равномерность

[Руст]

vicvolf в сообщении #632759 писал(а):

1. После большого числа лемм напрашивается все таки теорема о том, что гдадкая нелинейная функция в отсутствии точек перегиба равномерна в среднем. Следствиями из нее может быть случай слабой равномерности для линейной функции и нелинейной функциями с точками перегиба.
2. С моей точки зрения, в начале работы желательно провести классификацию видов равномерности функций:
Если существует гладкая в бесконечности функция $f(x)$, что выполняется:

$$|\pi (f,a,b)- \int_a^b f(x)dx |<C(\epsilon)x^{k+\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$,
то f(x) при k>1/2 будет со слабой равномерностью,

Давайте не будем путать, плотность $\phi (x)$ , которую я ввел для определения равномерностей распределения последовательностей такого рода, как простые числа.
Здесь еще можно говорить о более сильных равномерностях. Однако, для их изучения мы пришли к равномерности распределения дробных долей функции $f(n)$. Здесь плотность тождественна равна 1 и интеграл есть ожидаемое количество членов, для которых $a<\{f(n)\}<b, M-N+1\le n\le M$, т.е. $N(b-a)$. В этом случае равномерность характеризуется максимальными отклоненими g сумм $\sum{A\le n\le B} g(f(n)+b)$ при различных $b$. Соответственно, в этом случае не может существовать лучшей равномерности для дробных долей гладкой функции, чем равномерность в среднем. Этому условию удовлетворяют все гладкие (дважды непрерывно дифференцируемые) функции при малых разбиениях на сетки, если они не имеют точек перегиба. А функции с точками перегиба не удовлетворяют и этому условию.

Цитата:

при k=1/2 - со средней равномерностью,
при 0<k<1/2 - со слабой равномерность,

точнее сильной

Цитата:

при k=0 - с абсолютной равномерностью.
Естественно, множество функций со слабой равномерностью включает в себя множество функций со средней равномерностью. Множество функций со средней равномерностью включает в себя множество функции с сильной равномеростью, а множество функции с сильной равномерностью включают в себя множество функций с абсолютной равномерностью.
Функции со слабой и средней равномерностью были указаны выше. Хотелось бы поговорить о множестве функций с сильной и абсолютной равномерностью. К функциям с абсолютной и соответственно с сильной равномерностью напрашивается отнести ступенчатую функцию, которая скачет на целое значение вверх и вниз при целых значениях х. Действительно площадь под этой функцией содержит только целые точки и других не содержит, поэтому ошибка не накапливается и равна 0. Конечно, в общем случае, данная функция не является гладкой и поэтому по определению равномерности не проходит. Но в частном случае функция y=b, где b - целое число и отрезок интегрирования целый, удолетворяет условию гладкости и так как ошибка в данном случае также равна 0, то подходит по определению к функциям с абсолютной, тем более сильной равномерностью, и тут возникает парадокс.
3. С точки зрения теории g-функций y=b, где b - целое число, является линейной функцией и поэтому должна быть отнесена к функциям со слабой сходимостью.

Как было сказано выше линейные функции (точки перегиба всюду) не равномерны, так как можно сдвигать $f(n)\to f(n)+b$, что $g$ сумма будет расти линейно. Правда в линейном случае ответ зависит от рациональности наклона или от хорошей приближаемости наклона рациональным числом, когда наклон иррационален.

[vicvolf]

Руст писал(а):

Давайте не будем путать, плотность $\phi (x)$ , которую я ввел для определения равномерностей распределения последовательностей такого рода, как простые числа.
Здесь еще можно говорить о более сильных равномерностях.

Да, конечно объекты могут быть и другие, не только простые числа, но и близнецы и.т.д. Эта равномерность не зависит от инструмента исследования. Ее я и предложил классифицировать.
Кстати пример более сильной равномерности это арифметическая прогрессия с постоянной плотностью членов.

Цитата:

Однако, для их изучения мы пришли к равномерности распределения дробных долей функции $f(n)$. Здесь плотность тождественна равна 1 и интеграл есть ожидаемое количество членов, для которых $a<\{f(n)\}<b, M-N+1\le n\le M$, т.е. $N(b-a)$. В этом случае равномерность характеризуется максимальными отклоненими g сумм $\sum{A\le n\le B} g(f(n)+b)$ при различных $b$. Соответственно, в этом случае не может существовать лучшей равномерности для дробных долей гладкой функции, чем равномерность в среднем. Этому условию удовлетворяют все гладкие (дважды непрерывно дифференцируемые) функции при малых разбиениях на сетки, если они не имеют точек перегиба. А функции с точками перегиба не удовлетворяют и этому условию.

