О проблеме Гольдбаха

[vorvalm]

Вычетами ПСВ являются не только составные числа, но и простые числа + 1.
$\pi(p_r)\cdot M>\varphi(M)\cdot p_r.$
Единица никакой роли здесь не играет, поэтому
$\varphi(M)>\pi(M)$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #627196 писал(а):

Вычетами ПСВ являются не только составные числа, но и простые числа + 1.
Единица никакой роли здесь не играет, поэтому
$\varphi(M)>\pi(M)$

А как же интервал от 2 до $p_r$, где нет ни одного вычета ПСВ и r простых чисел?

[vorvalm]

Число простых чисел $r$, составляющих модуль М,
не влияет на неравенство.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #627242 писал(а):

Число простых чисел $r$, составляющих модуль М,
не влияет на неравенство.

А как это доказать?

[vorvalm]

Надо применить асимптотику для $\varphi(M)/M$ и $\pi(M)/M$.
У вас это хорошо получается.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #627248 писал(а):

Надо применить асимптотику для $\varphi(M)/M$ и $\pi(M)/M$.
У вас это хорошо получается.

В пределе неравенство переходит в равенство, поэтому а строгом неравенстве для ограниченных значений m уже ничего не скажешь. Вопрос, как это доказать при ограниченном m?

[vorvalm]

Надо рассматривать неравенство
$\varphi(M)>\pi(M)-r$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #627257 писал(а):

Надо рассматривать неравенство
$\varphi(M)>\pi(M)-r$

Это понятно!

[vorvalm]

Я имел в виду
$\varphi(M)/\pi(M)>1-r/\pi(M)$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #627263 писал(а):

Я имел в виду
$\varphi(M)/\pi(M)>1-r/\pi(M)$

Подумал! Это, к сожалению, мало что дает. В пределе получается, что $\varphi(M)$ не меньше $\pi(M)$, но это означает- либо больше, либо равенство. Значит это вопрос не прояснило!

[vorvalm]

Но $r/\pi(M)\rightarrow 0,\;r\rightarrow\infty$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #627711 писал(а):

Но $r/\pi(M)\rightarrow 0,\;r\rightarrow\infty$

Да, именно так, но строгое неравенство в пределе по теории пределов переходит в нестрогое.

[vorvalm]

Согласно Мертенсу и Чебышеву

$\varphi(M)/\pi(M)\sim C\ln M/\ln p_r$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #627868 писал(а):

Согласно Мертенсу и Чебышеву
$\varphi(M)/\pi(M)\sim C\ln M/\ln p_r$

А можно вывод?

[vorvalm]

По Мертенсу

$\varphi(M)/M=\prod(1-1/p_r)\sim C/\ln p_r$

По Чебышеву

$\pi(M)/M\sim 1/\ln M$