О физическом смысле

[Руст]

ewert в сообщении #635352 писал(а):

Руст в сообщении #635328 писал(а):

Точнее это произведение диагонального (не обязательно с одинаковыми элементами на диагонали) отображения на поворот.

Так вот и даже это неправда. Это -- частный случай сингулярного разложения (с необходимыми оговорками), но -- далеко не общий случай.

Как не правда, речь идет об отображении плоскости в себя, не имеющей действительных собственных векторов.
На самом деле мы нашу инвариантную плоскость можем так отобразить в комплексную плоскость (т.е. выбрать новую не обязательно ортогональную систему координат), что там отображение будет выглядит расширением и поворотом. Если использовать только ортогональную систему координат, то разложится в произведение гиперболического поворота, растяжения и обычного поворота.

[Munin]

(Оффтоп)

Наконец-то Руст-а удалось призвать пользоваться общепринятым языком... сразу диалог начался...

[ewert]

Руст в сообщении #635361 писал(а):

Как не правда, речь идет об отображении плоскости в себя, не имеющей действительных собственных векторов.

Вы в предпоследний раз предложили представить произвольное преобразование (с комплексными собственными числами, но не суть) как $DV$, где $D$ диагональна и $V$ -- матрица поворота. В то время как в общем случае нельзя надеяться ни на что большее, кроме как $UDV$, где $U,V$ -- ортогональны, и не более того. Убить ни левую ортогональную матрицу, ни правую -- в общем случае надеяться не приходится.

[Руст]

На самом деле выбор системы координат уже убирает одну из них. Поэтому я говорил, что если выбор системы координат ограничивается из ортогональных, то отображение в этих координатах сводится к $DV$, т.е любая матрица соответствующего вида (с комплексными собствеными значениями) приводится $U^{-1}AU=DV$ ($U$ - выбор системы координат) . А если не ограничиваем себя ортогональной системой координат (что я и делал в предыдущих постах), то просто поворот и растяжение.

[g______d]

Руст в сообщении #635428 писал(а):

На самом деле выбор системы координат уже убирает одну из них.

Только $D$ при этом перестанет быть диагональной.

[ewert]

Руст в сообщении #635428 писал(а):

А если не ограничиваем себя ортогональной системой координат (что я и делал в предыдущих постах), то просто поворот и растяжение.

В неортогональных системах координат понятие поворота бессмысленно.

[Руст]

ewert в сообщении #635468 писал(а):

Руст в сообщении #635428 писал(а):

А если не ограничиваем себя ортогональной системой координат (что я и делал в предыдущих постах), то просто поворот и растяжение.

В неортогональных системах координат понятие поворота бессмысленно.

Дело в том, что вначале нет никакой метрики. Соответственно, мы можем выбрать любую пару векторов плоскости и сопоставить одному 1, другому i в комплексной плоскости. Только тогда определиться и метрика (так, чтобы выбранная пара составляла ортонормированную систему) и ориентация. Суть в том, что в собственной плоскости (не имеющей собственных векторов) можно выбрать такие вектора, что в этой системе координат отображение соответствующее собственному значению $\lambda=r*exp(i\phi)$ сводится к растяжению в r раз и повороту на угол $\phi$. Я именно это излагал и зря извинился перед вами. Потом поняв суть, что ваш вопрос связан с выбором системы координат уточнил это (ортогональной относительно будущей выбираемой системы, когда 1 и i соответствуют ортогональным векторам) или нет. Надеюсь, что сейчас все всем стало ясно.