плотностью и асимтотической оценкой плотности кортежей чисел. В этом случае на основании леммы выполняется асимтотика интегральных оценок количества кортежей без ошибок.

[Руст]

vicvolf в сообщении #621032 писал(а):

Когда начинаем говорим о равномерности, то возникает вопрос о равномерности чего? Ведь существует понятие равномерной сходимости последовательности. Поэтому надо пояснить. что разговор в данном случае идет о равномерности средней плотности.
Плотность на каком-либо интервале может быть только средней, так как это частное от деления количества чисел на интервале, удовлетворяющих определенным требованиям, к длине интервала.

О равномерности последовательности, заданной вычислимой функцией $x_n=f(n)$.
Понятие равномерной сходимости последовательности не существует. Можно говорить только о равномерной сходимости семейства последовательностей имеющих дополнительный параметр и равномерная сходимость относится к дополнительному параметру. Все это из другой оперы.
Средняя плотность не имеет параметра локализации и если плотность распределения не всюду одинаковая, как у простых чисел, то она не работает, плохо оценивает количество указанного вида чисел в данном интервале через интеграл. Именно из-за этого появляется необходимость о локализованной плотности, требование к нему как о гладкой в бесконечности функции и оценки погрешности при вычислении через интеграл.

Цитата:

Понятие равномерности средней плотности в теории чисел означает равное количество чисел, удовлетворяющих определенным требованиям, на равных интервалах. например, таким свойством обладают арифметические прогрессии.
Если плотность равномерная, то количество чисел, удовлетворяющих определенным свойством, на любом интервале находится просто - как произведение плотности на длину интервала.
Количество простых чисел на равных интервалах не равны, поэтому простые числа не обладают свойством равномерной средней плотности.

По сути на все это я ответил выше. Понятие равномерности расширяется на случай, когда локализованная плотность не является константой указанным выше способом.

Цитата:

Для нахождения количества чисел, удолетворяющих определенным требованиям, и не обладающим равномерной средней плотности служит определенный интеграл от функции средней плотности по нужному интервалу. в этом случае, произведения средних плотностей на длину интервала суммируются при стремлении длин интервалов к нулю (из определения данного интеграла).

Как уже было сказано, мы не можем устремлять интервалы к нулю при аппроксимации функции натурального аргумента, нам необходимо их устремлять к бесконечности определенным образом. Раз речь идет об интеграле от чего то, то это и есть локализованная плотность. Только ее надо еще более конкретно определить (как выше). При этом появляется автоматический (так как интервалы не устремляются к нулю) погрешность R.

Цитата:

При этом ошибка не возникает, если выполняется свойство асимптотичности. В этом случае справедлива лемма.
Лемма
Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty$, $\lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).

Я не понял, к чему это. Обычно плотности стремятся к нулю. То, что отношения интегралов стремятся к 1 так же не говорит о не возникновении ошибок, так как ошибки характеризуются не отношением, а разницей интегралов, которые могут стремится к бесконечности.

Продолжу дальше. Последовательности натуральных чисел, уходящие в бесконечность мы изучаем через распределения при некотором ограничении сверху, устремляя предел ограничения М к бесконечности. Это позволяет изучать распределение таких чисел рассмотрением по большому модулю или множеством более мелких модулей. Изучение по модулю М сводится к распределению чисел $\frac{x_n}{M}$ по модулю 1, т.е. распределение дробных частей этой последовательности. Сводя рассмотрение по более мелким модулям, когда распределение по определенным вычетам становится равномерным в смысле постоянной плотности, стоит заново ввести определения для этого случая. По сути это будут прежние определения с функцией плотности 1 для значений в интервале $[0,1)$. При этом локализацию лучше производить не по значениям (тут она постоянная и равно 1), а по n<M. Т.е. если

$$|\pi(a,b,A,B,f)-2\delta (b-a)M|<R, A=(x-\delta)M, B=(x+\delta)M, A\le n\le B,$$

при оценке на R: $R<C(\epsilon)\sqrt{2\delta(b-a)M)M^{\epsilon}$, точка не особая (нормально равномерная).

Все это приводит к родственным с рассмотренными, задачам об распределении количества целых точек в области, при устремлении шага сетки к нулю. Пусть задана область $G$ в плоскости $xy$ с дважды непрерывно дифференцируемой границей. Образуем сетку целых точек $(nh_1,mh_2),n,m\in Z$ и посчитаем количество целых точек при заданных параметрах разбиения на сетку $h_1,h_2$ $\pi(h_1,h_2,G)$. Как уже было сказано ранее целые точки на границе считаются с весом $\frac 12$, а угловые даже с весом $\frac 14$. При этом среднее (интегральное по старому) значение количества целых точек определяется через площадь S - $\frac{S}{h_1h_2}$, соответственно погрешность $R=\pi(h_1,h_2,G)-\frac{S(G)}{h_1h_2}.$ Изучение погрешности при устремлении к нулю шагов разбиения приводит к оценке $g$ сумм типа

$$\sum_{A\le n\le B}g(f(n))$$

по аналогии с тригонометрическими суммами, которых я называю $e$ суммами:

$$\sum_{A\le n\le B}e(f(n)), e(x)=e^{2\pi i x}.$$

Здесь

$$g(x)=\{x\}-\frac 12, x\not \in Z, else g(x)=0.$$

На самом деле $g-$ суммы в чем то более удобны, чем $e-$ суммы и их оценки сверху обычно отличаются только на константный множитель. Об этом в дальнейшем.

[vicvolf]

Руст в сообщении #623083 писал(а):

Цитата:

Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty$, $\lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).

Я не понял, к чему это. Обычно плотности стремятся к нулю.

Спасибо. Исправил условия леммы.
Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=0, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=0$ $(\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty)$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).
...
Функция плотности $P_{km}(x)=f(x)$ и $C_{km}/ln^k x $=g(x)$ удолетворяет условиям указанной леммы, поэтому основании леммы предел отношения:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}=1$ (7) или $\pi_{km}(x) \sim C_{km}\int_{k+1}}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}$ (8).

Цитата:

То, что отношения интегралов стремятся к 1 так же не говорит о не возникновении ошибок, так как ошибки характеризуются не отношением, а разницей интегралов, которые могут стремится к бесконечности.

Это говорит о выполнении асимптотики (8) теоремы 1 в моей теме.

-- 25.09.2012, 15:26 --

Руст в сообщении #623083 писал(а):

Как уже было сказано, мы не можем устремлять интервалы к нулю при аппроксимации функции натурального аргумента, нам необходимо их устремлять к бесконечности определенным образом

Согласен. Устремление интервала к бесконечности это как раз и есть рассмотрение асимптотического поведения.

[vicvolf]

Руст в сообщении #623083 писал(а):

Последовательности натуральных чисел, уходящие в бесконечность мы изучаем через распределения при некотором ограничении сверху, устремляя предел ограничения М к бесконечности. Это позволяет изучать распределение таких чисел рассмотрением по большому модулю.

А М - это может быть модуль ПСВ?