Вот здесь и нужна теорема, так как исключительные случаи разобраны, а основной нет. А Ваше мнение?

Руст писал(а):

Здесь первая часть аппроксимация площади интеграла методом трапеции (ошибка обычно порядка $O(1)$) в единицах $h_1h_2$, а $g$ сумма с точностью до знака совпадает с погрешностью.

Так и не понял почему O(1)? Ведь метод трапеций для нелинейной f(x) имеет погрешность, зависящей от вида f(x) и отрезка интегрирования (a, b) с оценкой остаточного члена в виде $max_{(a,b)}|f''(x)| \frac {(b-a)^3} {12}$, т.е ошибка вычисления интеграла растет, как куб от отрезка интегрирования.

[Sonic86]

Руст в сообщении #619719 писал(а):

Мало того, не доказано, что ПСВ имеет плотность, а уже используется для оценки простых в интервале $(p_r,p_r^2)$ с единой средней плотностью.

Руст в сообщении #623427 писал(а):

И так пришли к аналитической теории чисел, оценке $e$ и $g$ сумм. Вначале заметим, что их малость характеризует равномерность распределения дробных долей $\{f(n)\}$, точнее если дробные доли равномерно распределены в вышеприведенном смысле, то обе суммы малы. Малость обеих сумм говорит только о близости распределения к симметричному распределению.

Руст в сообщении #624132 писал(а):

Я вас просил показать, что в области (M/4, 3M/4) примерно половина кортежей из области (0,M). Пока вы не смогли показать, что там есть хотя бы один кортеж.

Можно вопрос?
А мы же знаем, что $e$-сумма $\sum\limits_{1\leqslant k<n, k\perp n}\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)=0$ при $n>1$ (доказывается методом включений-исключений). Отсюда следует умеренная равномерность распределения для ПСВ, но не следует сильная, правильно? (т.е. в частности, что есть хотя бы один элемент ПСВ в промежутке $[aM;bM], 0<a<b<1, M=p_1...p_r$)

[Руст]

vicvolf в сообщении #632822 писал(а):

Так и не понял почему O(1)? Ведь метод трапеций для нелинейной f(x) имеет погрешность, зависящей от вида f(x) и отрезка интегрирования (a, b) с оценкой остаточного члена в виде $max_{(a,b)}|f''(x)| \frac {(b-a)^3} {12}$, т.е ошибка вычисления интеграла растет, как куб от отрезка интегрирования.

Учитывая, что $f(x)=\frac{1}{h}f_1(A+ihx)}$, получаем, что $f'' =O(h)$ сумма ошибок по всем ячейкам $O(h)O(\frac 1h)=O(1)$.

[quote]Можно вопрос?
А мы же знаем, что $e$-сумма $\sum\limits_{1\leqslant k<n, k\perp n}\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)=0$ при $n>1$ (доказывается методом включений-исключений). Отсюда следует умеренная равномерность распределения для ПСВ, но не следует сильная, правильно? (т.е. в частности, что есть хотя бы один элемент ПСВ в промежутке $[aM;bM], 0<a<b<1, M=p_1...p_r$)[\quote]
по всей видимости $k\perp n$ означает $gcd(k,n)=(k,n)=1$.
На самом деле отсюда еще далеко до их равномерности. Если это хотим установить через оценку e сумм, то надо оценить и все масштабные амплитуды
$\sum\limits_{1\leqslant k<n, k\perp n}\exp\left(\frac{2\pi i ak}{n}\right)=0, a=1,2,...$ примерно до $a=[\sqrt{n}]$. Для $g$ сумм оценить достаточно суммы со сдвигами функции от 0 до 1.

[vicvolf]

Руст в сообщении #624132 писал(а):

Я вас просил показать, что в области (M/4, 3M/4) примерно половина кортежей из области (0,M). Пока вы не смогли показать, что там есть хотя бы один кортеж.

На интервале от 0 до М=2310 - 135 близнецов. Отнимаем 1 на границе и получаем на интервале (0,1/2M) 67 близнецов. Из них на интервале (0, 1/4M) 34 близнеца. Следовательно, на интервале (1/4M, 1/2M)- 33 близнеца, а на интервале (1/4M,3/4M) - 66 близнецов. На остальных интервалах 135-66=69 близнецов.
Для M=30030 можно подсчитать точное значение по всем интервалам. На интервале от 0 до M/2 - (22275-1)/2=11137. От M/4 до M/2 - 11137-5571=5566. Тогда на интервале от M/4 до 3M/4 в два раза больше - 11132. На остальном интервале 22275-11132=11143.

[vicvolf]

Руст в сообщении #629827 писал(а):

Я уже говорил, что $g$ суммы почти инвариантны относительно модулярных преобразований. Оценивая их и складывая можно уже получить оценку погрешности между количеством целых точек и площадью, у которой гладкая граница без точек перегиба, порядка $O(h^{-5/8+\epsilon})$ (у классиков степень $-2/3$). Применяя оценки многократно индукцией оценку можно довести то показателя $O(h^{-1/2 +\epsilon})$, т.е. доказать равномерность в среднем распределения дробных долей $\frac 1h f(hn)$.

Нельзя ли все таки доказательство полностью? Как я понял, это интересует не только меня.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #636663 писал(а):

Руст писал(а):

Я вас просил показать, что в области (M/4, 3M/4) примерно половина кортежей из области (0,M). Пока вы не смогли показать, что там есть хотя бы один кортеж.

На интервале от 0 до М=2310 - 135 близнецов. Отнимаем 1 на границе и получаем на интервале (0,1/2M) 67 близнецов. Из них на интервале (0, 1/4M) 34 близнеца. Следовательно, на интервале (1/4M, 1/2M)- 33 близнеца, а на интервале (1/4M,3/4M) - 66 близнецов. На остальных интервалах 135-66=69 близнецов.
Для M=30030 можно подсчитать точное значение по всем интервалам. На интервале от 0 до M/2 - (22275-1)/2=11137. От M/4 до M/2 - 11137-5571=5566. Тогда на интервале от M/4 до 3M/4 в два раза больше - 11132. На остальном интервале 22275-11132=11143.

популярная индукция детектед.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #636979 писал(а):

vicvolf в сообщении #636663 писал(а):

Руст писал(а):

Я вас просил показать, что в области (M/4, 3M/4) примерно половина кортежей из области (0,M). Пока вы не смогли показать, что там есть хотя бы один кортеж.

На интервале от 0 до М=2310 - 135 близнецов. Отнимаем 1 на границе и получаем на интервале (0,1/2M) 67 близнецов. Из них на интервале (0, 1/4M) 34 близнеца. Следовательно, на интервале (1/4M, 1/2M)- 33 близнеца, а на интервале (1/4M,3/4M) - 66 близнецов. На остальных интервалах 135-66=69 близнецов.
Для M=30030 можно подсчитать точное значение по всем интервалам. На интервале от 0 до M/2 - (22275-1)/2=11137. От M/4 до M/2 - 11137-5571=5566. Тогда на интервале от M/4 до 3M/4 в два раза больше - 11132. На остальном интервале 22275-11132=11143.

популярная индукция детектед.

В данном случае, это не доказательство. Я просто привел реальные данные, которые часто полезно посмотреть перед доказательством. А то можно доказывать то, чего нет. Кстати реальные данные иногда являются доказательством - контрпример. Хотя это уже другая тема.

[Sonic86]

Руст в сообщении #636455 писал(а):

по всей видимости $k\perp n$ означает $gcd(k,n)=(k,n)=1$.

да

Руст в сообщении #636455 писал(а):

На самом деле отсюда еще далеко до их равномерности. Если это хотим установить через оценку e сумм, то надо оценить и все масштабные амплитуды
$\sum\limits_{1\leqslant k<n, k\perp n}\exp\left(\frac{2\pi i ak}{n}\right)=0, a=1,2,...$ примерно до $a=[\sqrt{n}]$. Для $g$ сумм оценить достаточно суммы со сдвигами функции от 0 до 1.

Вопрос, наверное, глупый, но я не понял пока: Ваша равномерность в среднем получается сильнее равномерности по Вейлю? Или я просто неверно определение р.р.мод1 выписал?

Цитата:

Я вас просил показать, что в области (M/4, 3M/4) примерно половина кортежей из области (0,M). Пока вы не смогли показать, что там есть хотя бы один кортеж.

Кстати, не очень легко получается. Голыми руками просто не получается.

Sonic86 в сообщении #636426 писал(а):

А мы же знаем, что $e$-сумма $\sum\limits_{1\leqslant k<n, k\perp n}\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)=0$ при $n>1$ (доказывается методом включений-исключений).

Наврал, на самом деле $\sum\limits_{k\perp n}\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)=\mu(M)$ (при использовании в доказательстве формулы включений-исключений обращаем внимание на последнюю сумму). Так что $\left|\sum\limits_{k\perp n}\exp\left(\frac{2\pi i k}{n}\right)\right|\leqslant 1$. Докажем, что при достаточно большом $M$ есть $k:k\in\left[\frac{M}{4};\frac{3M}{4}\right], k\perp M$ (при $M=6$ это действительно неверно). Пусть это неверно. Тогда для любого $k\perp M$ $\Re e\left\frac{k}{M}\right)\geqslant 0$. Всего $\varphi(M)$ чисел в приведенной системе вычетов по модулю $M$. В самом худшем случае 2 числа имеют $\Re\geqslant 0$, следующие 2 числа имеют $\Re\geqslant\sin\frac{2\pi}{M}$ и т.п. - не более $\frac{M}{4}$ пар. Действительная часть $e$-суммы оценивается снизу:

$$\Re\geqslant 2\sum\limits_{k=0}^{\min\{\varphi(M)/2;\frac{M}{4}\}}\sin\frac{2\pi k}{M}\approx 2\int\limits_0^{\min\{\varphi(M)/2;\frac{M}{4}\}}\sin\frac{2\pi t}{M}dt =\frac{2M}{\pi}\left(1-\cos\frac{\pi\varphi(M)}{M}\right)$$

Остается показать, что это $>1$ при достаточно большом $M$, причем граница явно вычисляется, но надо использовать не самую простую оценку $\varphi(M)\geqslant\operatorname{const}\frac{M}{\ln\ln M}$.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #637033 писал(а):

Ваша равномерность в среднем получается сильнее равномерности по Вейлю?

Да, интересно http://mirslovarei.com/content_matenc/r ... 34339.html

[Руст]

Sonic86 в сообщении #637033 писал(а):

Вопрос, наверное, глупый, но я не понял пока: Ваша равномерность в среднем получается сильнее равномерности по Вейлю? Или я просто неверно определение р.р.мод1 выписал?

Да, сильнее. В том случае отклонение $R=o(I)$, т.е $\lim \frac{R}{I} =0$, у меня как обычно для случайной величины $R=O(B^{\epsilon}\sqrt{I})$, где $I$ среднее (интегральное) ожидаемое значение в заданном интервале, $R$ - отклонение от среднего.

Цитата:

Тогда для любого $k\perp M$ $\Re e\left\frac{k}{M}\right)\geqslant 0$. Всего $\varphi(M)$ чисел в приведенной системе вычетов по модулю $M$. В самом худшем случае 2 числа имеют $\Re\geqslant 0$, следующие 2 числа имеют $\Re\geqslant\sin\frac{2\pi}{M}$ и т.п. - не более $\frac{M}{4}$ пар. Действительная часть $e$-суммы оценивается снизу:

$$\Re\geqslant 2\sum\limits_{k=0}^{\min\{\varphi(M)/2;\frac{M}{4}\}}\sin\frac{2\pi k}{M}\approx 2\int\limits_0^{\min\{\varphi(M)/2;\frac{M}{4}\}}\sin\frac{2\pi t}{M}dt =\frac{2M}{\pi}\left(1-\cos\frac{\pi\varphi(M)}{M}\right)$$

Остается показать, что это $>1$ при достаточно большом $M$, причем граница явно вычисляется, но надо использовать не самую простую оценку $\varphi(M)\geqslant\operatorname{const}\frac{M}{\ln\ln M}$.

Я не понял ваших рассуждений. На самом деле количество ПСВ (таких чисел k) в интервале $(M/4,3M/4)$ задается формулой:

$$N=\sum_{M<4k<3M}\prod{p|M} (1-\frac 1M \sum_{x=1}^M e(\frac{kx}{p})).$$

Однако, это вряд ли поможет оценить более менее хорошо. Эта задача может быть решена совсем элементарно с плохой оценкой (наподобии оценки для простых $\pi(x)>C\ln x$).
С хорошей наподобии неравенств Чебышева для простых можно получить оценку, но посложнее.

vicvolf в сообщении #637088 писал(а):

Sonic86 в сообщении #637033 писал(а):
Ваша равномерность в среднем получается сильнее равномерности по Вейлю?

Да, интересно http://mirslovarei.com/content_matenc/r ... 34339.html

Тут кажется не грамотные люди писали, или это плохой автоматический перевод. Трудно отсюда понять, что они написали.

[Sonic86]

Руст в сообщении #637136 писал(а):

Да, сильнее. В том случае отклонение $R=o(I)$, т.е $\lim \frac{R}{I} =0$, у меня как обычно для случайной величины $R=O(B^{\epsilon}\sqrt{I})$, где $I$ среднее (интегральное) ожидаемое значение в заданном интервале, $R$ - отклонение от среднего.

Ага, понял. Тоже пришел к такому выводу.

Руст в сообщении #637136 писал(а):

Я не понял ваших рассуждений.

Ну там простой принцип: если в $[M/4;3M/4]$ нет $k$ взаимно простых с $M$, то у $\exp\frac{2\pi i k}{n}$ действительная часть $>0$, тогда у всей суммы действительная часть $>1$ при достаточно большом $M$, что противоречит тому, что сумма равна $\mu(M)$. Сумму я оценивал через интеграл. Ничего сложного короче.

-- Пн окт 29, 2012 04:10:35 --

Руст в сообщении #637136 писал(а):

Эта задача может быть решена совсем элементарно с плохой оценкой (наподобии оценки для простых $\pi(x)>C\ln x$).
С хорошей наподобии неравенств Чебышева для простых можно получить оценку, но посложнее.

тоже попробую, потренируюсь...

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #636977 писал(а):

Руст в сообщении #629827 писал(а):

Я уже говорил, что $g$ суммы почти инвариантны относительно модулярных преобразований. Оценивая их и складывая можно уже получить оценку погрешности между количеством целых точек и площадью, у которой гладкая граница без точек перегиба, порядка $O(h^{-5/8+\epsilon})$ (у классиков степень $-2/3$). Применяя оценки многократно индукцией оценку можно довести то показателя $O(h^{-1/2 +\epsilon})$, т.е. доказать равномерность в среднем распределения дробных долей $\frac 1h f(hn)$.

Нельзя ли все таки доказательство полностью? Как я понял, это интересует не только меня.

Вы наверно пропустили эту просьбу?

[Руст]

vicvolf в сообщении #637194 писал(а):

vicvolf в сообщении #636977 писал(а):

Нельзя ли все таки доказательство полностью? Как я понял, это интересует не только меня.

Вы наверно пропустили эту просьбу?

Доказательства технические и требуют много писанины (страниц 5). Будет настроение, приведу по частям.

[vicvolf]

Руст в сообщении #637204 писал(а):

Доказательства технические и требуют много писанины (страниц 5). Будет настроение, приведу по частям.

Заранее спасибо, заодно и в статью пойдет - ведь формулы будут уже набраны.

-- 29.10.2012, 12:33 --

Руст в сообщении #632580 писал(а):

vicvolf в сообщении #632461 писал(а):

Значит Вы утверждается, что для всех гладких нелинейных функций, если они не имеют точек перегиба, имеется равномерность в среднем?

Да.

Руст в сообщении #626015 писал(а):

vicvolf в сообщении #626010 писал(а):

А что скажете о такой формулировке равномерности расположения k-кортежей.
Простые k-кортежи равномерно распределены в среднем по любому модулю, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $\phi (x)$, что при любом взаимно простом с m вычете выполняется:

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\phi(m)} \int_2^x \phi(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ(m) не превосходящих x?

Это формулировка об их равномерности в среднем, если добавить, что $\phi(x)$ функция гладкая в бесконечности ($|\frac{x\phi'(x)}{x}|<const.$

Функция $1/\ln^k x$ является гладкой на бесконечности и не имеет точек прегиба. Значит простые k-кортежи равномерно распределены в среднем по любому модулю, т.е. существует гладкая в бесконечности функция $1/\ln^k x$, что при любом взаимно простом с m вычете выполняется:

$$|\pi_{km}(x)-\frac{1}{\ln^k(m)} \int_2^x \ln^k(t)dt|<C(\epsilon)x^{1/2 +\epsilon}$$

при любом $\epsilon >0$, где $\pi_{km}(x)$ - количество k-кортежей не превосходящих x?